第5这章 随机变量的数字特征PPT讲稿.ppt

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1、第5这章 随机变量的数字特征第1页，共95页，编辑于2022年，星期一 随机变量的数字特征是能够描述随机变量基本面貌和代表随机变量主要特征的数字。5.1 5.1 数学期望数学期望5.1.1 5.1.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 随机变量的数学期望代表所有随机变量取值的加权平均值，也简称为均值均值。1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 定义定义1 若离散型随机变量X的分布律是 P(xi)=PX=xi=pi (i=1,2,3,)且级数 绝对收敛()，则称此级数 为X的数学期望(或均值)，记为EX。即 第2页，共95页，编辑于2022年，星期一说明说明：离散型随机变量的数

2、学期望等于随机变量的各个取值与对应概率的乘积之和。均值与X的取值x1,xn,的排列次序无关，故要求 绝对收敛，若此级数不绝对收敛，则称EX不存在。第3页，共95页，编辑于2022年，星期一例例1 1 甲、乙两射手的稳定成绩分别为试比较甲、乙两射手孰优孰劣。解解：甲的平均环数 乙的平均环数 故可认为甲略优于乙。上述算法明确体现了加权平均的思想：若变量X取值xi的概率p(xi)较大，则这个xi就对平均数的影响较大(或贡献较大)。概率p(xi)具有权衡xi地位轻重的作用，称为权重系数。加权平均的思想不同于算术平均的思想。随机变量的数学期望代表了随机变量取值的集中位置。随机变量的数学期望代表了随机变量

3、取值的集中位置。X(甲环数)8910概率0.30.10.6Y(乙环数)8910概率0.20.40.4第4页，共95页，编辑于2022年，星期一例例2 若X服从二项分布B(n,p)，求EX。解解 该结果说明：具具有有概概率率p的的事事件件A在在n重重伯伯努努利利试试验验中中平平均均出出现现np次。次。第5页，共95页，编辑于2022年，星期一例例3 若X服从泊松分布P()，求EX。解解 X服从泊松分布时，EX=说明事件A在一个n重伯努利试验试验中平均出现次。第6页，共95页，编辑于2022年，星期一例例4 4 几何分布的期望 若P(X=k)=pqk-1 (k=1,2,)，则 。证明证明 例例5

4、5 若X取值 对应的概率值为 讨论其EX存在与否。解解第7页，共95页，编辑于2022年，星期一例例6 6 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现i次(i=1,2,3)次，则下注者赢i元，否则没收1元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否公平？解解 设下注者的每1元注金带来的盈利是个随机变量X。X的一切可能值为：-1,1,2,3 可以用考察EX是否等于零来评价这一游戏规则对下注者是否有利。设掷3次骰子，恰好出现所压的数字的次数为Y，则 YB(3,1/6)第8页，共95页，编辑于2022年，星期一而Y=0时,X=-1;Y=1时,X=1;Y=

5、2时,X=2;Y=3时,X=3；所以，X的分布律为 由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注者是不利的(每平均玩216次，下注者将输17元)。第9页，共95页，编辑于2022年，星期一 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望 一维离散型随机变量函数的数学期望一维离散型随机变量函数的数学期望 设X是离散型随机变量，Y=f(X)是X的函数。X的分布律是：P(X=xi)=pi i=1,2,3,若 绝对收敛()，则函数f(X)的数学期望存在，记为Ef(X)，且有 二维二维离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 PX=xi

6、,Y=yj=pij (i,j=1,2,)如果 收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，记为Eg(X,Y)，且有第10页，共95页，编辑于2022年，星期一例例7 设X的分布律为求EX，E(-X+2),EX2。解解 EX=(-1)(1/8)+0(1/4)+1(3/8)+3(1/4)=1 E(-X+2)=-(-1)+2(1/8)+(-0+2)(1/4)+(-1+2)(3/8)+(-3+2)(1/4)=1 EX2=(-1)2(1/8)+02(1/4)+12(3/8)+32(1/4)=22/8X-1013P1/81/43/81/4第11页，共95页，编辑于2022年，星期一2.2.连续型随机变量的数学期望

