结构动力学第四章结构动力学的求解课件.ppt

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1、结构动力学第四章结构动力学的求解第1页，此课件共52页哦41 无阻尼自由振动无阻尼自由振动特性：特性：质质量矩量矩阵阵1 1）反映系）反映系统统的的动动能能 2 2）正定）正定但也有例外：存在但也有例外：存在纯纯静静态态模模态态，使，使（针对针对两种情况：当采用集中两种情况：当采用集中质质量矩量矩阵时阵时和当离散系和当离散系统统中中设设有无有无质质量点的自由度量点的自由度时时）3 3）对对称称刚刚度矩度矩阵阵1 1）反映系）反映系统统的的势势能能2）半正定）半正定存在存在刚刚体模体模态态，此，此时弹时弹性性势势能能为为零零3）对对称称第2页，此课件共52页哦齐齐次方程的解：令次方程的解：令得到

2、得到讨论讨论特征特征值值和特征向量的性和特征向量的性质质：1.满满足足则则（前乘特征向量的共（前乘特征向量的共轭转轭转置）置）可知可知都是都是实实数，取数，取化化为为（广义特征值问题）（广义特征值问题）第3页，此课件共52页哦（1）当）当质质量矩量矩阵阵式正定、式正定、刚刚度矩度矩阵阵半正定半正定时时，可以找到非零的，可以找到非零的，满满足：足：于是有：于是有：（2）当）当质质量矩量矩阵阵半正定半正定时时，则则可以改写可以改写为为由由解出得到解出得到纯纯静静态态模模态态,有：有：（）加（）加权权正交性正交性质质：设设和和都是特征解都是特征解对对得到得到（模态质量和模态刚度）（模态质量和模态刚度

3、）归归一化一化是是对对角元角元为为固有固有频频率率组组成的成的对对角矩角矩阵阵第4页，此课件共52页哦固有振固有振动动：单单模模态态振振动动多模多模态时态时：自由振自由振动时动时：模模态态坐坐标变换标变换得到：得到：解解为为：其中其中 第5页，此课件共52页哦对对于于给给定的初始条件定的初始条件和和，可得到，可得到 解出参数向量解出参数向量 系系统统的自由振的自由振动动可以写可以写为为 其中其中代表各自由度分代表各自由度分别别具有具有单单位初始位移和位初始位移和单单位初始速度引起的系位初始速度引起的系统统自由振自由振动动。第6页，此课件共52页哦42 无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频

4、域分析频域分析（1 1）动刚度矩阵和频响函数矩阵考察受正弦激励的系统）动刚度矩阵和频响函数矩阵考察受正弦激励的系统取特解取特解 得到得到 式中式中 称作系称作系统统的的动刚动刚度矩度矩阵阵其中其中正是系正是系统统的位移的位移频频响函数矩响函数矩阵阵，它的元素，它的元素反映了在系反映了在系统统第第j j个自由度上施加个自由度上施加单单位正弦激励后第位正弦激励后第i i个自由度的个自由度的稳态稳态位移响位移响应应幅幅值值。具有柔度系数的量纲，具有柔度系数的量纲，从而从而第7页，此课件共52页哦（2 2）频频响函数矩响函数矩阵阵的模的模态态展开式展开式利用固有振型关于利用固有振型关于质质量矩量矩阵阵

5、和和刚刚度矩度矩阵阵的加的加权权正交性，正交性，对对式式动刚动刚度矩度矩阵阵左乘左乘和右乘和右乘得得 从而有从而有 求逆，得到求逆，得到频频响函数矩响函数矩阵阵的模的模态态展开式展开式 频频响函数矩响函数矩阵阵的元素的元素为为模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的下述关系：模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的下述关系：第8页，此课件共52页哦 系系统统在在该频带该频带内呈内呈现单现单自由度系自由度系统统的振的振动动性性态态。第9页，此课件共52页哦时域分析时域分析 根据前面的分析，线性系统的响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零激励条件下初始条根据前面的分析，线性系统的

6、响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零激励条件下初始条件引起的响应，即零状态响应及零输入响应。系统的响应可以是其中某一种或两种之线性组合。研件引起的响应，即零状态响应及零输入响应。系统的响应可以是其中某一种或两种之线性组合。研究下述微分方程的求解问题究下述微分方程的求解问题（1 1）单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵应应用模用模态态坐坐标变换标变换 可可转换为转换为N N 个个单单自由度系自由度系统统的零状的零状态态响响应问题应问题 系系统统第第j j个自由度受个自由度受单单位脉冲后第位脉冲后第r r阶阶模模态态坐坐标标的响的响应为应为 第10页，此课件共52页哦解出解出 得系得系统统响响应为

