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1、采样数据的处理采样数据的处理采样数据的处理采样数据的处理第1页，此课件共42页哦12.2.112.2.112.2.112.2.1ShahShah函数（无限冲激序列）函数（无限冲激序列）12.2 12.2 采样和插值采样和插值定义定义III(x)：为沿为沿x轴相隔单位间距出现的轴相隔单位间距出现的单位冲激序列单位冲激序列。x 0III(x/)s1/0 III(s)III(x)的傅立叶变换为其自身：的傅立叶变换为其自身：2 2第2页，此课件共42页哦12.2.1.112.2.1.112.2.1.112.2.1.1相似性相似性相似性相似性根据相似定理：且根据相似定理：且时（空）域时（空）域乘乘乘乘对

2、应频域对应频域除除除除因此因此III(x)的频谱为沿的频谱为沿s轴间隔为轴间隔为1/的冲激序列。的冲激序列。s1/0 III(s)令令a=1/：3 3第3页，此课件共42页哦设设f(x)带宽为带宽为s0（当频率（当频率s超过超过s0时，时，f(x)便为便为0），即），即F(s)=0，当当|s|s0时。时。12.2.2 12.2.2 12.2.2 12.2.2 使用使用使用使用ShahShahShahShah函数采样函数采样函数采样函数采样以等间隔以等间隔 对对f(x)采样，则仅在采样，则仅在x=n 处取得处取得f(x)的样本值，的样本值，在其他地方，在其他地方，f(x)被破坏了，这个过程相当于

3、用被破坏了，这个过程相当于用III(x/)乘乘以以f(x)，得到，得到g(x)。xf(x)s0sF(s)-s0 x1/s0s-s0-1/4 4第4页，此课件共42页哦12.2.3 12.2.3 12.2.3 12.2.3 采样及其频谱采样及其频谱采样及其频谱采样及其频谱时域相乘时域相乘对应对应频域卷积频域卷积，即，即 IIIIII(x x/)乘乘乘乘f f(x x)对对应应F F(s s)卷卷卷卷 IIIIII(s s)。由于与冲激函数的卷积产生了函数本身的复制由于与冲激函数的卷积产生了函数本身的复制品。因此，品。因此，频域卷积频域卷积在在s轴上每隔轴上每隔1/复制了一个复制了一个F(s)，也

4、就是说，也就是说，G(s)是一个以是一个以F(s)重复的周期函数重复的周期函数。5 5第5页，此课件共42页哦12.2.4 12.2.4 12.2.4 12.2.4 采样定理采样定理采样定理采样定理由上可见，只要从由上可见，只要从G(s)中得到中得到F(s)，即可从即可从g(x)中中获得获得f(x)。方法：方法：保留中心处于原点的保留中心处于原点的F(s)，消除其复制品，即，消除其复制品，即用矩形用矩形(s/2s1)去乘去乘G(s)。其中。其中可见，用采样后的函数与一个形式为可见，用采样后的函数与一个形式为的内插函数做卷积，即可从的内插函数做卷积，即可从g(x)重构重构f(x)。6 6第6页，

5、此课件共42页哦上述推导的两个限制：上述推导的两个限制：上述推导的两个限制：上述推导的两个限制：1)f(x)的谱的谱s0。2)奈奎斯特采样定理：奈奎斯特采样定理：7 7第7页，此课件共42页哦12.2.512.2.5内插内插g(x)与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一个窄与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一个窄的的sinc(x)函数，而互相重叠的函数，而互相重叠的sinc(x)函数的总和可准确地恢函数的总和可准确地恢复出原函数。复出原函数。8 8第8页，此课件共42页哦12.2.6 12.2.6 12.2.6 12.2.6 欠采样与混叠（欠采样与混叠（欠采样与混叠（欠采样与混叠（Ali

6、asingAliasing）当采样间隔不够密，即时，当采样间隔不够密，即时，F(s)的复的复制品就会部分地重叠，此时就不能准确地恢复出原制品就会部分地重叠，此时就不能准确地恢复出原函数了。因为此时函数了。因为此时sG(s)01/2 1/频率频率s1以上的能量被折叠返回到以上的能量被折叠返回到s1以下，并被加到频谱上，称为以下，并被加到频谱上，称为混混混混叠叠叠叠。f(x)和内插所得的函数的差别称为和内插所得的函数的差别称为混叠误差混叠误差混叠误差混叠误差。当当f(x)是偶函数时，是偶函数时，F(s)也是偶函数，混叠的效果是提高了频谱中的能量；也是偶函数，混叠的效果是提高了频谱中的能量；奇函数与

