课题学习最短路径问题优秀课件.ppt

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1、课题学习最短路径问题第1页，本讲稿共28页为什么有的人会经常践踏草地呢？为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏爱护草坪爱护草坪爱护草坪爱护草坪两点之间，线段最短两点之间，线段最短第2页，本讲稿共28页 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供选择，你会选走哪条地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？路最近？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短第3页，本讲稿共28页 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？垂线段最短张村河流泵站泵站第4页，本讲稿共28页前面我们

2、研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为等的问题，我们称它们为 最短路径问题最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.本节本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题将军饮马问题”第5页，本讲稿共28页将军饮马问题：将军饮马问题：两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天

3、，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为这就是被称为将军饮马将军饮马而广为流传的问题。而广为流传的问题。第6页，本讲稿共28页P两点之间线段最短两点之间线段最短.根据：根据：BA(一一)两点在一条直线两侧两点在一条直线两侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一

4、次。问将军怎样走路程最短？最短路线：最短路线：将军饮马：将军饮马：A-P-B.第7页，本讲稿共28页 例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？AB河两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧第8页，本讲稿共28页C河边河边B AB利用对称：将两利用对称：将两条线段的和条线段的和转化转化到一条直线上到一条直线上，运用两点之间运用两点之间线段最短求最线段最短求最小值小值将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线抽象为一条直线 前前面的问题就转化为：当面的问题就转化为：当饮马饮马点点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时

5、，AC 与与CB 的和最小的和最小做法：做法：（1）作点）作点B关于直线关于直线l 的对称点的对称点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交于点相交于点C 则点则点C 即为所求即为所求 第9页，本讲稿共28页证明：如图，在直线证明：如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC 在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？BlABCC第10页，本讲稿

6、共28页若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC+BC，就说明，就说明AC+BC 最小最小 BlABCC证明证明AC+BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？第11页，本讲稿共28页回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？BlABCC轴对称轴对称第12页，本讲稿共28页.两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：第13

7、页，本讲稿共28页活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？BA第14页，本讲稿共28页BAB1cD活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？利用平移：将折利用平移：将折线和的最小值，线和的最小值，转化到一条直线上转化到一条直线上，用两点之间线段用两点之间线段最短求最小值最短求最小值第15页，本讲稿共28页回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？平移平移第16页，本讲稿共28页活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角内现在要在河边建

8、一个码头C，在公路边D修建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短河流公路A公司BC第17页，本讲稿共28页活动二活动二 抽象成数学模型：抽象成数学模型：点点A A在在MONMON内，在边内，在边MOMO和和NONO上各找一点上各找一点B B、C C使使AC+CB+BAAC+CB+BA（即（即ABCABC的周长）的距离最短。的周长）的距离最短。NMA公司BCO提示一：求三角形周长的最小值可转化为一条直线上第18页，本讲稿共28页河流公路A公司A1A2BC 活动二活动二 抽象成数学模型：抽象

9、成数学模型：点点A A在在MONMON内，在边内，在边MOMO和和NONO上各找一点上各找一点B B、C C使使AC+CB+BAAC+CB+BA（即（即ABCABC的周长）的距离最短。的周长）的距离最短。利用对称：将三角利用对称：将三角形三边和，形三边和，转化到转化到一条直线上一条直线上，用两，用两点之间线段最短求点之间线段最短求最小值最小值第19页，本讲稿共28页活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？我思考我思考,我进步我进步变式思考 活跃思

10、维BA公路a公路bCD第20页，本讲稿共28页活动三 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。我思考我思考,我进步我进步变式思考 活跃思维BA公路a公路bCD提示一：AB为定值，只需求折线AD、CD、BC和的最小值。第21页，本讲稿共28页 我思考我思考,我进步我进步变式思考 活跃思维BA公路a公路bB1A1CD利用对称：三边利用对称：三边和和转化到一条直转化到一条直线上线上，用两点之，用两点之间线段最短求最间线段最短求最小值小值活动四 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最

11、小值。第22页，本讲稿共28页探究二：在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？AB两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧C 问：两边之差问：两边之差问：两边之差问：两边之差|C CBBBB C CA|A|A|A|是否存在最值问题？是否存在最值问题？是否存在最值问题？是否存在最值问题？C当当A、B、C三点共线时，三点共线时，|CBCA|最大最大第23页，本讲稿共28页探究二：在河两边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？BP1A两点在一条直线两侧两点在一条直线两侧第24页，本讲稿共28页

12、抽象成数学模型：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PBPA最大。提示：提示：BP1A作作B B的对称点的对称点B1B1，将，将PB-PAPB-PA转化到同侧转化到同侧探究二：两点在一条直线两侧第25页，本讲稿共28页BB1PP1A抽象成数学模型：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PBPA最大。利用对称：将两线利用对称：将两线段之差段之差转化到三转化到三角形中角形中比较，当比较，当三点共线时求线段三点共线时求线段差的最大值差的最大值探究二：第26页，本讲稿共28页 小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称和平移在所研

13、究问题中起什么作用？）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想利用轴对称或平移实质是利用轴对称或平移实质是将折线段转化为直线段，将折线段转化为直线段，利用利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”来解决问题来解决问题第27页，本讲稿共28页两条线段两条线段和和的最的最小小值值两点之间，线段最短两点之间，线段最短两条线段两条线段差差的最的最大大值值三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边当当P运动到运动到E时，时，PAPB最小最小当当Q运动到运动到F 时，即时，即C、D、F三点共三点共线时，线时，|QDQC|最大最大第28页，本讲稿共28页