2022年-学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022-2022 学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单项题1以下函数中,是奇函数且在区间1,上是增函数的是（1x）A fx1xBfxx2Cfxx 3Dfxx1log2x1【答案】D 【解析】 依据函数的奇偶性的定义及函数的单调性进行判定；【详解】解：在 A中,f x 1x是奇函数,在区间1, 上是减函数,故A错误；x在 B 中,fx1x是偶函数,但在区间1, 上是减函数,故B错误；2在 C 中,f x 3 x 是奇函数且在区间1, 上是减函数,故C 错误；在 D 中,f x log2x1是奇函数且

2、在区间1, 上是增函数,故D 正确x1应选： D 【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的判定,考查函数的性质等基础学问,考查运算求 解才能,考查函数与方程思想,是基础题2已知 fx 是定义在 R 上的偶函数,且在区间,0 上单调递增,如实数m 满意f1,就 m 的取值范畴是（）fm1A ,0B,0U2, C（ 0,2）D 2,【答案】 C 【解析】 依据函数 f x 为 R 上的偶函数,且在区间 ,0 上单调递增,可得函数在0, 上的单调性,然后将函数不等式转化为自变量的不等式,即可解得；【详解】由题意,函数fx 为 R 上的偶函数,且在区间,0 上单调递增,函数 fx 在0,上单调递减,第

3、1 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Qfm1f1m112解得0m即m0,2应选： C【点睛】此题考查偶函数的性质,偶函数图象关于y 轴对称, 在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,利用函数的单调性,将函数不等式转化为自变量的不等式,属于基础题；3假如函数fx 在其定义域内存在实数x0x,使得fx 01fx 0f1成立,就称函数fx 为“ 可拆分函数 ”,如flg2a1为“ 可

4、拆分函数 ” ,就 a 的取值范x围是（）C3 ,3 2D 3,A 1 3 ,2 2B3,3 2【答案】 B 【解析】 依据条件将问题转化为方程2x 0a132a21在0xR 上有解的问题即可得1x 0解【详解】解：Qf x lg2xa132a21成立,xR a0Q 函数f x lgx 2a1为 “可拆分函数 ”,存在实数x ,使lg2x 0a1lg2a1lgalg1x 03x 0方程2x 0a132a21在0xR 上有解,1x0即a32x 0133g 2x 011在x0R 上有解,2x 011122Q0xR,2x 0110,1,1a3 ,3 2,a 的取值范畴为：3 ,3 2应选： B 第

5、2 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【点睛】此题主要考查了函数值的运算和对新定义的懂得,关键是将问题转化为方程有解问题,属中档题4定义在1,1 上的函数fx 满意fx111当x 1,0时,1fxfx11x1如函数g xfxmxm在1,1 内恰有 3 个零点, 就实2数 m 的取值范畴是 C1 1 4 2D1 1 ,4 2A 1 9,4 16B1 , 94 16【答案】 C 【解

6、析】如x0,1,就x11,0,fx111,fx11x,依据函数的x1 1x平移变换与翻折变换,画出 f x 1在 1,1 上的图象,就 y m x 1 与2y f x 1的图象有三个交点时,函数 f x 1 mx m 0 有三个零点,可得2 21 1k AC 2 1, k AB 2 1,y m x 1 是斜率为m,且过定点1 1 4 0 1 2A 1,0 的直线,绕 A 1,0 旋转直线,由图知,当 1 m 1时,直线与曲线有三4 2个交点,函数 g x f x 1mx m 在 1,1 内恰有 3个零点,m 的取值范21 1围是 ,应选 C. 4 2【方法点睛】已知函数零点 方程根 的个数,求

7、参数取值范畴的三种常用的方法：1直接法,直接依据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范畴；2第 3 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分别参数法, 先将参数分别, 转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法, 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解一是转化为两个函数 y g x , y h x 的图象的交点个数问题,画出两个函数的

8、图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为 y a y g x 的交点个数的图象的交点个数问题 . 二、填空题5函数fx2xlnx1的定义域为 _【答案】1,2【解析】 求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义,偶次根式的被开方数非负,对数的真数大于零,即可解答；【详解】Qfx2xlnx12x0解得 1x21,2x10故函数的定义域为x故答案为：1,2【点睛】此题考查函数的定义域,求函数的定义域即使式子有意义,常见的有（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；函数的真数大于零；属于基础题；（3）零次幂的底数不为零； （ 4）对数6设函数fxx1xxa为奇函数,就实数

