第18讲优良性准则区间估计PPT讲稿.ppt

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1、第18讲优良性准则区间估计第1页，共35页，编辑于2022年，星期日 从前面两节的讨论中可以看到从前面两节的讨论中可以看到:同一参数可以有几种不同的估计，这时就需同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断哪一种估计好要判断哪一种估计好.另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计似然法即使得到的是同一个估计,也存在衡也存在衡 量这个估计优劣的问题量这个估计优劣的问题.估计量的优良性准则就是：估计量的优良性准则就是：评价一个估计量评价一个估计量“好好”与与“坏坏”的标准的标准.7.3 估计量的优良性准则估计量的优良性准则第2页，共

2、35页，编辑于2022年，星期日 定义1 设总体的参数为设总体的参数为，7.3.1 无偏性无偏性对一切可能的对一切可能的 成立成立,对于样本对于样本X1 1,X2 2,Xn n的不同取值的不同取值,取不同的值取不同的值.若若是一个统计量，是随机变量是一个统计量，是随机变量.注意：注意：称称 为为 的无偏估计的无偏估计.第3页，共35页，编辑于2022年，星期日参数参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于均来说它等于.“一切可能的一切可能的 ”是指：在参数估计问题中，是指：在参数估计问题中，参数参数 一切可能的取值一切可能的取值.我们之所以

3、要求对一切可能的我们之所以要求对一切可能的 都成立，都成立，是因为在参数估计问题中是因为在参数估计问题中,我们并不知道参数我们并不知道参数 的真实取值的真实取值.自然要求它在参数自然要求它在参数 的一切可能取值的一切可能取值的范围内都成立的范围内都成立 说明说明 无偏性的意义是：用估计量无偏性的意义是：用估计量 估计估计 第4页，共35页，编辑于2022年，星期日例例1 设设 X1,X2,Xn 为来自均值为为来自均值为 的总体的样的总体的样本，考虑本，考虑 的如下几个估计量的无偏性：的如下几个估计量的无偏性：例如例如 若若 指的指的是正态总体是正态总体N(,2)的均值的均值,则则其一切可能取值

4、范围是其一切可能取值范围是(-(-,+,+).).若若 指的指的是方差是方差 2 2，则其一切可能取值范围是，则其一切可能取值范围是(0,+(0,+).).解解第5页，共35页，编辑于2022年，星期日第6页，共35页，编辑于2022年，星期日 定理定理1 设总体设总体 X 的均值为的均值为,方差为方差为 2 2,X1 1,X2 2,Xn n 为来自总体为来自总体 X 的随机样本，记的随机样本，记 与与 分别为样本均值与样本方差，即分别为样本均值与样本方差，即 即样本均值和样本方差分别是即样本均值和样本方差分别是 总体均值总体均值 和总和总体方差体方差 的无偏估计的无偏估计.第7页，共35页，

5、编辑于2022年，星期日 证明证明 因为因为 X1,X2,Xn 独立同分布，独立同分布，所以所以第8页，共35页，编辑于2022年，星期日这样这样第9页，共35页，编辑于2022年，星期日 前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体别求得了正态总体 N(,2)中参数中参数 2 的估的估计计,均均为为 很很显显然，它不是然，它不是 2 的无偏估的无偏估计计.这这正是我正是我们为们为什什么要将其分母修正么要将其分母修正为为 n-1，获获得得样样本方差本方差 S2来估来估计计 2 的理由的理由.第10页，共35页，编辑于2022年，星期日 例例2 求

6、证：样本标准差求证：样本标准差 S 不是总体标准差不是总体标准差 的无的无偏估计偏估计.证明证明 因因 E E(S2 2)=)=2 2，所以，所以，D D(S)+()+(E E(S)(S)2 2=2 2，由由 D(S)0 0，知，知 (E E(S)2 2=2 2-D D(S S)2 2.所以，所以，E E(S S).故，故，S S 不是不是 的无偏估计的无偏估计.用用S 来估计来估计 ，平均来说偏低，平均来说偏低.第11页，共35页，编辑于2022年，星期日 用估计量用估计量 估计估计，估计误差估计误差7.3.2 7.3.2 均方误差准则均方误差准则 是随机变量，通常用其均值衡量估是随机变量，

7、通常用其均值衡量估计误差的大小计误差的大小.要注意要注意:为了防止求均值时正、负误差相互抵消，为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成成 ，即，即第12页，共35页，编辑于2022年，星期日 哪个估计的均方误哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为则为“均方误差准则均方误差准则”.注意注意：均方误差可分解成两部分均方误差可分解成两部分:证明证明第13页，共35页，编辑于2022年，星期日 上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分上式表