7、连续型随机变量的数学期望定义定义2 2 若随机变量X有密度函数(x)，且积分收敛，则称积分 为X的数学期望，记为EX，即例例8 8 设X服从正态分布N(a,2)，求EX。解解第12页，共95页，编辑于2022年，星期一所以，X服从正态分布N(a,2)时，EX=a积分函数是奇函数，在(-,+)内积分为0第13页，共95页，编辑于2022年，星期一例例9 设X服从(a,b)内的均匀分布，求EX。解解 X的密度函数为可见，均匀分布的数学期望是区间(a,b)的中点。第14页，共95页，编辑于2022年，星期一例例10 设X服从参数a0的指数分布，求EX解解 X的密度函数为 第15页，共95页，编辑于2

8、022年，星期一 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望 一维连续型随机变量函数的数学期望一维连续型随机变量函数的数学期望 对连续型随机变量X的函数g(X),X的密度函数为(x),若积分 收敛，则积分 称为连续型随机变量X的函数g(X)的数学期望，记为Eg(X),即证明略。但该结论很重要，给出了计算连续型随机变量的函数的数学期望的方法。第16页，共95页，编辑于2022年，星期一例例1111 设X服从柯西分布，证明EX不存在证证 X的密度函数为 所以，X服从柯西分布时，EX不存在。第17页，共95页，编辑于2022年，星期一例例1212 若X服从0,2上的均匀分布，求E(si

9、n X)解解 X的密度函数：绝对收敛，所以E(sinX)存在，且第18页，共95页，编辑于2022年，星期一 二维连续型随机变量函数的数学期望二维连续型随机变量函数的数学期望 设二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，如果 收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，记为Eg(X,Y)，且有特别有式中fX(x)和fY(y)分别为为X和Y的密度函数。第19页，共95页，编辑于2022年，星期一例例12 设二维连续型随机变量(X,Y)服从半圆域D上的均匀分布，其中D=(x,y):x2+y21,y0，求EX,EY和EX3Y。解解 (X,Y)的联合密度函数为 第20页，共95页，编辑于2022年

10、，星期一5.1.3 5.1.3 数学期望的性质数学期望的性质性质性质1 1 一个常数c的数学期望等于这个常数，即 Ec=c证证 将常数c看成一个离散变量，它服从单点分布，即X=c,P(X=c)=1,由定义得 Ec=EX=cP(X=c)=c1=c性质性质2 设c是常数，若X的数学期望EX存在，则EcX也存在，且有 EcX=cEX证证 以连续型X为例。设X的密度函数为(x),而积分 由于EX存在且收敛，故EcX存在。故有第21页，共95页，编辑于2022年，星期一性性质质3 若随机向量(XY)的数学期望(EX,EY)存在，则X+Y的数学期望也存在，且有 E(X+Y)=EX+EY 。证证 以连续型(

11、XY)为例。设联合密度函数为f(x,y),第22页，共95页，编辑于2022年，星期一类似地，若随机变量的函数f(X)，g(Y)的数学期望Ef(X)，Eg(Y)存在，则f(X)+g(Y)的数学期望也存在，且有特别的性性质质4 若随机向量(XY)的数学期望EX，EY存在，且XY相互独立，则E(XY)也存在，且有 E(XY)=EXEY第23页，共95页，编辑于2022年，星期一证证 以连续型(XY)为例。设联合密度函数为(x,y),性质性质5 如如aXb，则，则EX存在，且存在，且aEXb。第24页，共95页，编辑于2022年，星期一 利用数学期望的性质，可使一些随机变量的数学期望的 计算简化。这

