第2章控制系统的数学模型PPT讲稿.ppt
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1、第第2章控制系章控制系统的数的数学模型学模型第1页,共100页,编辑于2022年,星期一目录目录v2.1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程v2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数v2.3 动态结构图动态结构图第2页,共100页,编辑于2022年,星期一v自动控制理论以自动控制系统为研究对象,无论自动控制理论以自动控制系统为研究对象,无论是对控制系统进行分析还是对校正装置进行综合,是对控制系统进行分析还是对校正装置进行综合,都需要建立控制系统的数学模型。都需要建立控制系统的数学模型。v所谓数学模型是指能够描述系统变量之间关系的所谓数学模型是指能够描述系统变量之间关系的数学表达式。工程系
2、统一般都是动态系统,时域数学表达式。工程系统一般都是动态系统,时域内连续时间集中参数系统的数学模型是反映系统内连续时间集中参数系统的数学模型是反映系统输入量和输出量之间关系的微分方程。输入量和输出量之间关系的微分方程。第3页,共100页,编辑于2022年,星期一v以数学模型为依据控制系统可以被分类为连续系以数学模型为依据控制系统可以被分类为连续系统和离散(时间)系统、线性系统和非线性系统、统和离散(时间)系统、线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统等。定常系统和时变系统等。v控制系统的数学模型不是惟一的,根据不同的建控制系统的数学模型不是惟一的,根据不同的建模目的可以建立不同的数学模型,即使
3、对于相同模目的可以建立不同的数学模型,即使对于相同的建模目的也可以建立不同形式的数学模型,对的建模目的也可以建立不同形式的数学模型,对于工程上常见的线性定常连续系统,常用的数学于工程上常见的线性定常连续系统,常用的数学模型有微分方程和传递函数等。模型有微分方程和传递函数等。第4页,共100页,编辑于2022年,星期一2.1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程v2.1.1 建立系统微分方程的一般步骤建立系统微分方程的一般步骤v建立控制系统数学模型有解析法和实验法两种建立控制系统数学模型有解析法和实验法两种 实验法:通过实验对系统在已知输入信号作用下的输出响应数据进行测量,利用模型辨识方法,来建
4、立反映输入量和输出量之间关系的数学方程。解析法:通过分析控制系统的工作原理,利用系统各组成部分所遵循的物理学基本定律来建立变量之间的关系式。第5页,共100页,编辑于2022年,星期一用解析法建立控制系统微分方程的一般步骤:用解析法建立控制系统微分方程的一般步骤:v1)确定系统的输入量和输出量;确定系统的输入量和输出量;v2)根据各环节在系统中的工作要求及其所遵循的根据各环节在系统中的工作要求及其所遵循的基本客观规律,分别列写出相应的微分方程,并基本客观规律,分别列写出相应的微分方程,并构成微分方程组;构成微分方程组;v3)消除中间变量,并将方程标准化。消除中间变量,并将方程标准化。第6页,共
5、100页,编辑于2022年,星期一v例例2.1 确定下图中确定下图中RCL电路的微分方程。电路的微分方程。第7页,共100页,编辑于2022年,星期一解:解:(1)确定输入和输出量确定输入和输出量(2)建立微分方程建立微分方程(3)消除中间变量,使方程标准化,得到消除中间变量,使方程标准化,得到这是一个二阶常系数线性微分方程。这是一个二阶常系数线性微分方程。第8页,共100页,编辑于2022年,星期一v例例2.2 确定力学系统的微分方程确定力学系统的微分方程第9页,共100页,编辑于2022年,星期一v(1)确定输入量和输出量确定输入量和输出量v(2)创建微分方程组:创建微分方程组:v根据牛二
6、定律得到根据牛二定律得到v其中其中第10页,共100页,编辑于2022年,星期一v(3)消除中间变量得到,使方程标准化。消除中间变量得到,使方程标准化。v该机械模型也是一个二阶常系数线性微分方程。该机械模型也是一个二阶常系数线性微分方程。第11页,共100页,编辑于2022年,星期一v两个例题属于不同类型系统,但可具有形式相同两个例题属于不同类型系统,但可具有形式相同的数学模型,这些具有形式相同数学模型的相似的数学模型,这些具有形式相同数学模型的相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系,当这系统揭示了不同物理现象之间的相似关系,当这些相似系统中相似的参数取同样的数值、输入变些相似系统中相似的参
