能量原理及其变分法.ppt

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1、能量原理及其变分法现在学习的是第1页，共12页第五章 能量原理及其变分法对于空间应力状态的单位体积的应变能可写成对于空间应力状态的单位体积的应变能可写成将广义虎克定律代入上式，得将广义虎克定律代入上式，得展开为展开为其中其中如果用应力表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成如果用应力表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成现在学习的是第2页，共12页第五章 能量原理及其变分法 一般情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和应变分量一般情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和应变分量一般都是位置坐标的函数，因而应变能一般也是位置坐标的函数。一般都是位置坐标的函数，因而应变能一般也是位置坐标的函数。

2、为了得出整个弹性体的应变能为了得出整个弹性体的应变能U，必须把比能，必须把比能U0在整个弹性体内进在整个弹性体内进行积分，即行积分，即现在学习的是第3页，共12页第五章 能量原理及其变分法 4-2 虚功原理虚功原理 虚位移虚位移是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位移过是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为程中真实力所作的功，称为虚功虚功。“如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所虚功必等于变形体所接受接受的总虚变形功的总虚变形功 变形体的虚功原理变形体的虚

3、功原理 为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说明。假设单为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说明。假设单位厚度的变形体在给定的外力（体积力位厚度的变形体在给定的外力（体积力X、Y和表面力和表面力 ）和给定的约）和给定的约束条件下处于平衡状态，用束条件下处于平衡状态，用 x、y和和 xy表示应力分量。这些应力分表示应力分量。这些应力分量满足下列平衡条件：量满足下列平衡条件：现在学习的是第4页，共12页第五章 能量原理及其变分法在整个变形体内，各微元体满足在整个变形体内，各微元体满足在变形体边界处，各微元体满足在变形体边界处，各微元体满足其中，其中，l、m表示边界处的外

4、法线的方向余弦。表示边界处的外法线的方向余弦。给变形体以微小虚位移给变形体以微小虚位移 u、v，各微元体将有虚应变，各微元体将有虚应变现在学习的是第5页，共12页第五章 能量原理及其变分法首先，分析变形体内部的微元体由正应力首先，分析变形体内部的微元体由正应力 x所作的虚功。所作的虚功。其中其中为微元体的体积。同样，为微元体的体积。同样，xy所作的虚功为所作的虚功为体积力所作的虚功为体积力所作的虚功为 同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体内微元体上所同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体内微元体上所有力所作的虚功之和为有力所作的虚功之和为现在学习的是第6页，共12页第五章 能

5、量原理及其变分法 其次，分析边界处的微元体，以其次，分析边界处的微元体，以ds表示斜边的长度，则直角边表示斜边的长度，则直角边的面积分别为的面积分别为微元体的体积为微元体的体积为 设斜边中点处的虚位移为设斜边中点处的虚位移为 u、v，应力分量为，应力分量为 x、y和和 xy，直，直角边角边dy上正应力上正应力 x所作的虚功为所作的虚功为直角边直角边dx上剪应力上剪应力 xy所作的虚功为所作的虚功为斜边上表面力所作的虚功为斜边上表面力所作的虚功为现在学习的是第7页，共12页第五章 能量原理及其变分法体积力所作的虚功为体积力所作的虚功为 同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界处微元同样

6、地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界处微元体上所有力所作的虚功之和为体上所有力所作的虚功之和为变形体的总虚功为变形体的总虚功为 W总总现在学习的是第8页，共12页第五章 能量原理及其变分法由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于平衡状态，所以由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于平衡状态，所以总虚功总虚功所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成其中其中总虚功表达式写成总虚功表达式写成最后，得出最后，得出W总总W总总=W外外+W面面W外外W面面0W总总W外外现在学习的是第9页，共12页第五章 能量原理及其变分法 变形体在给定外力作用下，给以虚位移，

7、如果外力所作的总虚变形体在给定外力作用下，给以虚位移，如果外力所作的总虚功等于变形体所功等于变形体所“接受接受”的总虚变形功，则变形体各处都处于平的总虚变形功，则变形体各处都处于平衡状态。衡状态。与与是恒等的。是恒等的。前提条件是前提条件是W总总W总总W面面现在学习的是第10页，共12页第五章 能量原理及其变分法所以所以因为虚位移因为虚位移 u、v是任意的，所以上式为零的条件必是使上式中是任意的，所以上式为零的条件必是使上式中成立，同时成立，同时成立。成立。现在学习的是第11页，共12页第五章 能量原理及其变分法 虚功原理（实际是虚位移原理）与平衡条件和力的边界条件是等虚功原理（实际是虚位移原理）与平衡条件和力的边界条件是等价的，是以功的形式表达变形体的平衡条件。价的，是以功的形式表达变形体的平衡条件。对于空间应力状态，可以进行同样的推导，得到变形体在空间应力对于空间应力状态，可以进行同样的推导，得到变形体在空间应力状态下的虚功方程式状态下的虚功方程式现在学习的是第12页，共12页