2022年《二元一次方程组》全章复习与巩固知识讲解.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载二元一次方程组全章复习与巩固（基础）学问讲解撰稿：吴婷婷 责编：常春芳【学习目标】1. 明白二元一次方程（组）的有关概念,会解简洁的（数字系数）；能依据详细问题中的数量关系,列出二元一次方程组解决简洁的实际问题,并能检验解的合理性 . 2. 二元一次方程组的图像解法,初步体会方程与函数的关系 . 3. 明白解二元一次方程组的“ 消元” 思想,从而初步懂得化“ 未知” 为“ 已知” 和化复杂问题为简洁问题的划归思想 . 【学问网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程

2、的定义定义： 方程中含有两个未知数（x 和 y ）,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：（1）在方程中“ 元” 是指未知数,“ 二元” 就是指方程中有且只有两个未知数 . （2）“ 未知数的次数为 1” 是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1. （3）二元一次方程的左边和右边都必需是整式 . 2. 二元一次方程的解定义： 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解 . 要点诠释：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结

3、精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二元一次方程的每一个解,学习必备欢迎下载一般要用大括号联立起来,都是一对数值, 而不是一个数值,即二元一次方程的解通常表示为xa的形式 .yb3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组. 此外,组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数3xx4y5. 2要点诠释：. 例如,二元一次方程组（1）它的一般形式为a x 1b y 1c 1（其中a ,a ,1b ,b 不同时为零） a xb yc 2（2）更一般地,假如两个一次方程合起来共有两个未知数,那么它们组成一个

4、二元一次方 程组（3）符号“” 表示同时满意,相当于“ 且” 的意思4. 二元一次方程组的解 定义： 一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 . 要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满意两个方程,所以检验是否是方程组的解,应把数值代入两个方程, 如两个方程同时成立,解不肯定是方程组的解 . （2）方程组的解要用大括号联立；才是方程组的解, 而方程组中某一个方程的某一组（3）一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有特别情形,如方程组2xy5无2xy6解,而方程组xxyy12的解有很多个 . 22要点二、二元一次方程组的解法 1. 解二元一次方程组的思想二元一次

5、方程组消元一元一次方程转化2. 解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：从方程组中选定一个系数比较简洁的方程进行变形,用含有 x（或 y ）的代数式表示y （或 x ）,即变成yaxb（或xayb）的形式；y 第 2 页,共 10 页 将yaxb（或xayb）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中,消去（或 x ）,得到一个关于x （或 y ）的一元一次方程；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

6、 - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载解这个一元一次方程,求出 x （或 y ）的值；把 x （或 y ）的值代入yaxb（或xayb）中,求 y （或 x ）的值；. 用“” 联立两个未知数的值,就是方程组的解要点诠释： 1 用代入法解二元一次方程组时,应先观看各项系数的特点,尽可能挑选变形后比较简洁或代入后化简比较简洁的方程变形；2 变形后的方程不能再代入原方程,只能代入原方程组中的另一个方程；3 要善于分析方程的特点,查找简便的解法 . 如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示,代入另一个方程, 或直接将某一方程代入另一个方程,这种方法叫做整体

7、代入法 . 整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一,它的运用可使运算简便,提高运算速度及精确率 . （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：依据“ 等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 原方程组化成有一个未知数的系数肯定值相等的形式；0 的数,等式仍旧成立” 的性质,将依据 “ 等式两边加上 （或减去） 同一个整式, 所得的方程与原方程是同解方程”的性质,将变形后的两个方程相加（或相减）,消去一个未知数,得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程,求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入原方程组中比较简洁的一个方程中,求出另一个未知数的值；将两个未知数的值用“” 联立在一起即可.

8、要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的肯定值相等或同一个未知数的系数成整数倍时,用加减消 元法较简洁 . （3）图像法解二元一次方程组的一般过程：把二元一次方程化成一次函数的形式在直角坐标系中画出两个一次函数的图像,并标出交点交点坐标就是方程组的解要点诠释：二元一次方程组无解 一次函数的图像平行（无交点）二元一次方程组有一解 一次函数的图像相交（有一个交点）二元一次方程组有很多个解一次函数的图像重合（有很多个交点）利用图像法求二元一次方程组的解是近似解,要得到精确解, 一般仍是用代入消元法和加减消元法解方程组 . 相反,求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次

9、方程组的解 . 要点三、实际问题与二元一次方程组细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载要点诠释：（1）解实际应用问题必需写“ 答”,而且在写答案前要依据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应当舍去；（2）“ 设” 、“ 答” 两步,都要写清单位名称；（3）一般来说,设几个未知数就应当列出几个方程并组成方程组 . 要点四、二元一次方程（组）与一次函数1. 二元一次

10、方程与一次函数的关系（ 1 ） 任 何 一 个 二 元 一 次 方 程 ax by c a、b 0, c 为常数 都 可 以 变 形 为y-a x c a、b 0 , 为常数 即为一个一次函数, 所以每个二元一次方程都对应一个一 b b次函数 . （2）我们知道每个二元一次方程都有很多组解,例如：方程 x y 5 我们列举出它的x 0, x 5, x 2,几组整数解有,我们发觉以这些整数解为坐标的点（0,5）,（5,0）,y 5; y 0; y 3（2,3）恰好在一次函数 yx 5 的图像上,反过来,在一次函数 y 5 x 的图像上任取一点,它的坐标也适合方程 x y 5 . 要点诠释：1.