7、数取同样的数值、输入变量具有相同的函数形式时,这两个系统输出量的量具有相同的函数形式时,这两个系统输出量的变化规律是相同的。我们将此类系统称为相似系变化规律是相同的。我们将此类系统称为相似系统。统。v因此,利用相似系统的概念,可以用一个易于实因此,利用相似系统的概念,可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统。相似系统现的系统来研究与其相似的复杂系统。相似系统的理论也是控制系统仿真研究法的依据。的理论也是控制系统仿真研究法的依据。第12页,共100页,编辑于2022年,星期一v练习练习1:如图:如图所示由质量、弹簧和阻尼器构成得机械位所示由质量、弹簧和阻尼器构成得机械位移系统。其中移系统
8、。其中m为物体的质量,为物体的质量,k为弹簧的弹性系数,为弹簧的弹性系数,f为阻尼器的阻尼系数。要求确定外力为阻尼器的阻尼系数。要求确定外力F(t)为输入量,为输入量,位移位移y(t)为输出量时,系统的数学模型。为输出量时,系统的数学模型。西华大学电气信息学院质量质量-弹簧弹簧-阻尼器系统阻尼器系统m第13页,共100页,编辑于2022年,星期一v解:解:v根据牛顿第二定律,可以写出物体的受力平衡方程为根据牛顿第二定律,可以写出物体的受力平衡方程为v消去中间变量并将所得方程整理成标准形式,有消去中间变量并将所得方程整理成标准形式,有西华大学电气信息学院第14页,共100页,编辑于2022年,星
9、期一2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数v传递函数是线性定常连续系统最重要的数学模型传递函数是线性定常连续系统最重要的数学模型之一,是数学模型在复频域内的表示形式。利用之一,是数学模型在复频域内的表示形式。利用传递函数,不必求解微分方程就可以求取初始条传递函数,不必求解微分方程就可以求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号作用下的的输件为零的系统在任意形式输入信号作用下的的输出响应,还可以研究结构和参数的变化对控制系出响应,还可以研究结构和参数的变化对控制系统性能的影响。统性能的影响。v经典控制理论的主要研究方法经典控制理论的主要研究方法根轨迹分析法根轨迹分析法和频域分析法都是建立在传
10、递函数基础上的。和频域分析法都是建立在传递函数基础上的。第15页,共100页,编辑于2022年,星期一v2.2.1 传递函数的定义传递函数的定义v传递函数定义为:零初始条件下,系统输出量的传递函数定义为:零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。v控制系统最基本的数学模型是时域内的微分方程,控制系统最基本的数学模型是时域内的微分方程,n阶系统微分方程的一般形式为阶系统微分方程的一般形式为第16页,共100页,编辑于2022年,星期一v得到得到第17页,共100页,编辑于2022年,星期一v例例2.4 求解例求解例2.1中中RLC网络的传递函数。网
11、络的传递函数。v解:微分方程为:解:微分方程为:v对其进行拉氏变化,得到:对其进行拉氏变化,得到:v则传递函数为:则传递函数为:西华大学电气信息学院第18页,共100页,编辑于2022年,星期一v传递函数描述了系统把输入转换为输出的传递关系。传递函数描述了系统把输入转换为输出的传递关系。v传递函数和微分方程可以相互转换。传递函数和微分方程可以相互转换。西华大学电气信息学院第19页,共100页,编辑于2022年,星期一v练习练习2 将例将例2.2中的微分方程转换成传递函数的形式。中的微分方程转换成传递函数的形式。西华大学电气信息学院第20页,共100页,编辑于2022年,星期一v解:对其进行拉氏
12、变化,得到:解:对其进行拉氏变化,得到:v则传递函数为:则传递函数为:西华大学电气信息学院第21页,共100页,编辑于2022年,星期一v练习练习3已知控制系统的微分方程为已知控制系统的微分方程为v求出控制系统的传递函数。求出控制系统的传递函数。西华大学电气信息学院第22页,共100页,编辑于2022年,星期一v解:在零初始条件下,对微分方程式两边同时进行拉氏解:在零初始条件下,对微分方程式两边同时进行拉氏变换,可求得变换,可求得故控制系统的传递函数:西华大学电气信息学院第23页,共100页,编辑于2022年,星期一2.2.2 传递函数的性质传递函数的性质v1)传递函数是复变量传递函数是复变量