7、之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际更趋向于偶函数。奇函数与之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际更趋向于偶函数。9 9第9页，此课件共42页哦12.2.7 12.2.7 采样举例采样举例函数：函数：频谱：频谱：以等间隔以等间隔 t对对f(t)采样。采样。f(t)的周期是的周期是1/f0。过采样：过采样：过采样：过采样：临界采样：临界采样：临界采样：临界采样：欠采样：欠采样：欠采样：欠采样：严重欠采样：严重欠采样：严重欠采样：严重欠采样：对正弦信号的临界采样：对正弦信号的临界采样：对正弦信号的临界采样：对正弦信号的临界采样：见见后后面面图图示示1010第10页，此课件共42页哦1 1、过采样：、

8、过采样：、过采样：、过采样：1111第11页，此课件共42页哦2 2、临界采样：、临界采样：、临界采样：、临界采样：1212第12页，此课件共42页哦3 3、欠采样：、欠采样：、欠采样：、欠采样：变成低频了变成低频了1313第13页，此课件共42页哦4 4、严重欠采样：、严重欠采样：、严重欠采样：、严重欠采样：变成直流了变成直流了零频！零频！1414第14页，此课件共42页哦5 5、另一种情况：、另一种情况：、另一种情况：、另一种情况：相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在s=fN处重叠并抵消。处重叠并抵消。结果内插后的函数为结果内插后的函数为0。它其实相当于在正弦函

9、数的过零点。它其实相当于在正弦函数的过零点进行了采样，每次采到的都是进行了采样，每次采到的都是0。1515第15页，此课件共42页哦12.2.7.112.2.7.112.2.7.112.2.7.1图像数字化中的混叠图像数字化中的混叠图像数字化中的混叠图像数字化中的混叠聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相当于信聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相当于信号的高频成分减少，带宽变窄，因而图像变得模糊些，但号的高频成分减少，带宽变窄，因而图像变得模糊些，但不再混叠了。不再混叠了。像素宽度小像素宽度小像素宽度小像素宽度小于像素间距于像素间距于像素间距于像素间距像素宽度等像素宽度等像素宽度等像素宽

10、度等于像素间距于像素间距于像素间距于像素间距等效于等效于结论：结论：空间采样点太稀疏，虽然像素很细小，但只空间采样点太稀疏，虽然像素很细小，但只能当粗点用，否则会出现高频混叠。能当粗点用，否则会出现高频混叠。1616第16页，此课件共42页哦1717第17页，此课件共42页哦12.3.112.3.1时域中的截取时域中的截取12.3 12.3 频谱计算频谱计算对离散的对离散的f(t)样值计算样值计算F(s)，N个时域采样点将对应个时域采样点将对应N个频谱个频谱上的点。通常频域上的点在上的点。通常频域上的点在s轴上等距分布。轴上等距分布。频域采样间隔频域采样间隔与与时域中时域中的截取窗口宽度的截取

11、窗口宽度成反比成反比最高频率最高频率与与时域时域采样间隔采样间隔成反比成反比假定一个信号假定一个信号f(t)用间距为用间距为 t的的N个采样点来代表，则总的个采样点来代表，则总的采样区间宽度采样区间宽度T TN N t t。（。（T为截取窗口的宽度，为截取窗口的宽度，T外部的信号的采样被忽略了，外部的信号的采样被忽略了，相当于将截取窗口外的信号置相当于将截取窗口外的信号置0了了）1818第18页，此课件共42页哦12.3.212.3.212.3.212.3.2频域上的截取频域上的截取频域上的截取频域上的截取离散离散f(t)的频谱是周期的，周期的频谱是周期的，周期2sm=1/t，只需计算，只需计