7、应为 注意注意这这是是单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵的第的第j j列，故列，故单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵为阵为 这这正是正是单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵的模的模态态展开式。展开式。此外也可推出此外也可推出其中其中依次作用依次作用单单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵阵恰好就是恰好就是是各自由度有单位初速度引起的自由振动。这里可以在各自由度上是各自由度有单位初速度引起的自由振动。这里可以在各自由度上第11页，此课件共52页哦（2 2）任意激励下的响）任意激励下的响应应有了有了单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵，系，系统统受任意激励后的零状受任意激励后的零状

8、态态响响应为应为 当考当考虑进虑进系系统统初始状初始状态对态对响响应应的的贡贡献献时时，系，系统统的响的响应为应为 上述上述过过程中程中对对无阻尼系无阻尼系统统用模用模态态坐坐标标解耦、分析、再解耦、分析、再线线性性组组合的方法来分析了系合的方法来分析了系统统的振的振动问题动问题。该该方法一般称作振型叠加法（或模方法一般称作振型叠加法（或模态态叠加法），是叠加法），是处处理理线线性振性振动问题动问题的通的通用工具。用工具。第12页，此课件共52页哦无阻尼振动系统无阻尼振动系统 实质实质：线线性常微分方程性常微分方程组组的求解的求解 通解通解 =齐齐次解次解 +特解特解 再根据初始条件确定待定系

9、数。再根据初始条件确定待定系数。1 1）实实模模态态：频频率和模率和模态态向量全是向量全是实实的；的；（刚刚体模体模态态、纯纯静静态态模模态态）2 2）模）模态态的加的加权权正交性正交性质质；3 3）模）模态态叠加法，叠加法，实实在在对对系系统统的解耦；的解耦；4 4）频频响函数：响函数：第13页，此课件共52页哦圆板的第阶模态圆板的第阶模态第14页，此课件共52页哦圆顶的第阶模态圆顶的第阶模态第15页，此课件共52页哦方盒的第阶模态方盒的第阶模态第16页，此课件共52页哦43比例阻尼系统的振动比例阻尼系统的振动引入坐引入坐标变换标变换 得到得到其中其中 阻尼矩阻尼矩阵阵可以可以对对角化角化时

10、时，称，称为为比例阻尼矩比例阻尼矩阵阵第17页，此课件共52页哦Rayleigh Rayleigh 阻尼阻尼CauchyCauchy阻尼阻尼阻尼模型阻尼模型可使阻尼可使阻尼阵对阵对角化的充分条件是正定矩角化的充分条件是正定矩阵阵和和满满足下述三式之一足下述三式之一第18页，此课件共52页哦 解耦后得到：解耦后得到：自由振动自由振动得到得到 N N 个独立模个独立模态态坐坐标标下的运下的运动动 其中其中第19页，此课件共52页哦写作矩写作矩阵阵形式形式 得到物理坐得到物理坐标标下系下系统统的自由振的自由振动动 其中其中 如果比例阻尼系如果比例阻尼系统统的初始条件的初始条件满满足足 其自由振其自由

11、振动动将是衰减振将是衰减振动动 称称为为第第r r阶纯阶纯模模态态自由振自由振动动。第20页，此课件共52页哦受迫振动受迫振动（1 1）频响函数矩阵）频响函数矩阵 采用复数记法表激励及稳态响应，为采用复数记法表激励及稳态响应，为 代入阻尼系代入阻尼系统统的振的振动动方程，有方程，有 阻尼系阻尼系统统的的频频响函数矩响函数矩阵为阵为其中元素其中元素是复数，其幅是复数，其幅值值施加施加单单位幅位幅值值正弦激励后系正弦激励后系统统第第i i个自由度上的个自由度上的稳态稳态响响应应幅幅值值；而；而辐辐角角的物理意的物理意义义是上述响是上述响应应超前激励的相位角。超前激励的相位角。的物理意义是：在系统的