13、s的有理真分式,只适用于线性定的有理真分式,只适用于线性定常系统。常系统。v2)传递函数不能反映系统内部的中间变量。传递函数不能反映系统内部的中间变量。v3)传递函数描述系统的内部固有动态特性。传递函数描述系统的内部固有动态特性。v4)传递函数不能反映系统的物理性质。传递函数不能反映系统的物理性质。v5)传递函数的分母部分决定着系统的暂态响应的基传递函数的分母部分决定着系统的暂态响应的基本特点和动态本质。本特点和动态本质。西华大学电气信息学院第24页,共100页,编辑于2022年,星期一v6)传递函数可用零传递函数可用零-极点的方式进行表示。极点的方式进行表示。v 是传递函数的零点,也称环节或
14、系统的是传递函数的零点,也称环节或系统的零点零点 v 是传递函数的极点,也称环节或系统的是传递函数的极点,也称环节或系统的极点极点 西华大学电气信息学院第25页,共100页,编辑于2022年,星期一2.2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数v自动控制系统是由一些元件或装置组合而成的,这些有着自动控制系统是由一些元件或装置组合而成的,这些有着不同物理结构和作用原理的元件装置却可能具有相同的不同物理结构和作用原理的元件装置却可能具有相同的传递函数,也就具有了相同的动态性能。从方便研究控传递函数,也就具有了相同的动态性能。从方便研究控制系统动态性能的角度考虑,我们可以按照传递函数的制系统动态性
15、能的角度考虑,我们可以按照传递函数的形式去划分环节。形式去划分环节。v线性定常系统中的典型环节有比例环节、积分环节、惯线性定常系统中的典型环节有比例环节、积分环节、惯性环节、二阶振荡环节、微分环节和延迟环节等。性环节、二阶振荡环节、微分环节和延迟环节等。西华大学电气信息学院第26页,共100页,编辑于2022年,星期一v1.比例环节比例环节v比例环节的输出量与输入量成一定比例,时域中的的数比例环节的输出量与输入量成一定比例,时域中的的数学模型是一个代数方程学模型是一个代数方程v比例环节的传递函数比例环节的传递函数v比例环节应用广泛,实际中线性电位器,旋转变压比例环节应用广泛,实际中线性电位器,
16、旋转变压器等都可以近似地认为是比例环节。器等都可以近似地认为是比例环节。v比例环节不失真,输出信号成正比的复现输入信号。比例环节不失真,输出信号成正比的复现输入信号。西华大学电气信息学院第27页,共100页,编辑于2022年,星期一v2.惯性环节惯性环节v一阶惯性环节的输出量和输入量之间的关系为一阶惯性环节的输出量和输入量之间的关系为v一阶惯性环节的传递函数为一阶惯性环节的传递函数为vT为惯性环节的时间常数为惯性环节的时间常数 西华大学电气信息学院第28页,共100页,编辑于2022年,星期一v惯性环节的特点是具有一个储能元件,输出信号不惯性环节的特点是具有一个储能元件,输出信号不能瞬时完成与
17、输入信号完全一致的变换。能瞬时完成与输入信号完全一致的变换。v在单位阶跃输入信号,输出信号将按照指数曲线上升。在单位阶跃输入信号,输出信号将按照指数曲线上升。v 惯性环节的阶跃响应是单调上升的是非周期过程,惯性环节的阶跃响应是单调上升的是非周期过程,因而也称惯性环节为非周期环节因而也称惯性环节为非周期环节。西华大学电气信息学院第29页,共100页,编辑于2022年,星期一v3.积分环节积分环节v积分环节的输出量是输入量的积分。时域中输出量积分环节的输出量是输入量的积分。时域中输出量和输入量之间的关系表示为和输入量之间的关系表示为v积分环节的传递函数积分环节的传递函数v 为积分时间常数。为积分时
18、间常数。西华大学电气信息学院第30页,共100页,编辑于2022年,星期一v在单位阶跃输入信号,在单位阶跃输入信号,输出信号如图所示:输出信号如图所示:v积分环节的输出量与输入量的积分成正比,当输入突积分环节的输出量与输入量的积分成正比,当输入突变时,输入要延迟变时,输入要延迟 时间后才等于输入;若输入为零,时间后才等于输入;若输入为零,输出将保持输入变成零时刻的值不变。输出将保持输入变成零时刻的值不变。西华大学电气信息学院第31页,共100页,编辑于2022年,星期一v4.微分环节微分环节v纯微分环节的微分方程为纯微分环节的微分方程为v纯微分环节的传递函数为纯微分环节的传递函数为v 是微分时
19、间常数。是微分时间常数。西华大学电气信息学院第32页,共100页,编辑于2022年,星期一v当输入量为单位阶跃响应时,理想的纯微分环节是当当输入量为单位阶跃响应时,理想的纯微分环节是当 时,其微分环节输出为一个面积为时,其微分环节输出为一个面积为 ,幅值为无穷大,宽,幅值为无穷大,宽度为零的理想脉冲。度为零的理想脉冲。v纯微分环节在实际中是得不到的,因为在实际系统纯微分环节在实际中是得不到的,因为在实际系统或元件中惯性是普遍存在的,所以实际的微分环节或元件中惯性是普遍存在的,所以实际的微分环节常带有惯性。其传递函数为常带有惯性。其传递函数为西华大学电气信息学院第33页,共100页,编辑于202