12、算覆盖覆盖F(s)的一个周期即可。的一个周期即可。常用的方法是将常用的方法是将N个采样点均匀地散布在中心位于个采样点均匀地散布在中心位于原点的原点的F(s)的一个周期上，即的一个周期上，即当在当在F(s)的一个周期上取的一个周期上取N个等间隔的采样点，则个等间隔的采样点，则N s 1/t。其中。其中 s 1/N t1/T是频域中的采样间隔。因此计算是频域中的采样间隔。因此计算f(t)频谱的最好做法是按频谱的最好做法是按 s 1/T等间隔取，即从等间隔取，即从-sm到到sm。Sm=1/2 t 1919第19页，此课件共42页哦12.3.312.3.3频谱计算频谱计算由上可见，一个域中的由上可见，

13、一个域中的采样间隔采样间隔决定了另一个域中的决定了另一个域中的截取截取窗口宽度窗口宽度。要计算频谱中的高频成分（。要计算频谱中的高频成分（sm ），），必须在时域中必须在时域中细密地采样（细密地采样（t ）。而要频谱中的高分辨率（）。而要频谱中的高分辨率（s ），），必必须在时域中采用大的截取窗口（须在时域中采用大的截取窗口（T ）。）。2020第20页，此课件共42页哦采样和截取参数小结采样和截取参数小结采样和截取参数小结采样和截取参数小结参数域关系参数域关系采样点数时频采样点数时频采样间隔时采样间隔时采样间隔频采样间隔频截断窗口宽度时截断窗口宽度时最大可计算频率频最大可计算频率频当当f(t

14、)是复数是复数，有，有N个实部和个实部和N个虚部，变换后产生频谱中的个虚部，变换后产生频谱中的N个实值和个实值和N个虚值。个虚值。当当f(t)是实数是实数，有，有N个实部和个实部和N个个0（虚部），变换后在频谱的右半（虚部），变换后在频谱的右半部产生部产生N/2个偶实值和个偶实值和N/2个奇虚值。由于实函数的个奇虚值。由于实函数的F(s)是是Hermite型型的，频谱的左半部是右半部的镜像。的，频谱的左半部是右半部的镜像。2121第21页，此课件共42页哦12.4.112.4.1混叠的不可避免性混叠的不可避免性12.4 12.4 混叠混叠根据采样定理，对带宽有限的函数采样时，只要选择合适根据采

15、样定理，对带宽有限的函数采样时，只要选择合适的采样间距就可完全避免混叠。的采样间距就可完全避免混叠。但是，如果带宽有限的函数被截取了一段有限长度但是，如果带宽有限的函数被截取了一段有限长度T，这这个过程即模型化为将个过程即模型化为将函数与宽度为函数与宽度为T的矩形脉冲相乘的矩形脉冲相乘，等，等价于将其价于将其频谱与无限持续的频谱与无限持续的sinc(x)函数在频域卷积函数在频域卷积。两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄，因此，经两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄，因此，经截取的函数的谱在频域内无限延伸。截取的函数的谱在频域内无限延伸。截取破坏了带宽的有限性，注定了数字处理在任何情况下

16、截取破坏了带宽的有限性，注定了数字处理在任何情况下都造成混叠。因而我们只能限定其误差。都造成混叠。因而我们只能限定其误差。带宽有限带宽有限带宽有限带宽有限带宽无限带宽无限带宽无限带宽无限时域截取时域截取时域截取时域截取2222第22页，此课件共42页哦12.4.212.4.2混叠误差的上界混叠误差的上界因为因为 t有限，不能无限小，因此有限，不能无限小，因此F(s)被无限展宽。被无限展宽。F(s)在形式为在形式为1/s的包络线内，保证了函数的峰值随着的包络线内，保证了函数的峰值随着频率升高而下降并趋于频率升高而下降并趋于0。2323第23页，此课件共42页哦如果忽略函数的正弦波动，仅考虑如果忽

17、略函数的正弦波动，仅考虑F(s)的包络线，并注的包络线，并注意可能混叠的最大频谱强度在频率意可能混叠的最大频谱强度在频率sm处出现，则可以认为这是处出现，则可以认为这是混叠的最坏情况。混叠的最坏情况。定义定义混叠误差混叠误差混叠误差混叠误差 F F(s smm)/)/F F(0)(0)，由于由于F(0)1，F(s)的包络为的包络为1/2 as，因而混叠上界为因而混叠上界为混叠误差的上界混叠误差的上界与与 t成正比成正比，与与T无关无关。因此，当。因此，当 t 2a脉脉冲宽度时，混叠误差即可小到所需的程度。冲宽度时，混叠误差即可小到所需的程度。2424第24页，此课件共42页哦12.4.312.