8、明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，是估计量的方差，第二部分是估计量的偏差的平方和第二部分是估计量的偏差的平方和.注意：注意：如果一个估计量是无偏的，则第二部如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有分是零，则有:如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优的方差小，哪个估计就较优.这种判定估计量优这种判定估计量优劣的准则称为方差准则劣的准则称为方差准则.第14页，共35页，编辑于2022年，星期日定义定义 例例3 3 设设 X1,X2,Xn 为来自均值为为来自均值为 的总体的总体的样本的样本,考虑考虑 的如下两个估计的优

9、劣：的如下两个估计的优劣：第15页，共35页，编辑于2022年，星期日故这两个估计都是故这两个估计都是 的无偏估计的无偏估计.表明：当用样本均值去估计总体均值时，表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好使用全样本总比不使用全样本要好.第16页，共35页，编辑于2022年，星期日 点估计就是利用样本计算出的值点估计就是利用样本计算出的值(即实轴上的即实轴上的点点)来估计未知参数来估计未知参数.7.4 正态总体的区间估计(一)优点是：优点是：告诉人们告诉人们 “未知参数大致是多少未知参数大致是多少”；缺点是：缺点是：并未反映估计的误差范围并未反映估计的误差范围(精度精度)

10、.第17页，共35页，编辑于2022年，星期日 例如：例如：在估计正态总体均值在估计正态总体均值 的的问题中问题中,若若根据一组实际样本，得到根据一组实际样本，得到 的极大似然估计为的极大似然估计为 10.12.一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数并告诉人们该区间包含未知参数 的概率的概率(可靠可靠度、置信度、置信水平度、置信度、置信水平(系数系数).实际上，实际上，的真值可能大于的真值可能大于10.12，也可能，也可能小于小于10.12.第18页，共35页，编辑于2022年，星期日 如：如：估计某人的身高估计某人的身高(

11、cm).甲估计：人的身高为甲估计：人的身高为170,180;乙估计：人的身高为乙估计：人的身高为150,190;但由于甲估计的区间短，包含该人真正身高的但由于甲估计的区间短，包含该人真正身高的可能性（概率或置信度）小；乙估计的区间长，可能性（概率或置信度）小；乙估计的区间长，精度差，但置信度比甲的大精度差，但置信度比甲的大.甲估计的区间较乙估计的短，故精度较高甲估计的区间较乙估计的短，故精度较高.第19页，共35页，编辑于2022年，星期日 实际中，在保证置信度的条件下，尽可能提实际中，在保证置信度的条件下，尽可能提高精度，高精度，（用区间的长度来度量）（用区间的长度来度量）与置信度与置信度（

12、用估计的区间包含未知量的概率来度量）（用估计的区间包含未知量的概率来度量）是矛盾的是矛盾的.精度精度即区间的长度尽可能短即区间的长度尽可能短.第20页，共35页，编辑于2022年，星期日7.4.1 置信区间的定义置信区间的定义定义定义1第21页，共35页，编辑于2022年，星期日实际应用上，一般取实际应用上，一般取 =0.05 或或 0.01.第22页，共35页，编辑于2022年，星期日7.4.2 正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计或或第23页，共35页，编辑于2022年，星期日故故第24页，共35页，编辑于2022年，星期日也可简记为也可简记为第25页，共35页，编辑于2022年，

13、星期日例例1 某厂生产的零件长度某厂生产的零件长度 X 服从服从 N(,0.04),),现现从该厂生产的零件中随机抽取从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度个，长度测量值如下测量值如下(单位单位:毫米毫米):):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求求 的置信系数为的置信系数为0.950.95的置信区间的置信区间.解解第26页，共35页，编辑于2022年，星期日代入置信区间代入置信区间第27页，共35页，编辑于2022年，星期日当方差未知时，取当方差未知时，取第28页，共35页，编辑于2022年，星期日也可简记为也可简记为第29页，共35页，编辑于2022年，星期日 例例

14、2 为估计一物体的重量为估计一物体的重量，将其称量，将其称量10次次,得到得到重量的测量值重量的测量值(单位单位:千克千克)如下如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布设它们服从正态分布 N(,2).求求 的置信系数的置信系数为为0.95的置信区间的置信区间.解解第30页，共35页，编辑于2022年，星期日代入置信区间代入置信区间第31页，共35页，编辑于2022年，星期日7.4.3 正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计第32页，共35页，编辑于2022年，星期日第33页，共35页，编辑于2022年，星期日例例3(续例续例2)求求 2的置信系数为的置信系数为0.95的置信区间的置信区间.代入代入解解第34页，共35页，编辑于2022年，星期日小结小结 本讲首先介绍了估计量的评优准则，包本讲首先介绍了估计量的评优准则，包括：无偏性和均方误差准则；然后介绍了区括：无偏性和均方误差准则；然后介绍了区间估计的基本概念，详细讨论了正态总体均间估计的基本概念，详细讨论了正态总体均值和方差的区间估计值和方差的区间估计.第35页，共35页，编辑于2022年，星期日