9、a 的值为 _【答案】a1f x fx 0,但对于此题来说, 用此方程求【解析】 一般由奇函数的定义应得出参数的值运算较繁, 由于f x fx 0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a 的值【详解】第 4 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：Q函数f x x1xa 为奇函数,xf x fx0,f1f 10,即 21a00,a =1故答案为： 1【点睛】此题考查函

10、数奇偶性的运用,其特点是利用函数的奇偶性建立方程求参数,在此题中为了削减运算量,没有用通用的等式来求 是一个常用的技巧a 而是取了其一个特值,这在恒成立的等式中,7已知ylogax2（a0且a1）的图像过定点P,点 P 在指数函数 yfxf x 求函数解析式的图像上,就fx_【答案】fx2x【解析】 由题意求出点P 的坐标,代入【详解】解：由题意ylogax2,令x1,就y2,a0 且a1即点P1,2,f x 的图象上可得,令f x ax由 P 在指数函数1 a2,x2x即a2,故fx2x故答案为：f【点睛】此题考查了对数函数与指数函数的性质应用,属于基础题8方程2 9x11x的解为 _23【

11、答案】5【解析】 将方程转化为同底指数式,利用指数相等得到方程,解得即可；第 5 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【详解】Q2 9x11xx 解得32 2 3x13x2 2x12x2 5故答案为：5【点睛】此题考查指数幂的运算,以及指数方程, 关键是将方程转化为同底指数式,属于基础题；9对任意正实数 x,y, f xy f x f y,f 9 4,就 f 3 _【答案】 1 【

12、解析】 由题意,对任意正实数x,y, fxyfxfy,采纳特别值法,求出f3；【详解】解：由题意,对任意正实数fx,y, fxyffx4f3y ,f94,令xy3就f9f3 3f3333f3f2f32令xy3就f3f31故答案为： 1【点睛】此题考查抽象函数求函数值,依据题意合理采纳特别值法是解答的关键,属于基础题；10已知幂函数fx2 m5 m7xm是 R 上的增函数,就m 的值为 _【答案】 2 或 3【解析】 依据幂函数的定义与性质,即可求出 m 的值【详解】解：由题意幂函数fx2 m5 m7xm是 R 上的增函数第 6 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

13、 - - - - - - - - - 第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 m5 m71解得m2或m3m0故答案为： 2 或 3【点睛】此题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,解题的关键是得出关于 m 的方程和不等式,是基础题11已知函数fx2x x0x1的反函数是f1x ,就f11_.log2x02【答案】-1 【解析】 由题意,令f x 1,依据分段函数解析式,直接求解,即可得出结果. 2【详解】令f x 1,由于fx2x x0x1,解得x11；x2（舍）；2log2x0当x0

14、时,fx2x,由f x 1,得x 2122当 0x1时,fxlog2x ,由f x 1,得log2x,解得22又函数fx2x x0x1的反函数是f1x ,所以f111. log2x02故答案为：1【点睛】此题主要考查由函数值求自变量的值,考查了反函数的性质,会用分类争论的思想求解即可,属于常考题型 . 212函数 y log 3 x 6 x 5 的单调递增区间为 _4【答案】, 1 和（ 3,5）2【解析】 令 t x | x 6 x 5| | x 1 x 5 | 0,可得函数 f x 的定义域为,1 U 1,5 U 5,此题即求 t x 在函数 f x 的定义域的减区间,数形结合可得函数 t

15、 x 的减区间【详解】令t x |2 x6x5 | |x1x5 |0,第 7 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -可得x1,且x5,故函数 f x 的定义域为 ,1 U 1,5 U 5, . 由于 f x log 3 t x ,依据复合函数的单调性,4此题即求 t x 在函数 f x 的定义域上的减区间画出函数 t x 的图象,如图：故函数 t x 的减区间 ,1 、 3,5 ,故

16、答案为 ,1 、 3,5 【点睛】此题主要考查复合函数的单调性规律的应用,二次函数的性质,表达了转化、数形结合的数学思想,属于中档题13如函数fxlogax2ax2（a0且a1）满意：对任意1x ,x ,当0,x 1x 2a时,fx 1fx 20,就 a 的取值范畴为 _且真数恒大于2【答案】1,2 2【解析】 确定函数为单调减函数,利用复合函数的单调性：知道a1求得 a 的取值范畴【详解】解：令y2 xax2xa22a2在对称轴左边递减,f x 1f x224当x 1x ,a时,y 1y22Q 对任意的1x ,x 当x 1x ,a时,f x 2fx 10,即2故应有a12在真数位置上所以须有