18、4.3频谱分辨率频谱分辨率F(s)具有频率为具有频率为a的正弦波动（周期为的正弦波动（周期为1/a）。用）。用M表表示在所计算的频谱示在所计算的频谱F(s)上每个周期的采样点数，并用它上每个周期的采样点数，并用它作为频谱分辨率的量度，则作为频谱分辨率的量度，则这就是说，如果使采样周期这就是说，如果使采样周期T与脉冲的半宽度与脉冲的半宽度a相比相比足够大，即可在足够大，即可在F(s)的一个周期中取得足够多的采样点。的一个周期中取得足够多的采样点。2525第25页，此课件共42页哦12.5.112.5.112.5.112.5.1计算一个边缘的频谱计算一个边缘的频谱计算一个边缘的频谱计算一个边缘的频

19、谱12.5 12.5 截取截取用宽度为用宽度为T的截取窗口对的截取窗口对f(x)截取截取截取会使计算得到的谱与实际的谱不同。需认真选择截取会使计算得到的谱与实际的谱不同。需认真选择截取窗口的宽度。截取窗口的宽度。xf(x)=sign(x)-110sF(s)=-j/s0 j-j xg(x)-110T/2-T/2奇矩形脉冲对奇矩形脉冲对2626第26页，此课件共42页哦对对g(x)进行进行FT：G(s)与与F(s)不一样了，仅在几个点处两不一样了，仅在几个点处两者值相等，也就是者值相等，也就是cos(sT)=0时。或者时。或者 sT=i /2时（时（i为奇数）。对应为奇数）。对应s=i/2T。此此

20、时时G(s)F(s)。2727第27页，此课件共42页哦如果令如果令si=i/T，0,1,2,N/2，则则G(si)2F(si)（当当i为奇数）为奇数）0（当当i为偶数）为偶数）2828第28页，此课件共42页哦12.5.212.5.212.5.212.5.2截取效应截取效应截取效应截取效应上例上例i奇数时是正确的（是正常大小的两倍），而偶数奇数时是正确的（是正常大小的两倍），而偶数时为时为0。这表明截取在奇数号点和偶数号点之间重新分配了。这表明截取在奇数号点和偶数号点之间重新分配了能量。能量。将将G(i s)即即G(si)与一个窄的三角形局部平均滤波器与一个窄的三角形局部平均滤波器1/4,1

21、/2,1/4相卷积，可获得期望结果。相卷积，可获得期望结果。2929第29页，此课件共42页哦12.6 12.6 数字处理数字处理以下考虑对连续信号（见以下考虑对连续信号（见下图下图）或图像进行截取、采样、）或图像进行截取、采样、内插等进行数字处理后的影响。内插等进行数字处理后的影响。3030第30页，此课件共42页哦12.6.112.6.1截取截取3131第31页，此课件共42页哦12.6.212.6.2采样孔径采样孔径在采样点上有一有限宽度的采样孔径，信号在该孔径中被平在采样点上有一有限宽度的采样孔径，信号在该孔径中被平均。均。采样孔径是宽度为采样孔径是宽度为 的的窄矩形脉冲，则截取后的窄

22、矩形脉冲，则截取后的信号再与采样孔径函数卷信号再与采样孔径函数卷积，相当于将其谱与积，相当于将其谱与sinc(s)相乘。相乘。如果采样窗口是高斯脉冲，如果采样窗口是高斯脉冲，则输出谱将与高斯谱相乘。则输出谱将与高斯谱相乘。上述采样孔的作用是降低上述采样孔的作用是降低了信号中的高频能量，频了信号中的高频能量，频率超过率超过s=1/时能量极性时能量极性反转。反转。3232第32页，此课件共42页哦12.6.312.6.312.6.312.6.3采样采样采样采样上述经采样孔径平滑后的截取后的上述经采样孔径平滑后的截取后的信号再与信号再与III(t/t)相乘，得到采样结相乘，得到采样结果。于是采样后的