11、以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2. 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3. 以二元一次方程的解为坐标的全部点组成的图像与相应一次函数的图像相同 . 2. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线 . 从“ 数” 的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这时的函数为何值；从“ 形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标 . 3. 用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法： 先设出函数表达式,再依据所给的条件确定表达式中未知数的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法. 利用待定系

12、数法解决问题的步骤：1. 确定所求问题含有待定系数解析式. . . 第 4 页,共 10 页 2. 依据所给条件 , 列出一组含有待定系数的方程3. 解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载要点五、三元一次方程组1定义： 含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是这样的方程组叫做三元一次方程组.3,4xyz1

13、2,2a7 b1 的方程叫做三元一次方程；1,并且一共有三个方程,像3x2yzz1,5,3 ac1,等都是三元一次方程组. xy5b3 c4要点诠释： 懂得三元一次方程组的定义时,要留意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）假如三个一元一次方程合起来共有三个未知数,它们就能组成一个三元一次方程组 . 2三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元,一般的,应利用代入法或加减法消去一个未知数,从而化三元为二元,然后解这个二元一次方程组,求出两个未知数,最终再求出另一个 未知数解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法,把方程组中一个方程与另两个方程分别组

14、成两组,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组,求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简洁的方程,得到一个一元 一次方程；（4）解这个一元一次方程,求出最终一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“ ” 合写在一起要点诠释：（1）有些特别的方程组可用特别的消元法,解题时要依据各方程特点寻求比较简洁的解法（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解,将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看每个方程的左右两边是否相等,如相等,就是原方程组的解,只要有一个方程的左、右两边不相等就不

15、是原方程组的解3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系,用字母 如 x,y,z 表示题目中的两个 或三个 未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）依据这些相等关系列出需要的代数式,从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组,求出未知数的值；（5）写出答案 包括单位名称 要点诠释：1 解实际应用题必需写“ 答” ,而且在写答案前要依据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的应当舍去2 “ 设” 、“ 答” 两步,都要写清单位名称,应留意单位是否统一3 一般来说,设几个未知数,就应列出几个方程并组成方程组【典

16、型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念细心整理归纳 精选学习资料 1. 以下方程组中,不是二元一次方程组的是（）. 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A.2x3y10 B.x11学习必备x2欢迎下载3y D.y2x5 C.2x2 x3yxyz23 x6xy6【思路点拨】 利用二元一次方程组的定义一一进行判定 . 【答案】 B.【解析】 二元一次方程组中只含有两个未知数,并且含有未知数的次数都是1,.方程组x22 x6x2

17、3 y中,x22xx23y可以整理为2x3y.xy【总结升华】 精确懂得二元一次方程组和二元一次方程的定义是解此题的关键举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例 1（2）】,b= 【变式】如x3 a2b22ya b5是二元一次方程,就a= 【答案】 1, 0 A.x2. 以x1为解的二元一次方程组是（y0） . xy02y1y0 B.xy0 C.x D.xy1xy1xy2xy【答案】 C.【解析】通过观看四个选项可知,每个选项的第一个二元一次方程都是xy0,其次个方程的左边都是xy,而右边不同,依据二元一次方程的解的意义可知,当x11时,yxy11 112. 【总结升华】

18、不满意或不全部满意方程组中的各方程的选项都不是方程组的解举一反三：【变式】如x2是关于x、y的方程2xy3k0的解,就 k . y1【答案】1. 类型二、二元一次方程组的解法3. 解方程组x15y24532 x543y【思路点拨】 由于此题结构比较复杂,不能直接消元,应先将方程组化为一般形式,再看如 何消元,即用加减或代入消元法细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【答案与解析】解

19、：将原方程组化简得x5y9x2y6得： -3y 3,得 y-1 ,将 y-1 代入中, x9-5 4故原方程组的解为x41y【总结升华】 消元法是解方程组的基本方法,元一次方程,从而使问题获解举一反三：消元的目的是把多元一次方程组逐步转化为一【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例 2（2）】mx+1=3x-y的 一 个 解 , 就【 变 式 】 已 知 方 程 组xy3的 解 是 二 元 一 次 方 程xy5m= 【答案】 3类型三、实际问题与二元一次方程组4.20XX 年以来,我国曾五次实施药品降价,累计降价的总金额为269 亿元,五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示,表中

