九年级数学下册《垂径定理》分项练习真题【解析版】.pdf

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1、1【解析版】专题 3.3 垂径定理姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分 100 分,试题共 24 题,其中选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 1010 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,共共 3030 分分)在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的 1(2019 秋金平区期末)下列语句,错误的是()A直径是弦B相等的圆心角所对的弧相等C弦的垂直平分线一定经过圆心D平分弧的半径垂直于弧所

2、对的弦【分析】根据圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,圆的有关概念判断即可【解析】直径是弦,A正确,不符合题意;在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,B错误,符合题意;弦的垂直平分线一定经过圆心,C正确,不符合题意;平分弧的半径垂直于弧所对的弦,D正确,不符合题意;故选:B2(2019 春西湖区校级月考)如图,O的直径CD10,AB是O的弦,ABCD于M,且DM:MC4:1,则AB的长是()A2B8C16D【分析】连接OA,由直径DC与弦AB垂直,根据垂径定理得到M为AB的中点,要求AB只需求出AM即可,AM放在直角三角形AOM中,先由DC的长及DM与MC的比值,求出DM与MC的长,且求出半径

3、OD及OA的长,进而利用DMOD求出OM的长,在直角三角形AOM中,由OA和OM的长,利用勾股定理求出AM,最后利用AB2AM即可求出AB的长【解析】连接OA,如图,2DCAB,且DC为圆O的直径,M为AB中点,即AMBMAB,又CD10,DM:MC4:1,DMDC8,MCDC2,且OAOD5,OMDMOD853,在 RtAOM中,根据勾股定理得:OA2OM2+AM2,即AM4,则AB2AM8故选:B3(2019 秋兴国县期末)如图,O的弦ABOC,且OD2DC,AB2,则O的半径为()A1B2C3D9【分析】设OD2a,则CDa,OA3a,由垂径定理得出ADBDAB,在 RtODA中,由勾股

4、定理得出方程,求出方程的解即可【解析】设OD2a,则CDa,OA3a,ABOC,OC为半径,ADBDAB,在 RtODA中,由勾股定理得:(3a)2(2a)2+()2,3a1(负数舍去),OA313,故选:C4(2019 秋天津期末)如图,已知AB、AC都是O的弦,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,若MN,那么BC等于()A5BC2D【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点,故MN是ABC的中位线,由三角形的中位线定理即可得出结论【解析】OMAB,ONAC,垂足分别为M、N,M、N分别是AB与AC的中点,MN是ABC的中位线,BC2MN2,故选:C5(2020龙泉驿区模拟)如

5、图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,BE1cm,CD6cm,则AE为()cmA4B9C5D8【分析】设OCOBxcm,在 RtOEC中,利用勾股定理求解即可【解析】设OCOBxcm,ABCD,AB是直径,ECDE3cm,在 RtOEC中,OC2CE2+OE2,4x232+(x1)2,x5,OE4cm,AEOA+OE5+49cm,故选:B6(2019 秋通州区期末)如图,将O沿着弦AB翻折,劣弧恰好经过圆心O如果弦AB4,那么O的半径长度为()A2B4C2D4【分析】作ODAB于D,连接OA,先根据勾股定理列方程可解答【解析】作ODAB于D,连接OAODAB,AB4,ADAB2,由折叠得:OD

6、AO,设ODx,则AO2x,在 RtOAD中,AD2+OD2OA2,(2)2+x2(2x)2,x2,5OA2x4,即O的半径长度为 4;故选:B7(2019 秋仪征市期末)如图,在O中,分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠,折叠后的弧均过圆心,若O的半径为 4,则四边形ABCD的面积是()A8B16 C32D32【分析】过O作OHAB交O于E,反向延长EO交CD于G,交O于F,连接OA,OB,OD,根据平行线的性质得到EFCD,根据折叠的性质得到OHOA,推出AOD是等边三角形,得到D,O,B三点共线,且BD为O的直径,求得DAB90,同理,ABCADC90,得到四边形ABCD是矩形,于是

