2022年《点集拓扑讲义》第一章集合论初步学习笔记.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载点集拓扑学第一章 集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本学问从未经定义的“ 集合” 和“ 元素” 两个概念动身,给出集合运算、关系、映射以及集合的基数 等方面的学问至于挑选公理,只是稍稍提了一下,进一步的学问待 到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的规律困惑之中；这里所介绍的集合论通常称为“ 朴实的集合论” ,假如对集合的 理论有进一步的需求,例如准备争论集合论本身或者准备争论数理逻 辑,可以去研读有关公理集合论的专著即令就朴实集合论本身而言,我们也无意使本章的内容构成一个 完全自我封

2、闭的体系,主要是我们没有准备重建数系,而假定读者了 解有关正整数,整数,有理数,实数的基本学问,以及其中的四就运 算,大小的比较 和 ,和实数理论中关于实数的完备性的论断（任 何由实数构成的集合有上界必有上确界）等,它们对于读者决不会是 生疏的此外,对于通常的（算术）归纳原就也按读者早已熟识的方 式去使用,而不另作规律上的处理 1.1 集合的基本概念 集合这一概念是简洁被读者所懂得的,它指的是由某些具有某种 共同特点的个体构成的集体例如我们常说“ 正在这里听课的全体学 生的集合” ,“ 全部整数的集合” 等等集合也常称为集,族,类细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

3、- - - - - - 第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载集合（即通常所谓的“ 集体” ） 是由它的元素 （即通常所谓的“ 个 体” 构成的例如正在这里听课的全体同学的集合以正在听课的每一 个同学为它的元素；全部整数的集合以每一个整数为它的元素元素 也常称为元,点,或成员集合也可以没有元素例如平方等于2 的有理数的集合,既大于1又小于 2 的整数的集合都没有任何元素这种没有元素的集合我们称 之为空集,记作此外,由一个元素构成的集合,我们常称为单点 集集合的表示

4、法：（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成 是定义集合的一个重要方式（像前面所作的那样） ,（2）描述法：我们仍通过以下的方式来定义集合：记号 x| 关于 x 的一个命题 P 表示使花括号中竖线后面的那个命题P 成立的全部元素x 构成的集合例如,集合 x| x 为实数,并且 0x1 即通常所谓开区间 （0,1）在运用集合这种定义方式时有时答应一些变通,例如集合 是实数 便是集合 ,其中 x 是实数 的简略表示 , 不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的集合表示方式中的竖线“| ” 也可用冒号“ ：” 或分号“ ；” 来代替细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

5、- - - - - - 第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（3）列举法：也常将一个集合的全部元素列举出来再加上花括号以表示这个集合例如 表示由元素 构成的集合如果的确不至于发生混淆, 在用列举的方法表示集合时容许某种省略例如,有时我们可以用 1 ,2,3, 表示全体正整数构成的集合,用1 ,3,5, 表示全体正奇数相成的集合但我们并不勉励这种做法,因为后面的规律不是很清晰,简洁产生误会我们一再提请读者留意：不管你用任何一种方式定义集合,最重要的是不答应产生歧义

6、,也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的在本书中,我们用：表示全体正整数构成的集合,称为正整数集；Z 表示全体整数构成的集合,称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合,称为有理数集；R表示全体实数构成的集合,称为实数集；并且假定读者熟知这些集合以下是一些常用的记号：表示元素与集合的关系,如：xX , xx 等：表示集合与集合的关系,如：AB （等价于） 这个记号即是通常数学课本中的 ：表示与上述相反的含义细心整理归纳 精选学习资料 =：表示两个集合相等,如：A=B（等价于） 第 3 页,共 23 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7、 - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载以下的这个定理等价于形式规律中的相应命题,从直觉着去看也是自明的定理 1.1.1 设 A,B,C都是集合,就（l ）AA；（2）如 AB,就 BA；（3）如 AB,B=C,就 AC定理 1.1.2 设 A,B,C都是集合,就（l ）A A；（2）如 A B,B A,就 AB；（3）如 A B,B C,就 A C证明 （l ）明显（2）A B意即：如 xA,就 xB；BA 意即：如 xB,就 xA这两者合起来正好就是AB 的意思（3）xA由于 A B,故 xB；又由于 B C,从而

8、xC综上所述,假如 xA 就有 xC此意即 A C由于空集 不含任何元素,所以它包含于每一个集合之中由此我们可以得出结论：空集是惟一的细心整理归纳 精选学习资料 设 A,B是两个集合假如AB,我们就称 A为 B的子集； 第 4 页,共 23 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载假如 A是 B的子集,但 A 又不等于 B,即 A B,A B,也就是说 A的每一个元素都是B 的元素,但 B 中至少有一个元素不是A 的元素,这时,

9、我们称 A为 B的真子集 . 我们常常需要争论以集合作为元素的集合,并且为了强调这一特点,这类集合常称为集族 . 例如, A=1,1,2,1,2,3 是一个集族 .它的三个元素分别为 :1,1,2,1,2,3 及 . 设 X是一个集合, 我们常用 P（X）表示 X的全部子集构成的集族,称为集合 X的幂集例如,集合1,2 的幂集是 P=1,1,2,2, . 本章中所介绍的集合论是所谓“ 朴实的” 集合论在这种集合论中,“ 集合” 和“ 元素” 等基本概念均不加定义而被认作是自明的正由于如此, 历史上曾经产生过一些悖论. 而对于绝大多数读者来说明白朴实的集合已是足够的了,只是要求他们在运用的时候保

10、持适当的谨 慎,以免导致规律冲突例如,我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素即：如A是集合就 AA 不成立这一点是简洁懂得的例如,由一些同学组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学 生因此,我们不能说“ 全部集合构成的集合” ,由于假如有这样一 个“ 集合” 的话,它本身既是一个集合,就应当是这个“ 全部集合构 成的集合” 的一个元素了也因此,我们应当能够明白一个元素 a 和 仅含一个元素 a 的单点集 a 是两回事, 尽管我们有时为了行文的简便 而在记号上忽视这个区分作业：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 23 页

11、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载把握集合、元素的概念、表示法 娴熟区分“ ” 与“” 的意义 1.2 集合的基本运算 在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算,这三种运 算的基本规律,以及它们与集合的包含关系之间的基本关联定义 1.2.1 设 A与 B是两个集合集合x|x A 或 xB称为集合 A与集合 B的并集或并,记作 AUB,读为 A并 B集合x|x A 且 xB称为集合 A与集合 B的交集或交,记作 AB,读为 A交 B如 AB= 如,就称集合 A与集合 B无交或不相

12、交；反之,AB,就称集合 A与集合 B有（非空的）交集合x|x A 且 x B称为集合 A与集合 B的差集,记作 AB或 AB,读为 A差 B,或 A减 B关于集合的并、交、差三种运算之间,有以下的基本规律定理 1.2.1 设 A,B,C都是集合就以下等式成立：（1）幂等律 AAA AA=A（2）交换律细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ABBA优秀学习资料欢迎下载AB=BA （3）结合律 ABC

13、ABC ABCABC（4）安排律 ABCACBC ABCACBC（5）DeMongan律 A-BUC=（A- BA -C A-B C A-BUA-C 集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联定理 1.2.2 设 A,B是两个集合以下三个条件等价：（l ）A B；（2）AB A；（3）AB B设 X是一个基础集对于 X的任何一个子集 A,我们 定义 1.2.2 称 XA为 A（相对于基础集 X而言）的补集或余集记作我们应当提示读者,补集的定义与基础集的选取有关所以在争论某一个问题时,如用到补集这个概念,在整个工作过程中基础集 必需保持不变细心整理归纳 精选学习资料 - -

14、- - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载定理 1.2.3 设 X是一个基础集如 A,B为 X的子集,就以上证明均只须用到集合的各种定义 作业:熟记这两节的各种公式 . , 此处不证 , 略去. 把握证明两个集合A=B与 AB的基本方法（） 1.3关 系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算,以及 等价等种种概念,它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的 元素之间的某种联系为了明确地定义它们,我们先定

15、义“ 关系” ,而为了定义关系,又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念定义 1.3.1 设 X和 Y是两个集合集合 （x,y）|x X,yY称为 X 与 Y 的笛卡儿积,记作X Y,读为 X 叉乘 Y其中 x ,y 是一个有序偶, x 称为（x,y）的第一个坐标, y 称为（ x,y）的其次个坐 标X称为 X Y 的第一个坐标集, Y称为 X Y 的其次个坐标集集合X与自身的笛卡儿积X X 称为 X的 2 重（笛卡儿）积,通常简洁记作 第 8 页,共 23 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结

16、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“ 开区间” 的记号 是一样的,有时简洁混淆因此在可能发生混淆的情形下应当加以说 明,以防止误会给定两个集合,通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合,这 个方法对于读者并不生疏以前学过的数学中通过实数集合构作复数 集合,通过直线构作平面时,用的都是这个方法我们应当留意, 一般说来集合 X与集合 Y的笛卡儿积 X Y 完全不 同于集合 Y与集合 X的笛卡儿积 Y X定义 1.3.3 设 X,Y是两个集合假如 R是 X与 Y的笛卡儿积 X Y 的一个子集,即 R

17、X Y,就称 R是从 X到 Y的一个关系定义 1.3.4 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系,即 R X Y如 果x ,y）R,就我们称 x 与 y 是 R相关的,并且记作 xRy假如 A X,就 Y的子集 y Y|存在 xA 使得 xRy 称为集合 A 对于关系 R而言的象集,或者简洁地称为集合 A 的象集,或者称为集合 A的 R象,并且记作 R（A）,R（X）称为关系 R的值域关系的概念是非常广泛的读者很快便会看到,以前在另外的数 学学科中学过的函数（映射）,等价,序,运算等等概念都是关系的特例这里有两个特殊简洁的从集合X到集合 Y的关系,一个是X Y本身,另一个是空集请读者自己对它们

18、进行简洁的考查细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载定义 1.3.5 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系,即 R X Y这时笛卡儿积 Y X 的子集 （y,x）Y X|xRy是从集合 Y 到集合 X 的一个关系,我们称它为关系 R的逆,并且记作假如 B Y,X 的子集（B）是集合 B的 象, 我们也常称它为集合 B对于关系 R而言的原象,或者集合B的 R原象特殊,关系的值域

19、（Y）也称为关系 R的定义域定义 1.3.6 设 R是从某个 X到集合 Y的一个关系, 即 R X Y,S是从集合 y 到集合 Z 的一个关系,即 S Y Z集合 （x,z）X Y|存在 yY 使得 xRy 并且 ySz是笛卡儿积 X Z 的一个子集,即从集合X到集合 Z 的一个关系, 此关系称为关系 R与关系 S的复合或积, 记作S R定理 1.3.1 设 R是从集合 X到集合 Y 的一个关系, S是从集合 Y到集合 Z 的一个关系, T 是从集合 Z 到集合 U的一个关系就：证明 略 定理 1.3.2 设 R是从集合 X到集合 Y 的一个关系, S是从某个 Y到集合 Z 的一个关系就对于

20、X的任意两个子集 A 和 B,我们有：（1）R（AB） R（A）R（B）；细心整理归纳 精选学习资料 （2）R（AB）R（A）R（B）； 第 10 页,共 23 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（3）（S R）（A）SRA 证明 略 在本节的最终我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念,它是两个集合的笛卡儿积的概念的简洁推广定 义 1.3.7 设 是 n 1 个 集 合 集 合称为 的笛卡儿积,并且记作 或者 其中 为有次

21、序的 n 元素组,i=1,2, n 称为 n 元素组 的第 i 个坐标,（i 1,2, ,n）称为笛卡儿积 的第 i 个坐标集n1 个集合 X的笛卡儿积 X X X 常简洁地记作n 个集合的笛卡儿积的概念读者必定也不会感到生疏,在线性代数中 n 维欧氏空间作为集合而言就是 儿积n 个直线（作为集合而言）的笛卡需要提示读者的是,假如你在给定的 n 个集合中交换了集合的次 序,一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合至今我们并未定 义“ 0 个集合的笛卡儿积” , 此事将来再以某种方式补充（参见 91）作业: 懂得“ 关系” 的概念 , 把握“ 关系” 与“ 映射” 的异同 , “ 映射”与“ 函

22、数” 的异同 . 映射要求象惟一 , 关系没要求 . 函数要求定义域与 值域是数域 , 而映射不肯定 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载把握运算乘积的概念与性质 把握集合的笛卡儿积中元素的形式 1.4 等价关系 初等数论中的同余类的概念,群论中的商群的概念,乃至于解析 几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的这些概念的精确定 义事实上都有赖于本节中所争论的等价关系的概念

23、在本书中我们将 通过等价关系来定义拓扑空间的商空间定义 1.4.1 设 X是一个集合从集合 X到集合 X的一个关系将简称为集合 X中的一个关系集合X中的关系 （x,x）|x X称为恒同关系,或恒同,对角线,记作 （X）或 定义 1.4.2 设 R是集合 X中的一个关系 . 关系 R称为自反的,如果 X R,即对于任何 xX,有 xRx；关系 R称为对称的,假如,即对于任何 x,yX,假如 xRy 就 yRx；关系 R 称为反对称的,假如,即对于任何 x,yX,xRy 和 yRx 不能同时成立；关系 R称为传递的,假如 R R R,即对于任何 x,y,zX,假如 xRy,yRz,就有 xRz集合

24、 X 中的一个关系假如同时是自反、对称和传递的,就称为集合 X中的一个等价关系简洁验证集合X 中的恒同关系 （ X）是自反、对称、传递的, 因此是 X中的一个等价关系细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载集合 X的幂集 PX 中两个元素（即集合 X的两个子集）之间的“ 相等关系” 可以懂得为集合 PX PX 的子集 （A,B）|A ,BPX ,A=B 从定理 1.1.l中可见

25、,它是自反、对称、传递的,因此是P（X）中的一个等价关系集合 X的幂集 PX 中两个元素（即集合 X的两个子集）之间的“ 包含关系” 可以懂得为集合PX） PX 的子集 （A,B）|A ,BP X ,A B 依据定理 1.1.2可见,它是自反的、传递的,但简洁知道它不是对称的,因此不是 PX 中的一个等价关系集合 X的幂集 PX 中两个元素（即集合 X的两个子集）之间的“ 真子集关系” 可以懂得为集合PX PX 的子集 A ,B|A ,BPX ,A B,A B 依据定理 1.1.3 可见,它是反对称的,传递的,但它不是自反的,因而不是 PX 中的一个等价关系实数集合 R中有一个通常的小于关系,

26、即 （x,y）|x ,yR,xy R R 的子集简洁验证关系是反对称的,传递的,但不是自反的设 p 是一个素数,我们在整数集合Z 中定义一个关系p 如下：=（x,y）Z Z| 存在 nZ 使得 xy=np 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -关系优秀学习资料欢迎下载是自反的,常称为模 p 等价关系,简洁验证模 p 等价关系对称的,传递的,因此是Z 中的一个等价关系定义 1.4.3 设 R是集合

27、X中的一个等价关系 集合 X 中的两个点x,y,假如满意条件： xRy,就称 x 与 y 是 R等价的, 或简称为等价的；对于每一个 xX,集合 X的子集： y X|xRy 称为 x 的 R等价类或等价类,常记作或x ,并且任何一个y都称为 R 等价类的一个代表元素；集族 商集,记作 XR| xX称为集合 X相对于等价关系 R而言的我们考虑整数集合 Z 中的模 2 等价关系 , 易见,1 3 和 2 8因此 1 与 3 是 等价的, 2 和 8 也是 等价的整数 2 所属的等价类是全部偶数构成的集合,每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素此外易见,商集Z/有且仅有两个元素：一个是全部奇数

28、构成的集合,另一个是全部偶数构成的集合下面这个定理说明,给定了一个等价关系,等于说给定了一个分类的原就,把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类,使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中. 证明 第 14 页,共 23 页 定理 1.4.1 设 R是非空集合 X中的一个等价关系就：（1）假如 xX,就 x,因而；（2）对于任意 x,yX,或者=,或者（1）设 xX,由于 R是自反的,所以 xRx,因此 x, 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

29、 - - - - - - -（3）对于任意优秀学习资料欢迎下载此时有zRx,且x,yX,假如,设zx y.zRy由于 R是对称的,所以xRz又由于 R是传递的,所以xRy对于任何一个 t 即 t 这证明,有 tRx,由上述 xRy和 R的传递性可见 tRy,同理可证因此=个 留意 : 要证或者 或者 , 应从以下入手 : 否定掉一个 , 去证另一在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p 的等价关系 将整数集合 Z 分为互不相交的等价类,每一个等价类记作,称为整数 x 的模 p 同余类让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：第一将固定向量定义为平面（或n 维欧氏空间）中的有序偶；然后在

30、全体固定向量构成的集合 （临时记为 X）中定义一个关系, 使得两个固定向 量 x 和 y相关（即 xy）当且仅当 x 能通过平面（或 n 维欧氏空间）的一个平移与 y 重合简洁验证这个关系是 一个等价类便称为一个自由向量作业:X中的一个等价关系 每娴熟把握等价关系 , 等价类的概念 . 把握商集的概念 . 明确商集的构成细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 1.5映射优秀学习资料欢迎下载数学分析

31、中的函数概念,群论中的同态概念,线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所争论的映射概念定义 1.5.1 设 F 是从集合 X到集合 Y的一个关系假如对于每一个 xX 存在惟一的一个 yY 使得 xFy,就称 F 是从 X到 Y的一个映射,并且记作 F：XY换言之, F 是一个映射,假如对于每一个 xX：（1）存在 yY,使得 xFy；（2）假如对于Y 有 和,就定义 1.5.2 设 X和 Y是两个集合, F：XY读做 F 是从 X 到 Y 的一个映射 对于每一个 xX,使得 xFy 的唯独的那个 yY 称为 x 的象或值,记作 F（x）；对于每一

32、个 yY,假如 xX 使得 xFy（即 y 是x 的象）,就称 x 是 y 的一个原象（留意： yY 可以没有原象,也可以有不止一个原象）由于映射本身便是关系,因此,假如 个映射,那么：F 是从集合 X到集合 Y 的一（1）对于任何 A X,象 F（A）有定义,并且 FA=Fx|xA（2）对于任何 B Y,原象（B）有定义,并且（B）=x X|Fx B 留意 :x 与 x的异同 , 前者不一 第 16 页,共 23 页 - - - - - - - - - 定有意义 , 而后者总存在；前者表示元素,后者表示集合 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

33、-名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载G F 作为（3）假如 Z 也是一个集合并且G：YZ,就关系的复合一个从 X到 Z 的关系有定义；（4）作为从 Y到 X的一个关系有定义,但一般说来不是一个从 Y到 X的映射 这要看 F 是否是一一映射 ；（5）F 的定义域有定义,并且它就是 都必需有象 （6）F 的值域有定义,并且它就是X； 意味着 X中的每个元素F（X）FX 不肯定布满 Y 定理 1.5.1 设 X,Y和 Z 都是集合假如 F：XY 和 G：YZ,就 G F：XZ；并且对于任何 xX,有 G F（x）GFx 这实际上

34、是映射的积的本质 证明 略 但要懂得上式等号左右两边的不同含义 , 前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在 再作用在 Fx 上 x 上, 后者是 F 先作用在 x 上, 然后 G今后我们常用小写字母 f ,g,h, 表示映射定理 1.5.2 设 X 和 Y 是两个集合, f:X Y假如 A,B Y 就（1）（AB）（A）（B）；（2）（AB）（A）（B）；（3）（A-B）（A）-（B）简言之,映射的原象保持集合的并,交,差运算证明 略 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归

35、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载定义 1.5.3 设 X和 Y是两个集合, XY假如 Y中的每一个点都有原象（即 f 的值域为 Y,亦即 f （X）=Y）,就称 f 是一个满射,或者称 f 为一个从 X到 Y 上的映射；假如 X 中不同的点的象是 Y 中不同的点（即对于任何,假如,就有,就称 f是一个单射；假如 f 既是一个单射又是一个满射,就称 f 为一个既单且满的映射,或者一一映射假如 f （X）是一个单点集,就称f 是一个常值映射,并且当f （X）=y 时,我们也说 f 是一个取常值 y 的映射易见,集合 X中的恒同关

36、系 （ X）是从 X到 X的一个一一映射,我们也常称之为（集合 映射,并且也常用记号X 上的）恒同映射或恒同,有时也称之为单位 或 i ：XX 来表示它依据定义易见,对于任何 xX,有 ix=x 概言之,恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射由于下面的这个定理,一一映射也称为可逆映射定理 1.5.3 设 X 和 Y是两个集合又设 f:X Y假如 f 是一个一一映射,就 便是一个从 Y到 X的映射（因此我们可以写：YX）,并且是既单且满的此外我们仍有：定理 1.5.4 和证明 略 设 X,Y 和 Z 都是集合, f:X Y, g：YZ假如 f和 g 都是单射,就 gof:X Z 也是单射；假

37、如 f 和 g 都是满射,就 g 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载f:X Z 也是满射因此,假如 f 和 g 都是一一映射,就 g f:X Z 也是一一映射这个定理的证明留给读者定义 1.5.4 设 X和 Y是两个集合,A是 X的一个子集映射 f:X Y和 g：AY 假如满意条件 g f 即对于任何 aA 有 f （a）=g（a）,就称 g 是 f 的限制,也称 f 是

38、 g 的一个扩张,记作特殊地,恒同映射：XX 在 X 的子集 A 上的限制：AX 称为内射这时我们有对于任何 aA,a=a 将映射定义作为一种特殊的关系, 从理论上来说是非常清晰的 这样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“ 集合” 和“ 元素” 不再有任何未经定义的对象假如每一次定义一个映射都要将这个映射写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集,这究竟是件麻烦事；因此我们在定义映射时宁愿采纳我们从前惯用的方法：为定义域中的每一个点指定值域中的一个点作为它的象以下我们定义往后常常要用到的两个映射作为例子定义 1.5.5 设 是 n0 个集合, 1i n从笛卡儿积到它的第 i 个坐标集 的投射

39、（或称第 i 个投射）：X定义为对于每一个定义 1.5.6 设 R是集合 X中的一个等价关系 从集合 X到它的商集 X/R 的自然投射： p:XX/R 定义为对于每一个 xX,p（x）=作业:细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载娴熟把握本节的全部定义与定理；留意定理 1.3.22与定理 1.5.2 的区分；娴熟记忆 P23习题 1. 2 与定理 1.5.2 1.6 集族及其运算设 是一个集合假如对于每一个 ,指定了一个集合A,我们就说给定了一个有标集族,或者在不至于引起混淆的情形下干脆说给定了一个集族,同时 称为（有标）集族的指标集定理 1.6.2 设是一个非空的有标集族,A是一个集合就,（1