17、2a20又由于yx2ax4第 8 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 2a2 2综上得 1a22故答案为：1,2 2【点睛】此题考查了复合函数的单调性复合函数的单调性的遵循原就是单调性相同复合函数为 增函数,单调性相反复合函数为减函数14已知x0,定义 fx 表示不小于x 的最小整数,如f3xfxf6.5,3 x,对 x 的范畴进行争论得就正数 x 的取值范畴为_【答案】4 5

18、 , 3 3【解析】 由题意可得 63 xf x , 7,即 63 xf x 7出答案【详解】解：Qf3xf f6.5,3 x ,不符合题意；x,5f3xf x 763xf x ,7,63xf x 73x当 0x,1时,f x 1, 61,不符合题意；当x2时,f x 2, 73x当 1x2时,f x 2,63 x2 73x,解得4 33故答案为：4 5 , 3 3【点睛】此题主要考查了函数值的运算和对新定义的懂得,关键是将问题转化为方程有解问题,属中档题15已知函数fxlogamx2loga2 m12（a0且a1）只有一x个零点,就实数m 的取值范畴为 _【答案】m1或m1或m02第 9 页

19、 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】 函数fxlogamx2loga2m12（a0且a1）只有一个x零点,mx22m1202,适合题意1或m0xx2mx10当 m0 时,方程有唯独根1当 m0 时,x2或xmx1明显符合题意的零点m当12时,m1m2,即m1当12时, 2 m20m综上：实数 m 的取值范畴为m1或m2故答案为：m1 或m1或m02点睛：已知函数有零点求参数取

20、值范畴常用的方法和思路 1 直接法：直接依据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范畴；2 分别参数法：先将参数分别,转化成求函数值域问题加以解决；3 数形结合法： 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解log11x, 1xn, nm 的值域是1,1 ,有以下结论：16已知函数fx22213,nxmx1时,mn ,2,1 ,2 2；（3）n0,（ 1）n0时,m.0,2 ；（2）n1时,m22其中正确的结论的序号为_【答案】（ 2）【解析】 依据函数函数的单调性及分段函数的定义,画出函数图象,依据图象即可求得答案【详解】解：当x1时,x10,f

21、x 322x1323x3,单调递减,当22x11 2x3,单调递增,1x1时,f x 第 10 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -f x 22 |x1|3在 1,1单调递增,在1, 单调递减,当x1时,取最大值为1,x 1 剟 x0绘出f x 的图象,如图：log11当n0时,f x 222130x m,x由函数图象可知：要使f x 的值域是 1,1 ,1,最小值为1,就m1,

22、 2 ；故（ 1）错误；当n1时,f x log11x ,22f x 在 1 ,1 2单调递增,f x 的最大值为m1,2；故（ 2）正确；2当n0,1时,m1, 2 ；故（ 3）错误,2故答案为：（2）【点睛】此题考查函数的性质,分段函数的图象,考查指数函数的性质,函数的单调性及最 值,考查运算才能,属于难题三、解答题17已知函数fx2xx 21 的反函数是yf1x ,g xlog43 x1（ 1）画出fx1的图像；第 11 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 20 页 - - - - - - - - -

23、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）解方程f1xg x 【答案】（1）详见解析； （2）x0或x1；【解析】（ 1）作图见解析；（ 2）先求出fx2 x1的反函数,再利用换底公式将底数化成一样的,即可得到关于 x 的方程,需留意对数的真数大于零；【详解】（ 1）如图：（ 2）Qfx2x1即y2x1Qy12x2x1log43 x1xlog2y1f1xlog2x1g xlog 43x1f1xg x 即logQlog43x11log23x1x12log2x11log23x12x123x1x0或x10解得3x10【点睛】此题考查求反函数的解析式,

24、以及函数方程思想,属于基础题；18已知定义在R 上的奇函数fxkaxax（a0且a1）, kR ）第 12 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）求k的值,并用定义证明当a1时,函数fx 是 R 上的增函数；（ 2）已知f13,求函数g xa2xa2x在区间0,1 上的取值范畴f x 的解析2【答案】（ 1）k1,证明见解析； （2）2,17k 的值,即可得函数4【解析】（1