12、第的物理意义是：在系统的第j个自由度上个自由度上第21页，此课件共52页哦将固有振型矩将固有振型矩阵阵和和分分别别左乘、右乘左乘、右乘动刚动刚度矩度矩阵阵得到得到单位脉冲响应单位脉冲响应系统单位脉冲响应矩阵的模态展开式系统单位脉冲响应矩阵的模态展开式 重新写重新写为为：其中其中是比例阻尼系是比例阻尼系统统由由单单位初速度引起的自由振位初速度引起的自由振动动矩矩阵阵。任意激励下的响应任意激励下的响应系统在任意初始条件和激励下的响应表达式为系统在任意初始条件和激励下的响应表达式为 第22页，此课件共52页哦比例阻尼振动系统比例阻尼振动系统 1 1）实模态：复频率和实模态向量；）实模态：复频率和实模

13、态向量；2 2）模态的加权正交性质；）模态的加权正交性质；3 3）模态叠加法，在实模态空间实现对系统的解耦；）模态叠加法，在实模态空间实现对系统的解耦；4 4）频响函数：）频响函数：）衰减振动）衰减振动第23页，此课件共52页哦44一般粘性阻尼系统的振动一般粘性阻尼系统的振动其中其中、和和均均为为 N 阶阶的的对对称矩称矩阵阵。自由振自由振动时动时，设设解的形式解的形式为为a.a.特征特征值值可以是可以是实实数，也可以是复数。数，也可以是复数。实实特征特征值对应临值对应临界阻尼或界阻尼或过过阻尼系阻尼系统统。b.b.与共与共轭轭复特征复特征值值相相对应对应，特征向量是共，特征向量是共轭轭成成对

14、对的复特征向量，它的复特征向量，它们们各自只能确定到相差一个复常数各自只能确定到相差一个复常数因子的程度。因子的程度。系统的运动：系统的运动：把特征值改写为：把特征值改写为：则则系系统统可能可能发发生的运生的运动为动为第24页，此课件共52页哦可改写可改写为为 特征：各点的振动有相位差。无阻尼或比例阻尼时，系统各点同时到达幅值最大特征：各点的振动有相位差。无阻尼或比例阻尼时，系统各点同时到达幅值最大点；一般阻尼时，不是同时到达。点；一般阻尼时，不是同时到达。第25页，此课件共52页哦直观上观察，可以从固有振动的实验看到，形成的节线的粗细，其实和阻尼直观上观察，可以从固有振动的实验看到，形成的节

15、线的粗细，其实和阻尼的大小有关。例如一仪器架的共振实验：的大小有关。例如一仪器架的共振实验：阻尼很小时阻尼很小时阻尼略大时阻尼略大时第26页，此课件共52页哦求解时的问题：由于不满足阻尼矩阵的对角化条件，所以无法利用无阻尼求解时的问题：由于不满足阻尼矩阵的对角化条件，所以无法利用无阻尼状态时的特征解对方程进行解耦。状态时的特征解对方程进行解耦。引入状态空间，状态空间向量为：引入状态空间，状态空间向量为：原方程化原方程化为为：其中其中特征方程特征方程为为：特征向量特征向量 记为记为：第27页，此课件共52页哦特征向量之特征向量之间间具有下述加具有下述加权权正交关系：正交关系：和特征和特征值值之之

16、间间的关系的关系为为：回到物理空回到物理空间间中，中，则则加加权权正交关系正交关系为为引入引入线线性性变换变换得到得到2 2N N个解耦的一个解耦的一阶阶微分方程微分方程组组初始条件初始条件则为则为第28页，此课件共52页哦系系统统的自由振的自由振动动 由物理坐由物理坐标标描述的自由振描述的自由振动动系系统统的的单单位初位移响位初位移响应应和和单单位初速度响位初速度响应应矩矩阵应阵应定定义为义为 受迫振动受迫振动第29页，此课件共52页哦（1 1）脉冲响）脉冲响应应矩矩阵阵先考先考虑虑初始静止系初始静止系统统，若其第，若其第j j个自由度在个自由度在时时刻受到刻受到单单位冲量，位冲量，则则后系

17、后系统统的初始条件的初始条件为为其中其中系系统统的自由振的自由振动为动为这这是是单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵的第的第j j列，于是列，于是单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵的模的模态态展开式展开式为为第30页，此课件共52页哦（2 2）频频响函数矩响函数矩阵阵 一般阻尼系一般阻尼系统统的的频频响函数矩响函数矩阵阵仍仍为为 频频响函数矩响函数矩阵阵的模的模态态展开式展开式（3 3）任意激励下的响）任意激励下的响应应第31页，此课件共52页哦注意到：注意到：于是于是第32页，此课件共52页哦一般粘性阻尼振一般粘性阻尼振动动系系统统 1 1）复模）复模态态：频频率和模率和模态态向量都是复的；向量都