7、得到结论【解析】过O作OHAB交O于E,反向延长EO交CD于G,交O于F,连接OA,OB,OD,ABCD,EFCD,分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠,折叠后的弧均过圆心,OHOA,HAO30,AOH60,同理DOG60,AOD60,AOD是等边三角形,OAOB,ABOBAO30,AOB120,6AOD+AOB180,D,O,B三点共线,且BD为O的直径,DAB90,同理,ABCADC90,四边形ABCD是矩形,ADAO4,ABAD4,四边形ABCD的面积是 16,故选:B8(2019 秋连云港期中)如图,四边形ABCD内接于O,ABAD,BC3劣弧BC沿弦BC翻折,刚好经过圆心O当对角

8、线BD最大时,则弦AB的长是()AB2CD2【分析】作OHBC于H,连接OB,如图,利用垂径定理得到BHBC,再根据折叠的性质得到OHOB,则OBH30,于是可计算出OH,OB,接着利用BD为直径时,即BD2时,对角线BD最大,根据圆周角得到此时BAD90,再判断ABD为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质计算出AB的长7【解析】作OHBC于H,连接OB,如图,则BHCHBC,劣弧BC沿弦BC翻折,刚好经过圆心O,OHOB,OBH30,OHBH,OB2OH,当BD为直径时,即BD2时,对角线BD最大,则此时BAD90,ABAD,此时ABD为等腰直角三角形,ABBD2故选:A9(2020

9、浙江自主招生)如图,将半径为 4cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长度为()A4cmBcmCcmD(2)cm【分析】过O作OCAB,交圆O于点D,连接OA,由垂径定理得到C为AB的中点,再由折叠得到CDOC,求出OC的长,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出AC的长,即可确定出AB的长【解析】过O作OCAB,交圆O于点D,连接OA,C为AB中点,即ACBC,8由折叠得到CDOCOD2cm,在 RtAOC中,根据勾股定理得:AC2+OC2OA2,即AC2+416,解得:AC2cm,则AB2AC4cm故选:C10(2018高邮市一模)如图,已知O的半径为 5,AB是O的弦,A

10、B8,Q为AB中点,P是圆上的一点(不与A、B重合),连接PQ,则PQ的最小值为()A1B2C3D8【分析】连接OP、OA,根据垂径定理求出AQ,根据勾股定理求出OQ,计算即可【解析】由题意得,当点P为劣弧的中点时,PQ最小,连接OP、OA,由垂径定理得,点Q在OP上,AQAB4,在 RtAOB中,OQ3,PQOPOQ2,故选:B9二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 8 8 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,共共 2424 分分)请把答案直接填写在横线上请把答案直接填写在横线上11(2019 秋黄岩区期末)如图,O的直径CD长为 6,点E是直径CD上一点,且CE1,过点E作弦ABCD,

11、则弦AB长为2【分析】连接OA构成直角三角形,先根据垂径定理,由DE垂直AB得到点E为AB的中点,利用勾股定理求出AE即可解决问题【解析】连接OA,ABCD,AEBECE1,OAOC3OE312,在 RtAOE中,AEAB2,故答案为 212(2020 秋梁溪区期中)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EFCD12cm,则球的半径为7.5cm【分析】取EF的中点M,作MNAD于点M,取MN上的球心O,连接OF,设OFx,则OM12x,MF6,在RtMOF中利用勾股定理求得OF的长即可【解析】EF的中点M,作MNAD于点M,取MN上的球心O,连接OF,10四边形ABCD