23、谱有了周期性（以果。于是采样后的谱有了周期性（以1/t 复制原来的谱）。复制原来的谱）。3333第33页，此课件共42页哦12.6.412.6.4内插内插对采样后的信号插值，以尽可能好地恢复对采样后的信号插值，以尽可能好地恢复f(t)。用三角脉冲与采样后的函用三角脉冲与采样后的函数卷积来实现插值数卷积来实现插值。由于由于sinc(st0)2随频率增加而减小，使得除了位于随频率增加而减小，使得除了位于s=0处的处的主复制品外，其余所有复制品趋向于主复制品外，其余所有复制品趋向于0。3434第34页，此课件共42页哦用用h(t)表示对采样后函数进行内插得到的结果函数：表示对采样后函数进行内插得到的

24、结果函数：3535第35页，此课件共42页哦12.6.512.6.5数字处理的影响数字处理的影响数字处理对信号的影响是显然的，那么，究竟有多大？数字处理对信号的影响是显然的，那么，究竟有多大？采样孔径与内插函数之间一般都有适当的关系，如采样孔径与内插函数之间一般都有适当的关系，如采样孔径宽度采样孔径宽度 与采样间距与采样间距 t 相等相等。对于线性插值，。对于线性插值，t0=t。若截取窗口宽，则其频谱窄，接近于一个脉冲，其影响就会减小。若截取窗口宽，则其频谱窄，接近于一个脉冲，其影响就会减小。如果截取窗口外的原函数值已经为如果截取窗口外的原函数值已经为0，截取就不会产生影响了。，截取就不会产生

25、影响了。采样孔径相当于低通滤波，降低的频谱中的高频能量，因而采样孔径相当于低通滤波，降低的频谱中的高频能量，因而减少了混叠。如果采样孔径的传递函数有负值，会改变高频减少了混叠。如果采样孔径的传递函数有负值，会改变高频能量的极性。能量的极性。用用sinc(x)函数进行内插最理想。其它内插函数不能完全消除其余函数进行内插最理想。其它内插函数不能完全消除其余复制品，且还会减少主复制品的高频能量。复制品，且还会减少主复制品的高频能量。数字化参数取决于数字化设备的设计。截取窗口代表图像数字化器的最大视野。数字化参数取决于数字化设备的设计。截取窗口代表图像数字化器的最大视野。采样孔径是扫描点的灵敏度，采样

26、间距可调节，并与采样点直径相联系。对于显示采样孔径是扫描点的灵敏度，采样间距可调节，并与采样点直径相联系。对于显示图像，其内插函数就是显示点本身。图像，其内插函数就是显示点本身。3636第36页，此课件共42页哦12.7 12.7 混叠误差的控制混叠误差的控制用采样孔径和采样间隔来控制。用采样孔径和采样间隔来控制。12.7.112.7.1抗混叠滤波器抗混叠滤波器孔径宽度是采样间距的两倍，使其传递函数的第一个过孔径宽度是采样间距的两倍，使其传递函数的第一个过0点点位于位于fN=1/2 t。则则fN以上的频率被大大削减。以上的频率被大大削减。3737第37页，此课件共42页哦三角孔径宽度为三角孔径

27、宽度为4个样点宽，其传递函数的第一个过个样点宽，其传递函数的第一个过0点也位点也位于于fN=1/2 t。相对于矩形脉冲的谱，三角脉冲的谱下降得更快，相对于矩形脉冲的谱，三角脉冲的谱下降得更快，因此可更有效地减少混叠。与矩形脉冲同样的是，它也降低了因此可更有效地减少混叠。与矩形脉冲同样的是，它也降低了F(s)中低于中低于fN部分的能量。部分的能量。3838第38页，此课件共42页哦12.7.212.7.212.7.212.7.2过采样过采样过采样过采样用小的采样间隔使折返频率用小的采样间隔使折返频率fN远远落在高边带。这样，即远远落在高边带。这样，即使混叠污染了频谱的高频部分，对我们感兴趣的数据