18、是复的；2 2）复模）复模态态的加的加权权正交性正交性质质；3 3）复模）复模态态叠加法，在状叠加法，在状态态空空间间通通过过复模复模态变换实现对态变换实现对系系统统的解耦；的解耦；4 4）频频响函数：响函数：）衰减振动。）衰减振动。第33页，此课件共52页哦4.5 4.5 数值计算方法数值计算方法固有振动的分析（归结为特征问题的求解）固有振动的分析（归结为特征问题的求解）动响应的求解（常微分方程组的求解，可归结为卷积的求解）动响应的求解（常微分方程组的求解，可归结为卷积的求解）一、固有振一、固有振动动的数的数值值方法方法1.Rayleigh法法a）Rayleigh商商Rayleigh变变分原

19、理：分原理：第34页，此课件共52页哦b）如果）如果、是特征解是特征解对对，则则：c）任意的）任意的，可展开：，可展开：第35页，此课件共52页哦加上二加上二阶阶小量。小量。d）如果）如果，则则：为为e）从）从可知可知 第36页，此课件共52页哦2.Rayleigh-Rith法法 取任意的取任意的L个向量，个向量，组组成成于是于是 根据根据变变分原理，可知等价于求解：分原理，可知等价于求解：其中其中求解得到求解得到 ，就可得到：，就可得到：第37页，此课件共52页哦逆迭代法逆迭代法如果如果、是特征解是特征解对对，则则或或构造迭代格式构造迭代格式取初始迭代向量取初始迭代向量，考察迭代一步后：，考

20、察迭代一步后：第38页，此课件共52页哦于是于是n 次迭代后，得到次迭代后，得到假假设设：于是：于是：所以：所以：第39页，此课件共52页哦如果所取的初始向量中，如果所取的初始向量中，（即：，（即：），），则则重重频时频时：如果如果则则 这样这样就可以求解到所有的特征向量，但真正就可以求解到所有的特征向量，但真正实现时实现时仍有困仍有困难难，因因为为是数是数值值运算，无法得到运算，无法得到严严格的加格的加权权正交的初始向量。一般只正交的初始向量。一般只能求少数的前几能求少数的前几阶阶。第40页，此课件共52页哦设想：如果在求得第一阶频率和振型后，改变系统的频率构成，把已设想：如果在求得第一阶频

21、率和振型后，改变系统的频率构成，把已经求解得到的低阶频率移走，或者变为高阶，这样再进行类似经求解得到的低阶频率移走，或者变为高阶，这样再进行类似的迭代，就可以求出其它阶次的频率和振型。的迭代，就可以求出其它阶次的频率和振型。设设已知已知，改，改变变原系原系统统，构造：，构造：于是：于是：其它的不其它的不变变：这样这样就可以比就可以比较较精确地得到全部的特征向量，已精确地得到全部的特征向量，已经经求解得到特征求解得到特征向量的误差不影响以向量的误差不影响以后的求解，而且可以方便求解重频问题。后的求解，而且可以方便求解重频问题。第41页，此课件共52页哦子空子空间间迭代法迭代法 综综合了合了Ray

22、leigh-Ritz法和逆迭代法：法和逆迭代法：初始向量：初始向量：逆迭代一次：逆迭代一次：求解求解得到得到构造新的构造新的 进进入循入循环环收收敛敛准准则则：考察特征：考察特征值值或特征向量或特征方程的或特征向量或特征方程的误误差。差。（全部特征向量）（全部特征向量）第42页，此课件共52页哦二、二、动动响响应应的数的数值值求解求解 基基本本思思路路：一一是是将将本本应应为为求求每每一一瞬瞬时时都都应应该该满满足足方方程程的的位位移移向向量量函函数数，改改为为仅仅要要求求在在离离散散的的时时间间点点 上上满满足足；二二是是在在每每个个时时间间步步内内的的位位移移、速速度度和和加加速速度度被被

23、假假设设为为某某种种变变化化规规律律，三三是是将将时时间间离离散散化化并并使使间间隔隔 足足够够小小，把把微微分分方方程程近近似为代数方程，从时刻似为代数方程，从时刻 已求出（或已求出（或 时已知）的响应求解下一时刻时已知）的响应求解下一时刻 时的响应，依次递推。时的响应，依次递推。1 1）线线性加速度法性加速度法 研究运研究运动动微分方程的初微分方程的初值问题值问题 系系统统在下一在下一时时刻刻的运的运动满动满足足第43页，此课件共52页哦Taylor级数展开级数展开加速度在加速度在间间隔内随隔内随时间线时间线性性变变化，化，这隐这隐含着外激励含着外激励线线性性变变化的假化的假设设。未知向量