12、是矩形,CD90,四边形CDMN是矩形,MNCD12,设OFxcm,则ONOF,OMMNON12x,MF6,在直角三角形OMF中,OM2+MF2OF2即:(12x)2+62x2解得:x7.5,故答案为:7.513(2020 秋西城区校级期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,彰显了我国古代劳动人民的智慧,如图 1,点P表示筒车的一个盛水桶如图 2,当筒车工作时,盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心,5m为半径的圆,且圆心在水面上方若圆被水面截得的弦AB长为 8m,则筒车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为2m【分析】过O点作半径ODAB于E,如图,由垂径定理得到AEBE4,再利用勾股定理计算出

13、OE,然后即可计算出DE的长【解析】过O点作半径ODAB于E,如图,11AEBEAB84,在 RtAEO中,OE3,EDODOE532(m),答:筒车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为 2m14(2019 秋顺义区期末)如图,O的直径AB10,弦CDAB于点E,若BE2,则CD的长为8【分析】连接OC,求出OE3,根据垂径定理得出CEEDCD,然后在 RtOEC中由勾股定理求出CE的长度,即可求出CD的长度【解析】如图,连接OCO的直径AB10,OBOC5,OEOBBE523,弦CDAB于点E,CEEDCD在 RtOEC中,OEC90,OE3,OC5,CE4,12CD2CE8故答案为 815

14、(2019 秋瑞安市期中)一面墙上有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图,若矩形的高为 2m,宽为m,则要打掉墙体的面积为()m2【分析】先证得BC是直径,在直角三角形BCD中,由BD与CD的长,利用勾股定理求出BC的长,即可求得半径;打掉墙体的面积2(S扇形OACSAOC)+S扇形OABSAOB,根据扇形的面积和三角形的面积求出即可【解析】如图,连结AD、BC交于O,BDC90,BC是直径,BC,OAOBAB,AOB是正三角形,AOB60,AOC120,SAOB,SAOC,13S2(S扇形OACSAOC)+S扇形OABSAOB2+,打掉墙体面积为()平方

15、米,故答案为:()16(2020常州模拟)石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一,如图,已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为 8m,桥拱半径OC为 5m,求水面宽AB8m【分析】连接OA,根据垂径定理可知ADBDAB,在 RtADO中,利用勾股定理即可求出AD的长,进而可得出AB的长,此题得解【解析】连接OA,如图所示CDAB,ADBDAB14在 RtADO中,OAOC5m,ODCDOC3m,ADO90,AD4(m),AB2AD8m故答案为:817(2019 秋瑞安市期末)某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为 24m,AB离地面的高度AE10 m,拱顶最高处C离地面的

16、高度CD为 18m,在拱顶的M,N处安装照明灯,且M,N离地面的高度相等都等于 17m,则MN10m【分析】根据题意和垂径定理得到CG8m,AG12m,CH1m,根据勾股定理求得半径,进而利用勾股定理求得MH,即可求得MN【解析】设CD于AB交于G,与MN交于H,CD18m,AE10m,AB24m,HD17m,CG8m,AG12m,CH1m,设圆拱的半径为r,在 RtAOG中,OA2OG2+AG2,r2(r8)2+122,解得r13,OC13m,OH13112m,在 RtMOH中,OM2OH2+MH2,15132122+MH2,解得MH225,MH5m,MN10m,故答案为 1018(2019

17、 秋宿豫区期中)如图,O的半径为 5,OP3,过点P画弦AB,则AB的取值范围是8AB10【分析】过点P作CDOP,O于C,D连接OC利用勾股定理求出CD,可得点P的最短的弦,过点P的最长的弦即可解决问题【解析】过点P作CDOP,交O于C,D连接OCOC5,OP3,OPC90,PC4,OPCD,PCPD4,CD8,16过点P的最短的弦长为 8,最长的弦长为 10,即AB的取值范围是 8AB10,故答案为:8AB10三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 6 小题小题,共共 4646 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2019 秋奉化