28、也基本使混叠污染了频谱的高频部分，对我们感兴趣的数据也基本上无影响。上无影响。截取窗口足够大，对信号频谱造成的影响最小。截取窗口足够大，对信号频谱造成的影响最小。sG(s)0这部分高频折这部分高频折这部分高频折这部分高频折叠部分不要了叠部分不要了叠部分不要了叠部分不要了3939第39页，此课件共42页哦12.8 12.8 线性滤波的数字实现线性滤波的数字实现可以在可以在时（空）域时（空）域或或频域（变换域）频域（变换域）来实现。来实现。线性系统线性系统线性系统线性系统输入输入输入输入f f(t t)输出输出输出输出g g(t t)响应响应响应响应h h(t t)输入输入F(s)输出输出G(s)

29、传递函数传递函数H(s)12.8.112.8.112.8.112.8.1卷积滤波卷积滤波卷积滤波卷积滤波对对f(t)和和h(t)采样使其频谱变成周期性的。若两个信号都以同采样使其频谱变成周期性的。若两个信号都以同样间距样间距 t 进行采样，它们的频谱将具有相同的周期进行采样，它们的频谱将具有相同的周期1/t。采样后信。采样后信号的卷积，使频域中两个频谱相乘得到号的卷积，使频域中两个频谱相乘得到G(s)，那么那么G(s)也是频率为也是频率为 t 的周期函数。当对的周期函数。当对g(t)内插时，它的频谱减为位于原点的一个复内插时，它的频谱减为位于原点的一个复制品。制品。如果如果f(t)或或h(t)

30、带宽有限（假定在带宽有限（假定在s=1/2 t 以外截止）以外截止），则，则g(t)的谱也带宽有限，通过内插可精确恢复。但是，的谱也带宽有限，通过内插可精确恢复。但是，截取破坏了截取破坏了频谱的有限性，使混叠不可避免频谱的有限性，使混叠不可避免，而数字化卷积不产生除采，而数字化卷积不产生除采样、截取和内插产生的影响以外的新影响。样、截取和内插产生的影响以外的新影响。4040第40页，此课件共42页哦12.8.212.8.2频域滤波频域滤波输入信号输入信号输入信号的谱输入信号的谱采样后的信号采样后的信号采样后信号的谱采样后信号的谱以以 s为间距计为间距计算算N个点，得个点，得到计算谱到计算谱Y(

31、s)相当于频域采样相当于频域采样因此因此Y(s)的反变换的反变换y(t)是连续的、无限持续的是连续的、无限持续的周期为周期为T的函数。其主周期即的函数。其主周期即f(t)。4141第41页，此课件共42页哦复制频谱的重叠复制频谱的重叠复制频谱的重叠复制频谱的重叠使使Y(s)和某个和某个H(s)相乘可实现频域滤波。相乘可实现频域滤波。这相应于使这相应于使y(t)与与h(t)进行卷积。由于进行卷积。由于y(t)是周期性的，卷积是周期性的，卷积会在会在t=T/2附近把相邻周期向主周期移动。附近把相邻周期向主周期移动。如果如果h(t)窄，且窄，且y(t)在在t=T/2附近区域大致是常量，则相邻附近区域

32、大致是常量，则相邻周期的重叠只有很不影响。如果周期的重叠只有很不影响。如果x(t)在截取窗口两端不等，则在截取窗口两端不等，则y(t)在在t=T/2处就不连续，再与处就不连续，再与h(t)做卷积就会因使不连续模糊做卷积就会因使不连续模糊化而在截取窗口两端留下痕迹化而在截取窗口两端留下痕迹。通常，频域滤波会在截取窗通常，频域滤波会在截取窗口（如一幅图像的边界）两端附近产生模糊效应。口（如一幅图像的边界）两端附近产生模糊效应。在频域滤波方法中所遇到的在截取窗口两端的模糊在频域滤波方法中所遇到的在截取窗口两端的模糊效应，与时域中采样引起的混叠相对应。因此，当使用效应，与时域中采样引起的混叠相对应。因此，当使用计算得到的频谱实现线性滤波时，必须定量分析截取的计算得到的频谱实现线性滤波时，必须定量分析截取的影响。影响。4242第42页，此课件共42页哦