24、未知向量为为和和解出解出 可得可得 其中其中 第44页，此课件共52页哦于是得到于是得到 由此解出由此解出这类方法的一个突出问题是计算精度与计算时间的矛盾。这类方法的一个突出问题是计算精度与计算时间的矛盾。为保证精度，时间步长应取得足够小，但小了会增加递推步数，计算时间就为保证精度，时间步长应取得足够小，但小了会增加递推步数，计算时间就要长。此外，递推步数增加还会增加累积误差。因此，评价直接积分法的重要标准之一是要长。此外，递推步数增加还会增加累积误差。因此，评价直接积分法的重要标准之一是它允许使用的最大积分步长。一种算法若在任意步长时解都不会发散，则称该算法是无条它允许使用的最大积分步长。一

25、种算法若在任意步长时解都不会发散，则称该算法是无条件稳定的；如果仅在一定步长范围内解才不发散，就称作条件稳定的。一个算法首先应是件稳定的；如果仅在一定步长范围内解才不发散，就称作条件稳定的。一个算法首先应是稳定的。其次，随着递推次数增加，算法的累积误差应被限制在允许范围内，或阶段性地稳定的。其次，随着递推次数增加，算法的累积误差应被限制在允许范围内，或阶段性地消除。消除。线性加速度法思路简单，容易理解，但只是条件稳定的。线性加速度法思路简单，容易理解，但只是条件稳定的。第45页，此课件共52页哦2 2）Wilson-Wilson-法法该该方法基于方法基于对对作另一种形式的展开。如作另一种形式的

26、展开。如图图所示，把加速度所示，把加速度线线性性变化公式的范围扩展到变化公式的范围扩展到 。引入引入 则则有有 第46页，此课件共52页哦积积分，然后取分，然后取得：得：可得可得 解出解出，得到，得到在在时时刻的运刻的运动动微分方程微分方程 第47页，此课件共52页哦得到得到时时刻系刻系统统位移位移应满应满足的足的线线性代数方程性代数方程 其中其中 若已知若已知和和而不知道而不知道，可采用，可采用线线性外插性外插 解出解出，然后即可确定，然后即可确定时时刻的系刻的系统统响响应应。具体作法是：将。具体作法是：将代回后得到代回后得到，再将，再将代回式，并取代回式，并取。第48页，此课件共52页哦最

27、最终终得到得到然后然后进进入下一步的迭代。入下一步的迭代。法具有很好的数法具有很好的数值稳值稳定性，取定性，取即可保即可保证证算法的无条件算法的无条件稳稳定性。定性。实实践中一般取践中一般取最最优值则优值则是是可以可以证证明，明，线线性加速度法相当于性加速度法相当于时时的的法，因此法，因此仅仅是条件是条件稳稳定的。定的。第49页，此课件共52页哦3）Runge-Kutta法法适用于求解一般的一适用于求解一般的一阶阶常微分方程常微分方程组组 如一般阻尼系如一般阻尼系统转换统转换到状到状态态空空间间后，有：后，有：基本思想：基本思想：间间接地使用接地使用TaylorTaylor级级数。数。考考虑虑

28、中中值值定理：定理：可以有：可以有：称称为为区区间间上的平均斜率。上的平均斜率。充分利用左边的函数，就是当v(t)已知时，p(v(t),t)是已知的，同时一般认为是可导的，所以其一阶导数也是可以求出的第50页，此课件共52页哦t0 t1 t0 t1 最最简单简单的是取的是取，于是近似式子，于是近似式子为为：（EulerEuler算法：向前差分。算法：向前差分。显显式式。一阶精度。一阶精度）（EulerEuler算法：向后差分。算法：向后差分。隐隐式。一式。一阶阶精度）精度）也可以取：也可以取：简单简单的平均：的平均：仍然只有一仍然只有一阶阶精度。精度。考考虑虑如何取后一如何取后一项项，如果改，如果改为为：这这是改是改进进的的EulerEuler算法，可以达到二算法，可以达到二阶阶精度。精度。第51页，此课件共52页哦二阶二阶Runge-kuttaRunge-kutta法法其中取其中取由由确定确定这样这样就有就有其中其中为为待定。待定。第52页，此课件共52页哦