2022年必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为AL,B L =L A LA , B 公理 1 作用：判定直线是否在平面内公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；A C B 推论 1: 经过一条直线及直线外一点,有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线,有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线,有且只有一个平面；公理 2 作用：确定一个平面的依据；（3）公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共P L直线；符号表示

2、为： P = =L,且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据二、空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 异面直线：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,没有公共点；不同在任何一个平面内,没有公共点；2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用；公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据；3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线；异面直线既不相交也不平行；异面直线判定定理： 过平

3、面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面 直线；这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据；5 留意点：（1）直线所成的角 0 , 2；ab；（2）条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线相互垂直,记作（3）直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；（4）运算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内有很多个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用 a 来表示第 1

4、 页 共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - a a =A a 2 直线、平面平行的判定及其性质 2.1 线面平行的判定定理 1、 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行；简记为：线线平行,就线面平行；2.2 平面与平面平行的判定 1、判定定理 1：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行；简记为：线面平行就面面平行；2、判定定理 2: 假如两个平面垂直于同一条直线,那么这两 个平面平行；3、判定定理 3：平行于同一个平面的两个平面平行；4、判定两平面平行的方法有三

5、种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；2.3 2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；简记为：线面平行就线线平行；作用：利用该定理可解决直线间的平行问题；2、 平面与平面平行的性质定理1：假如两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行；简记为：面面平行就线线平行；3、 平面与平面平行的性质定理 于另一个平面；4、 平面与平面平行的性质定理 个平面也垂直于这条直线；2：假如两个平面平行,就在一个平面内的全部直线都平行 3：假如两个平行平面中有一个垂直于一条

6、直线,那么另一3 直线、平面垂直的判定及其性质 3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义假如直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面 相互垂直,记作 L , 直线 L 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线L 的垂面； 如图, 直线与平面垂直时,它们唯独公共点P 叫做垂足； L P 第 2 页 共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直；留意点： a 定理中的“ 两条相交直线” 这一条件不行忽视；b 定理表达了“ 直线与平面

7、垂直” 与“ 直线与直线垂直” 相互转化的数学思想；3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形 A 棱 l B 2、二面角的记法：二面角-l- 或-AB- 3、两个平面相互垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直；3.3 3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行；2 性质定理：两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；1. 证明线线垂直的方法：1 运算两直线所成的角为 90 o （包含异面直线所成的角）；2 线面垂直的性质；3 向量法（a b0（a,b 为非零向量

8、）ab）；2判定线面垂直的方法（1）线面垂直的定义； （2）线面垂直的判定定理；（3）平行性垂直平面的传递性；（4）面面垂直的性质； （5）面面平行的性质； （6）面面垂直的性质；（7）向量法（直线的方向向量与平面的法向量平行：an ）；3面面垂直的判定（1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理； （3）向量法 （法向量垂直n n 20）；4. 空间角 1. 异面直线所成的角 1、通过异面直线所成角的定义,把异面直线所成的角转化成平面内的线线角；2、求两条异面直线所成角的大小步骤如下：（1）利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或这两条同时平移到某个特别位置,顶点选在特别位置上； （2

9、）证明做出的角就是所求角；角的范畴是（ 0,22 线面所成的角（3）利用三角形来求解,异面直线所成1. 分类：（1）线面平行或线在面内,线面所成角为 0 o ；（2）线面垂直,线面所成角为 90 o ；第 3 页 共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）斜线和平面所成的角为0 o90o ；2. 找角：求直线与平面所成角的过程：a. 通过射影转化法,做出直线与平面所成的角；b.在三角形中求角的大小；3. 向量法 : 设 PA是平面的斜线,设 mPA,向量 n 为平面的法向量,设PA 与平面所成的角为,就 si

10、nm n；mn3 面面所成的角 -二面角 求二面角的方法：（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特别点）,分别在两个半平面中作棱的垂线,得出平面角；用定义法时,要观看图形的特性（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出平面角（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（4）射影法：利用面积射影公式s射=s斜cos,其中为平面角的大小；此方法不必在图中画出平面角来；（5）向量法： 设二面角l的平面角为：a. 如PA,PB,Pl ,有 PAl ,PBl ,那么 cosPA PB；b. 设向量 m 、 n 分别为平面和平面的法向量,就PAPB是相等仍是互补,依据详细图形判定；cosm nm n,与m nmn第 4 页 共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页