行列式的基本性质.ppt

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1、行列式的基本性质现在学习的是第1页，共51页也就是也就是:若若则则现在学习的是第2页，共51页(1).当当 位于第一行第一列的情形位于第一行第一列的情形,即即证明证明:先证先证由定义由定义,按第一行展开得按第一行展开得 (2).再证一般情形再证一般情形(第第 i 行除行除 外外,其它元素全为零其它元素全为零),此时此时现在学习的是第3页，共51页得得现在学习的是第4页，共51页其中其中得得现在学习的是第5页，共51页现在学习的是第6页，共51页于是于是证毕证毕.定理一定理一.行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与它们的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式

2、乘积之和，即行列式按行（列）展开法行列式按行（列）展开法或或 证明证明:把行列式把行列式 D 的第的第 i 行的每个元素按下面的方式行的每个元素按下面的方式拆成拆成 n 个数的和个数的和,再根据性质再根据性质3,可将可将 D 表示成表示成 n 个行列式之个行列式之和和:现在学习的是第7页，共51页引理引理现在学习的是第8页，共51页证毕证毕.同理同理,若按列证明若按列证明,可得可得 推论推论.行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明证明:不妨设不妨设 i j,考虑辅助行列式考虑辅助行

3、列式现在学习的是第9页，共51页第第 i 行行第第 j 行行其中第其中第i行与第行与第 j行对应元素相同行对应元素相同,又将又将 按第按第 j行展开行展开,有有于是得于是得现在学习的是第10页，共51页上述证法按列进行上述证法按列进行,同理可得同理可得证毕证毕.小结小结:关于代数余子式的性质有关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成或简写成:现在学习的是第11页，共51页题题 设设 阶行列式阶行列式求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和现在学习的是第12页，共51页例例1.利用定理一计算前面的例利用定理一计算前面的例1 1解解:D现在学习的是第13页，共51页现在

4、学习的是第14页，共51页例例2 2.计算计算0000解解:按第一行展开按第一行展开,有有现在学习的是第15页，共51页现在学习的是第16页，共51页递推公式递推公式现在学习的是第17页，共51页(按第一行展开按第一行展开)记住这类解法记住这类解法!现在学习的是第18页，共51页例例3.证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式说明说明:现在学习的是第19页，共51页关于范德蒙行列式注意两点形式形式 按升幂排列，形成等比数列按升幂排列，形成等比数列,且从且从0次方开始；次方开始；结果结果 共共 n(n-1)/2 项的乘积项的乘积,可正可负可为零可正可负可为零.对于范德蒙行列式对

5、于范德蒙行列式,我们的任务就是：我们的任务就是：利用它计算行列式利用它计算行列式 因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.现在学习的是第20页，共51页 如如现在学习的是第21页，共51页下面我们来证明下面我们来证明范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式.证明证明:用数学归纳法用数学归纳法.因为因为现在学习的是第22页，共51页现在学习的是第23页，共51页按归纳法假设按归纳法假设,有有故故现在学习的是第24页，共51页利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列

6、式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。现在学习的是第25页，共51页解解现在学习的是第26页，共51页上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知现在学习的是第27页，共51页题：计算题：计算现在学习的是第28页，共51页用数学归纳法用数学归纳法例例5证明证明现在学习的是第29页，共51页证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法现在学习的是第30页，共51页现在学习的是第31页，共51页评注评注现在学习的是第32页，共5

7、1页现在学习的是第33页，共51页计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结现在学习的是第34页，共51页3 克莱姆法则克莱姆法则一、克莱姆法则一、克莱姆法则二、齐次线性方程组有二、齐次线性方程组有 非零解的充要条件非零解的充要条件现在学

8、习的是第35页，共51页(14)定理二定理二 （克来姆法则）（克来姆法则）设线性方程组设线性方程组的系数行列式的系数行列式一、克莱姆法则一、克莱姆法则(15)现在学习的是第36页，共51页则线性方程组则线性方程组(14)有唯一解有唯一解:(16)其中其中(第第i行行)(第第j列列)现在学习的是第37页，共51页证明证明:先验证先验证(16)是是(14)的解的解,即验证即验证:D0?按第按第1列展开列展开按第按第2列展开列展开按第按第n列展开列展开因为因为(17)现在学习的是第38页，共51页由定理一及引理由定理一及引理再证再证(14)只有一个解只有一个解.000现在学习的是第39页，共51页将

9、以上将以上 n 个恒等式相加个恒等式相加,就有就有现在学习的是第40页，共51页根据定理一及其推论根据定理一及其推论,上式为上式为证毕证毕.现在学习的是第41页，共51页 用克莱姆法则解线性方程用克莱姆法则解线性方程 组时组时,必须具备两个条件必须具备两个条件:注意注意1.未知数个数未知数个数=方程个数方程个数;2.系数行列式系数行列式0.现在学习的是第42页，共51页例例1.解线性方程组解线性方程组解解:现在学习的是第43页，共51页又因为又因为现在学习的是第44页，共51页现在学习的是第45页，共51页设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为 非齐次线性方程组非齐次线性方程组;

10、此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念现在学习的是第46页，共51页齐次线性方程组齐次线性方程组:(18)定理三定理三.若齐次线性方程组若齐次线性方程组(18)有非零解有非零解,则则(18)的系数的系数行列式行列式D=0.证明证明:反证反证.若若 D0,由克莱姆法则知由克莱姆法则知(18)只有零解只有零解.矛盾矛盾!证毕证毕.二、齐次线性方程组有非零解的充要条件二、齐次线性方程组有非零解的充要条件现在学习的是第47页，共51页 註註:由定理三可知由定理三可知,方程组方程组(18)的系数行列式的系数行列式 D=0

11、是方是方程组程组(18)有非零解的必要条件有非零解的必要条件.在第四章将会看到在第四章将会看到,D=0也是也是齐次线性方程组齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件有非零解的充要条件.齐次线性方程组齐次线性方程组(18)有非零解的有非零解的充要条件是系数行列式充要条件是系数行列式 D=0.说明说明:(1).D0(18)有唯一解有唯一解,即零解即零解.(3).(18)有非零解有非零解(有无穷多组解有无穷多组解).综合上述综合上述,得到得到:(2).(18)有零解有零解:现在学习的是第48页，共51页例例3.设齐次线性方程组设齐次线性方程组现在学习的是第49页，共51页解解:因为所给齐次线性方程组因为所给齐次线性方程组有非零解有非零解,所以其系数行列式所以其系数行列式现在学习的是第50页，共51页证证现在学习的是第51页，共51页