20、缺失了2003、20XX年相关数据 . 已知 20XX年药品降价金额是20XX年药品降价金额的6 倍,结合表中的信息,求20XX年和 20XX年的药品降价金额 . 年份2002 2003 2004 2005 2007 降价金额（亿元）54 35 40 【思路点拨】 此题的两个相等关系为：（1）五年的降价金额一共是269 亿元；.（2）20XX年药品降价金额6 20XX年的药品降价金额【答案与解析】解：设 20XX年和 20XX年药品降价金额分别为x 亿元、 y 亿元 . 20 . 依据题意,得y6x3540y269,解方程组得x y54x120答： 20XX年和 20XX年的药品降价金额分别为

21、20 亿元和 120 亿元 . 【总结升华】 列方程 组 解实际问题的关键就是精确地找出等量关系,列方程 组 求解 .举一反三：【变式】 山东济南 如下列图, 老师节来临之际, 群群所在的班级预备向每位辛勤工作的教细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载师献一束鲜花, 每束由 4 支鲜花包装而成, 其中有象征母爱的康乃馨和象征敬重的水仙花两种鲜花,同一种鲜花每支的价格相同,请你依据第

22、一、二束鲜花供应的信息,求出第三束鲜花的价格【答案】解：设康乃馨每支x 元,水仙花每支y 元依据题意,可列方程组3 xyy19,解得x52x218y4所以第三束鲜花的价格是x+3y5+3 4 17 元 答：第三束鲜花的价格是 17 元类型四、二元一次方程（组）与一次函数5. 已知如下列图,直线 次方程组,并求出它的解【思路点拨】 由图知：直线L1,L2相交于 A 点,请依据图象写出以交点坐标为解的二元一l1、l2相交于 A 点,那么以两个函数的解析式为方程组的二元一次方程组的解即为两个函数图象的交点坐标【答案与解析】解：设直线l 1的解析式是y=kx+b ,已知直线l 1 经过（ 1,3）和（

23、 0,4）,依据题意, 第 8 页,共 10 页 得：kb3解得：k1b4b4就直线 l 1的函数解析式是y=-x+4 ；同理得直线l 2的函数解析式是y=2x+1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就所求的方程组是y2x4学习必备欢迎下载yx1两个函数图象的交点坐标为（1,3）,所以方程组的解为：x1y3【总结升华】 一般地,每个二元一次方程组都对应着两个一次函数,也就是两条直线从“ 数” 的角度看,解方程组就是求使两个

24、函数值相等的自变量的值以及此时的函数值从“ 形” 的角度看,解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标6. 甲、乙两列火车分别从 A、B 两城同时匀速驶出,甲车开往 B 城,乙车开往 A城由于墨迹遮盖, 图中供应的只是两车距 B 城的路程 s 甲（千米）、s 乙（千米） 与行驶时间 t（时）的函数图象的一部分（1）乙车的速度为 120 千米 / 时；（2）分别求出 s 甲、s 乙与 t 的函数关系式（不必写出 t 的取值范畴） ；（3）求出两城之间的路程,及 t 为何值时两车相遇；（4）当两车相距 300 千米时,求 t 的值【答案与解析】解：（1）120 1=120 千米 / 时,故答案为 1

25、20；（2）设 s 甲与 t 的函数关系为 s 甲=k1t+b ,图象过点（ 3,60）与（ 1,420）,解得s 甲与 t 的函数关系式为 s 甲= 180t+600 设 s 乙与 t 的函数关系式为 s 乙=k 2t ,图象过点（ 1,120）,k 2=120s乙与 t 的函数关系式为s 乙=120t （3）当 t=0 ,s 甲=600,两城之间的路程为 600 千米s 甲=s 乙,即180t+600=120t ,解得 t=2 当 t=2 时,两车相遇（4）当相遇前两车相距300 千米时, s 甲 s 乙=300, 第 9 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

26、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载即 180t+600 120t=300 ,解得 t=1 当相遇后两车相距 300 千米时, s 乙 s 甲=300,即 120t+180t 600=300解得 t=3 【总结升华】 考查用待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用；得到两个函数的关系式是解决此题的突破点；是解决此题的难点类型五、三元一次方程组用数形结合的方法判定出所求值与得到函数关系式的关系xy3 zz12,. 7. 解方程组2xyz3,3 xy716.【思路点拨】 先用加减法消去y ,变为 x 、 z 的二元一次方程组【答案与解析】解： +,得 3x2z9. 1,y 比先消去 x 或 z 更简便 . 第 10 页,共 10 页 +,得 5x8z19. 解方程组3x2 z9,得x5x8 z19,z3.把x1,代入,得y2. z31,所以先消去x1,所以方程组的解是y2,z3.【总结升华】 由于 y 的系数为1或细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -