2022年必修五-基本不等式-教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a2b 3.4 基本不等式ab第 1 课时 授课类型： 新授课【教学目标】1学问与技能：学会推导并把握基本不等式,懂得这个基本不等式的几何意义,并把握定 理中的不等号“ ” 取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的爱好【教学重点】应用数形结合的思想懂得不等式,并从不同角度探究不等式aba2b的证明过程；【教学难点】基本不等式aba2b等号成立条件【教学过程】1. 课题导入会标是依据中国古代数学 代表中国人民热忱好客；基本不等式

2、aba2b的几何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标,家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？老师引导同学从 面积 的关系去找相等关系或不等关系；2. 讲授新课 1探究图形中的不等关系将图中的“ 风车” 抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形；设直角三角2 2形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a b；这样, 4 个直角三角形的面积的和是 2ab,正方形的面积为 a 2b ；由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们 2就得到了一个不等式：a 2b 22 ab ；当直角三角形变为等腰直角

3、三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有2 2a b 2 ab ；2得到结论：一般的,假如 a , b R, 那么 a 2 b 2 2 ab 当且仅当 a b 时取 号 3摸索证明：你能给出它的证明吗？证明：由于a2b22abab2当名师归纳总结 ab 时,ab20,当ab 时,ab20,第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,ab 20,即a2学习必备2欢迎下载b2ab .41）从几何图形的面积关系熟悉基本不等式abab2ab ,2特殊的,假如a0,b0, 我们用分别代替a、b ,可得ab通常我们把上式写作：

4、aba2ba0,b0 2 ）从不等式的性质推导基本不等式aba2b用分析法证明：要证abab 1 （3）2只要证 a+b 2 要证（ 2）,只要证 a+b- 0 要证（ 3）,只要证（ - ）2（4）明显,（ 4）是成立的；当且仅当a=b 时,（ 4）中的等号成立；3）懂得基本不等式aba2b的几何意义探究： 课本第 110 页的“ 探究”在右图中, AB 是圆的直径,点C 是 AB 上的一点, AC=a,BC=b；过点 C作垂直于AB的弦 DE,连接 AD、BD；你能利用这个图形得出基本不等式aba2b的几何说明吗？易证 t ADt DB,那么 D 2A B 即Dab . 这个圆的半径为 a

5、 b,明显,它大于或等于 CD,即 a b ab,其中当且仅当点 C 与2 2圆心重合,即 ab 时,等号成立 . 因此：基本不等式 ab a b几何意义是“半径不小于半弦”2评述： 1. 假如把 a b 看作是正数 a、b 的等差中项,ab 看作是正数 a、b 的等比中项,2那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 . 2. 在数学中,我们称 a b 为 a、b 的算术平均数,称 ab 为 a、b 的几何平均数 . 本2节定理仍可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 补充例题 例 1 已知 x、y 都是正数,求证：名师归纳总结 1yx2；第 2 页,共

6、8 页xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 （xy）（ x 2y2）（ x3y学习必备3. 欢迎下载3） x 3y分析：在运用定理：a2bab时,留意条件a、b 均为正数,结合不等式的性质x 把握好每条性质成立的条件 ,进行变形 . 解： x,y 都是正数x 0,yy 0,x x20,y20,x 30, y 30 1xy2xy2 即xy2. yxyxyx3y32 xy2xy 0 x 2 y 22x2 y 2 0 x3y320 （ x y）（ x 2y2）（ x 3y 3） 2xy 2x2 y2 2x 3 y3 x 3y3即（ x y）（ x 2y2

7、）（ x 3y 3） x3y 3. 3. 随堂练习 1. 已知 a、b、c 都是正数,求证（ab）（ bc）（ ca） abc分析：对于此类题目,挑选定理：a2bab（a0,b0）敏捷变形,可求得结果. 解： a,b, c 都是正数ab2ab 0 ab 2bc 2ac abcbc2bc 0 ca2ac 0 （ a b）（ bc）（ ca） 2即（ ab）（ bc）（ c a） abc. 4. 课时小结本节课,我们学习了重要不等式 a 2b 22ab；两正数 a、b 的算术平均数（a b）,2几何平均数 （ab ）及它们的关系 （a bab ）. 它们成立的条件不同,前者只要求 a、2 b 都是

8、实数,而后者要求 a、b都是正数 . 它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具 下一节我们将学习它们的应用题： aba22b2, ab（a2b）2. 5. 评判设计. 我们仍可以用它们下面的等价变形来解决问名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课本第 113 页习题 A 组的第 1 题课题 : 3.4 基本不等式aba2b第 2 课时授课类型： 新授课【教学目标】1学问与技能： 进一步把握基本不等式aba2b；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简洁的实际问题2过程与方法：通过两个

9、例题的讨论,进一步把握基本不等式aba2b,并会用此定理求某些函数的最大、最小值；3情态与价值：引发同学学习和使用数学学问的爱好,进展创新精神,培育实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；【教学重点】基本不等式aba2b的应用【教学难点】利用基本不等式aba2b求最大值、最小值；【教学过程】1. 课题导入1重要不等式：a2假如a,bR,那么a2b22 ab当且仅当ab时取号ab 时取号 .2基本不等式：假如ba,b 是正数,那么aba ,ab 当且仅当2我们称a2b为a ,的算术平均数,称b的几何平均数ab为a,b 都是实数,而后者b22 ab和a2bab成立的条件是不同的：前者只要求

10、要求 a,b 都是正数；2. 讲授新课例 1（1）用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短；最短的篱笆是多少？（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少名师归纳总结 时,菜园的面积最大,最大面积是多少. 第 4 页,共 8 页解：（ 1）设矩形菜园的长为x m,宽为 y m,就 xy=100,篱笆的长为2（x+y） m；由x2yxy ,可得xy2 100,2xy40；等号当且仅当x=y 时成立, 此时 x=y=10. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此,这个矩形

11、的长、宽都为学习必备欢迎下载40m. 10m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm,就长为（ 362x）m,其中0x1 ,其 2面积 S x（36 2x）1 22x（362x）12x362x2362228当且仅当 2x362x,即 x9 时菜园面积最大,即菜园长大为 81 m29m,宽为 9 m 时菜园面积最m解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为 y m , 就 2x+y=36, x+y=18, 矩形菜园的面积为xy 2 ；由xyx2y189,可得xy812当且仅当 x=y,即 x=y=9 时,等号成立；因此,这个矩形的长、宽都为9m 时,菜园的面积最大,最大面积

12、是81m2归纳： 1. 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即如为定值,就abM2,等号当且仅当ab 时成立 . 42. 两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即如定值,就 ab 2P ,等号当且仅当a b 时成立 . a,bR,且 abM,Ma,bR,且 abP,P 为例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m 3,深为 3m,假如池底每 1m的造价为 150 元,池壁每 1m 2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造2价是多少元？分析： 此题第一需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理；解：

13、设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为l 元,依据题意,得297600l240000720 x1600x2400007202x1600x240000720240297600当x1600, 即x40 时 ,l有最小值2976000 .x因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是元评述 ：此题既是不等式性质在实际中的应用,应留意数学语言的应用即函数解析式的建立,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又是不等式性质在求最值中的应用,应留意不等式性质的适用条件；归纳： 用均值

14、不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行：1 先懂得题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；2 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；3 在定义域内,求出函数的最大值或最小值；4 正确写出答案 . 3. 随堂练习1. 已知 x 0,当 x 取什么值时, x 281的值最小 .最小值是多少 . x22课本第 113 页的练习 1、2、3、4 4. 课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺当解决了函数的一些最值 问题； 在用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在详细求解时,应留意考 查以下三个条件：1 函数的解析式中,

15、各项均为正数；2 函数的解析式中,含变数的各项 的和或积必需有一个为定值；3 函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件：一正二定三取 等；5. 评判设计 课本第 113 页习题 A 组的第 2、 4 题课题 : 3.4 基本不等式aba2b第 3 课时 授课类型： 习题课【教学目标】1学问与技能： 进一步把握基本不等式 ab a b；会用此不等式证明不等式 , 会应用此 2 不等式求某些函数的最值 , 能够解决一些简洁的实际问题；2过程与方法：通过例题的讨论,进一步把握基本不等式 ab a b,并会用此定理求 2 某些函数的最大、最小值；3

16、情态与价值：引发同学学习和使用数学学问的爱好,进展创新精神,培育实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德；【教学重点】把握基本不等式aba2b,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值；【教学过程】名师归纳总结 1. 课题导入a,b 是正数,那么a2bab 当且仅当ab 时取号 .第 6 页,共 8 页1基本不等式：假如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2用基本不等式aba2b学习必备欢迎下载求最大（小）值的步骤；2. 讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例 1 已知 m0,求证24 6

17、m 24；m 思维切入 由于 m0,所以可把24 和 6m 分别看作基本不等式中的m等式； 证明 由于 m0, ,由基本不等式得246m2246m2 2462 1224mma 和 b, 直接利用基本不当且仅当24 m=6m ,即 m=2时,取等号；246m=144 为定值的前提条件；规律技巧总结留意： m0 这一前提条件和m3. 随堂练习 1 思维拓展 1 已知 a,b,c,d2都是正数,求证abcdacbd4abcd . 思维拓展 2 求证a2bc2d2acbd2. 例 2 求证 :a43a7. 思维切入 由于不等式左边含有字母a, 右边无字母 , 直接使用基本不等式, 无法约掉字母a, 而

18、左边a43aa43 a33. 这样变形后 , 在用基本不等式即可得证. 证明 a433a43a332a43a332437当且仅当a43=a-3 即 a=5 时, 等号成立 . 规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2 利用不等式求最值名师归纳总结 例 3 1 如 x0, 求f x 4x9 x的最小值 ; 第 7 页,共 8 页 2如 x0和4x9学习必备欢迎下载=36 两个前提条件 ;2 中 x0 来转化 . x解1 由于 x0 由基本不等式得12, 当且仅当4x9即 x=3 2时 , f x 4x9取f x 4x92 4x92 36xxxx最小值 12. 2 由于 x0, 由基

19、本不等式得: f 4x9 4 92 4 92 3612, xxx所以f x 12. 当且仅当4x9即 x=-3 2时, f x 4x9取得最大 -12. xx规律技巧总结利用基本不等式求最值时,个项必需为正数,如为负数 ,就添负号变正 .随堂练习 2 思维拓展 1 求f x 4xx95x5 的最小值 . 思维拓展 2 如 x0,y0, 且2 x81, 求 xy 的最小值 . y4. 课时小结用基本不等式aba2b证明不等式和求函数的最大、最小值；5. 评判设计名师归纳总结 证明：a2b222a2bx11有最小值,最小值为几？第 8 页,共 8 页如x1,就 x 为何值时x- - - - - - -