20、2年,星期一v实用的一阶微分环节的单位阶跃响应为实用的一阶微分环节的单位阶跃响应为v纯微分环节是输出与输入信号对时间的响应成正比,反纯微分环节是输出与输入信号对时间的响应成正比,反映了输入信号的变化率。映了输入信号的变化率。西华大学电气信息学院第34页,共100页,编辑于2022年,星期一v5.振荡环节振荡环节v振荡环节的输出量与输入量之间的关系为振荡环节的输出量与输入量之间的关系为 v振荡环节的传递函数振荡环节的传递函数v-阻尼系数或阻尼比;阻尼系数或阻尼比;T-时间常数时间常数v 为无阻尼自然振荡频率为无阻尼自然振荡频率西华大学电气信息学院第35页,共100页,编辑于2022年,星期一v当
21、输入量为单位阶跃响应时,振荡环节的输出响应具当输入量为单位阶跃响应时,振荡环节的输出响应具有振荡的特点,因有振荡的特点,因 阻尼系数的不同,而具有不同的阻尼系数的不同,而具有不同的振荡形式。振荡形式。v例例2.1中的中的RLC网络,以及直流电机等例子均为振荡环网络,以及直流电机等例子均为振荡环节的例子。节的例子。西华大学电气信息学院第36页,共100页,编辑于2022年,星期一v6.纯滞后环节纯滞后环节v延迟环节的输出量在经过延迟时间后复现输入量,其动态延迟环节的输出量在经过延迟时间后复现输入量,其动态方程为方程为v纯滞后环节的传递函数为纯滞后环节的传递函数为v 是滞后时间常数。是滞后时间常数
22、。西华大学电气信息学院第37页,共100页,编辑于2022年,星期一v输入为阶跃响应时,纯滞后环节的响应曲线如图输入为阶跃响应时,纯滞后环节的响应曲线如图v纯滞后环节的输出在延迟了纯滞后环节的输出在延迟了 时间后,与输入具有时间后,与输入具有相同的波形。相同的波形。西华大学电气信息学院第38页,共100页,编辑于2022年,星期一2.3 动态结构图动态结构图v结构图是动态系统结构图的简称,也称方框图等。结构图是动态系统结构图的简称,也称方框图等。v结构图利用方框、信号线、信号的相加点和信号的分支点结构图利用方框、信号线、信号的相加点和信号的分支点等符号直观地反映控制系统的组成、控制系统各组成部
23、等符号直观地反映控制系统的组成、控制系统各组成部分之间的连接关系以及系统中信号的传递方向和运算关分之间的连接关系以及系统中信号的传递方向和运算关系等。通过结构图的简化,可以获得系统的传递函数,系等。通过结构图的简化,可以获得系统的传递函数,也可以求取系统在任意输入信号作用下的输出响应。也可以求取系统在任意输入信号作用下的输出响应。西华大学电气信息学院第39页,共100页,编辑于2022年,星期一v2.3.1 动态结构图的组成与建立动态结构图的组成与建立v(1)基本图形符号基本图形符号v信号流线:带箭头的有向线段,箭头方向表示信号的信号流线:带箭头的有向线段,箭头方向表示信号的传递方向。传递方向
24、。v方框图:表示环节输入与输出之间信号传递关系。方框图:表示环节输入与输出之间信号传递关系。西华大学电气信息学院第40页,共100页,编辑于2022年,星期一v分支点:把一个信号分成多路进行输出。分支点:把一个信号分成多路进行输出。v相加点:进行两个或多个信号的代数和运算。相加点:进行两个或多个信号的代数和运算。西华大学电气信息学院第41页,共100页,编辑于2022年,星期一v(2)系统动态结构图建立的步骤系统动态结构图建立的步骤v利用系统各组成部分的微分方程得到,步骤一般为:利用系统各组成部分的微分方程得到,步骤一般为:v1)列写控制系统各组成部分的微分方程,零初始条件列写控制系统各组成部
25、分的微分方程,零初始条件进行拉氏变换,写出表示各环节输出量与输入量之间进行拉氏变换,写出表示各环节输出量与输入量之间关系的方程式。输出量写在等式左边,输入量写在等关系的方程式。输出量写在等式左边,输入量写在等式的右边。输入量要在至少一个方程的右边出现,除式的右边。输入量要在至少一个方程的右边出现,除输入量外,在某方程右边出现的中间变量,一定要在输入量外,在某方程右边出现的中间变量,一定要在另外方程的左边出现。另外方程的左边出现。西华大学电气信息学院第42页,共100页,编辑于2022年,星期一v2)根据上述关系绘制结构图的基本单元。根据上述关系绘制结构图的基本单元。v3)将各结构图基本单元相同
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