25、）依据函数f x 为 R 上的奇函数,可求得式,依据函数单调性的定义,利用作差法,即可证得函数的单调性；（ 2）依据f1的值,可以求得a ,即可得g x 的解析式,利用换元法,将函数g x 转化为二次函数,利用二次函数的性质,即可求得值域；【详解】解：（1）Qf x kaxax是定义域为 R上的奇函数,f00,得k1,f x axax,f x Qfxaxaxf x 是 R上的奇函数,设任意的x2,x 1R 且x 2x 2x ,就ax 1ax2ax 11ax 11x 2,f x 2f x 1 ax 2aax 1g aQa1,0,ax 2ax 1,f x 2f x 1f x 在 R上为增函数；（

26、2）Qf13,0,2a13,即2 a23 a2a2a2或a1 2（舍去）,就g x 22x22x,x0,1g x x 414x第 13 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -令t4x,就t1,4,就g t t1,t1,4t1在t1,4上单调递增,t由对勾函数的性质可得g t t故g t 2,17174g x 的值域为2,4【点睛】此题考查了函数单调性的判定与证明,留意一般单调性的证

27、明选用定义法证明,证明的步骤是：设值,作差,化简,定号,下结论属于中档题19松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利,已知某条线路通车后,电车的发车时间间隔 t（单位：分钟）满意 2 t 20,市场调研测试,电车载客量与发车时间间隔 t 相关,当 10 t 20 时电车为满载状态,载客为 400 人,当 2 t 10 时,载客量会少, 少的人数与 10 t 的平方成正比, 且发车时间间隔为 2分钟时的载客为 272 人,记电车载客为 p t （ 1）求 p t 的表达式；6 p t 1500（ 2）如该线路分钟的净收益为 Q 60（元）,问当发车时间间隔为多t少时,该线

28、路每分钟的净收益最大？【答案】（ 1）p t 400210t2 ,2,t10（2）t5,Q tmax60400,10 剟 t20【解析】（1）由题意知,p t 400k10t2 ,2 ,t10k为常数）,结合p2272400,10 剟 t2010求得k2,就p t 的表达式可求；（ 2）写出分段函数Q1 12 tt2180t300, 2 ,tt900,10剟 t20,利用基本不等式及函数的1 60 t单调性分段求出最大值,取两者中的最大者得答案【详解】第 14 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 20 页 -

29、 - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：（1）由题意知,p t 400k10t2 ,2,t10k为常数）,400,10 剟 t20Qp2400k1022272,k260 元p t 400210t2 ,2,t10400,10 剟 t20（ 2）由Q6 t150060,可得Q1 12 tt2180t300, 2 ,t10,1 60 tt900,10剟 t20当 2 ,t10时,Q18012 t300 1802 12t300 gt60,t当且仅当t5时等号成立；当 10 剟 t20时,Q60900,609030,当t

30、10时等号成立t当发车时间间隔为5 分钟时,该线路每分钟的净收益最大,最大为【点睛】此题考查函数模型的性质及应用,考查简洁的数学建模思想方法,是中档题20对于定义域为 D 的函数 y f x ,如存在区间 a b D ,使得 f x 同时满意, f x 在 a b 上是单调函数,当 f x 的定义域为 a b 时, f x 的值域也为a b ,就称区间 a b 为该函数的一个“ 和谐区间 ”3（ 1）求出函数 f x x 的全部 “ 和谐区间 ”a b ；（ 2）函数 f x 4 3 是否存在 “ 和谐区间 ”a b ？如存在,求出实数 a,b 的值；x如不存在,请说明理由（ 3）已知定义在

31、2,k 上的函数 f x 2 m 4 有 “ 和谐区间 ” ,求正整数 k 取最小x 1值时实数 m 的取值范畴【答案】（ 1）1,0 , 0,1 ,1,1 ；（ 2）不存在；理由见解析；（3）m 5 8,2 3【解析】（ 1）依据 “ 和谐 ” 函数的定义,建立条件关系,即可求 y x 符合条件的 “ 和谐 ”3区间；第 15 页 共 20 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2）判定函数fx43是否满意 “和谐 ”函数的条件即可；x（ 3）依据函数f x 是 “和谐 ” 函数,建立条件关系,即可求实数m 的取值范畴【详解】（ 1）由于函数fx3 x 在 R 上单调递增,0 1；3 aaa11或a01 或a所以有