18、区期末)如图,在一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为 60m,拱高PM为 18m,当洪水泛滥到跨度只有 30m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有 4m,即PN4m时,试通过计算说明是否需要采取紧急措施【分析】由垂径定理可知AMBM、ANBN,利用AB60,PM18,可先求得圆弧所在圆的半径,再计算当PN4 时AB的长度,与 30 米进行比较大小即可【解析】设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA、OA,设半径为x米,则OAOAOP,由垂径定理可知AMBM,ANBN,AB60 米,AM30 米,且OMOPPM(x18)米,在 RtAOM中,由勾股定理可得AO2OM2+AM2,即x2(x18)2

19、+302,解得x34,ONOPPN34430(米),在 RtAON中,由勾股定理可得AN16(米),AB32 米30 米,不需要采取紧急措施20(2019 秋东城区校级期中)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如图EM经过圆心交O于点E,EMCD,并且CD4cm,EM6cm,求O的半径17【分析】因为M是O弦CD的中点,根据垂径定理,EMCD,则CMDM2,在 RtCOM中,有OC2CM2+OM2,进而可求得半径OC【解析】连接OC,M是O弦CD的中点,根据垂径定理:EMCD,又CD4 则有:CMCD2,设圆的半径是x米,在 RtCOM中,有OC2CM2+OM2,即:x

20、222+(6x)2,解得:x,所以圆的半径长是cm21如图,正方形ABCD内接于O,M为的中点,连接BM,CM,求证:BMCM18【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可【解答】证明:四边形ABCD是正方形,ABCD,M为中点,即,BMCM22(2019 秋海淀区期中)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心AB100m,C是上一点,OCAB,垂足为D,CD10m,求这段弯路的半径【分析】根据题意,可以推出ADBD50,若设半径为r,则ODr10,OBr,结合勾股定理可推出半径r的值【解析】设这段弯路的半径为r m,OCAB于D,AB100(m),BDDAAB50

21、(m)CD10(m),得ODr10(m)RtBOD中,根据勾股定理有BO2BD2+DO2即r2502+(r10)2解得r130(m)19答:这段弯路的半径为 130 m23(2019 秋东台市期中)如图,在O中,直径为MN,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及O上,并且POM45,若AB1(1)求OD的长;(2)求O的半径【分析】(1)由四边形ABCD 为正方形,得DCBCAB1,则DCOABC90,又DCO45,CODC1,求出OD;(2)连接OA,构造直角三角形,求出AB和BO的长,然后利用勾股定理即可求出圆的半径【解析】(1)如图,四边形ABCD 为正方形,DCBCAB1,D

22、COABC90,DCO45,CODC1,ODCO;(2)BOBC+COBC+CD1+12,连接AO,则ABO 为直角三角形,于是 AO即O的半径为24(2017 秋农安县校级期中)如图,在平面直角坐标系中,点M在x轴的正半轴上,M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,且C为弧AE的中点,连接CE、AE、CB、EB、AE与y轴交于点F,已知A(2,0)、C(0,4)20(1)求证:AFCF;(2)求M的半径及EB的长【分析】(1)利用垂径定理得到,OCOD4,则,根据圆周角定理得到CADCAE,从而得到AFCF;(2)连接DM,如图,设M的半径为r,利用勾股定理得到(r2)2+42r2,解得r5,设OFx,则CFAF4x,在 RtAOF中利用勾股定理得到 22+x2(4x)2,解得x,所以AF,然后证明 RtAOFRtAEB,从而利用相似比可求出BE的长【解答】(1)证明:ABCD,OCOD4,C为弧AE的中点,CADCAE,AFCF;(2)解:连接DM,如图,设M的半径为r,则OMr2,DMr,在 RtODM中,(r2)2+42r2,解得r5,设OFx,则CFAF4x,在 RtAOF中,22+x2(4x)2,解得x,AF4,21OAFEAB,而AOFAEB,RtAOFRtAEB,OF:BEAF:AB,即:BE:10,解得BE6,M的半径为 5,EB的长为 6