12、些性质还可以推广到n个随机变量X1,X2,Xn E(c1X1+c2X2+cnXn)=c1EX1+c2EX2+cnEXn 若X1,X2,Xn 相互独立，则 E(X1X2Xn)=EX1EX2 EXn第25页，共95页，编辑于2022年，星期一例例1414 在n次独立试验中，每次成功的概率为p，设Xi为“第i次试验成功的次数”，则Xi有分布律 其中 i=1,2,nn次试验中成功的次数Y=X1+X2+Xn，求EY解解 因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,EXi=1p+0(1-p)=p (i=1,2,n)EY=E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn=np 由此可知，当随机变量服从参

13、数为n,p的二项分布时，其数学期望为二项分布的期望，即YB(n,p)，EY=np 随随机机变变量量的的数数学学期期望望由由其其概概率率分分布布完完全全决决定定，具具有有相相同同分分布布的的随机变量必定有相同的数学期望。随机变量必定有相同的数学期望。Xi01概率1pp第26页，共95页，编辑于2022年，星期一5.2 5.2 方差与标准差方差与标准差 在解决实际问题时，常常除了要了解随机变量的数学期望外，还需了解随机变量的取值在数学期望附近波动的情况。例例1515 甲、乙两个化验员分析同种样品各5次，得下表结果：由此求得 虽然其均值相同，但甲分析的结果发散程度(波动程度)较小，乙的发散程度较大，

14、说明甲的分析比乙的分析稳定。甲(X)5.25.15.04.94.8乙(Y)6.05.55.04.54.0第27页，共95页，编辑于2022年，星期一 如何表示发散程度偏离重心EX的程度？想法想法1：绝对值在求导数和积分计算中较麻烦，而X-EX有可能因正负抵消而使E(X-EX)=0。想法想法2：用平方项可避免在计算中的麻烦，反映随机变量取值的波动程度时可采用此方法。第28页，共95页，编辑于2022年，星期一5.2.1 方差与标准差方差与标准差定定义义 设X是随机变量,若E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2为X的方差，记为DX(或VarX),即 DX=E(X-EX)2 对非负数DX，因其量

15、纲是X量纲的平方，不便使用，故在应用中引入与随机变量X量纲相同的量 ，并称 为标准差或均方差，记为(X)，即(1)对离散型随机变量X，若已知其分布律P(X=xi)=pi,(i=1,2,)则 第29页，共95页，编辑于2022年，星期一(2)对连续型X，若已知密度函数x，则计算方差的常用公式：证证 由于EX是一个常数，故有第30页，共95页，编辑于2022年，星期一 方差小，说明随机变量所取的值密集分布在其数学期望左右；方差小，说明随机变量所取的值密集分布在其数学期望左右；方方差差大大，说说明明随随机机变变量量所所取取的的值值与与其其数数学学期期望望差差异异较较大大(较较分散分散)。方差是刻划随

16、机变量方差是刻划随机变量X取取值波波动程度的一个量程度的一个量。例例1515 甲、乙两射手的稳定成绩分别为试计算甲、乙两射手成绩的方差和标准差。解解X(甲环数)8910概率0.30.10.6Y(乙环数)8910概率0.20.40.4第31页，共95页，编辑于2022年，星期一 可见，从平均成绩看，甲略优于乙；从成绩的稳定性看，乙比甲稳定。第32页，共95页，编辑于2022年，星期一例例16 设随机变量X服从(01)分布，求DX。解解 X服从(01)分布，即 PX=1=p，PX=0=1-p=q EX=1p+0q=p EX2=12p+02q=p所以 DX=EX2-(EX)2=p-p2=p(1-p)

17、=pq第33页，共95页，编辑于2022年，星期一例例17 设随机变量X服从(a,b)上的均匀分布，求DX。解解第34页，共95页，编辑于2022年，星期一例例18 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，求DX和 。第35页，共95页，编辑于2022年，星期一例例19 设随机变量X服从泊松分布P()，求DX。解解第36页，共95页，编辑于2022年，星期一例例20 设随机变量X服从正态分布N(a,2)，求DX。解解 可见，正态分布N(a,2)中的参数就是标准差，2是方差。第37页，共95页，编辑于2022年，星期一例例21 几何分布的方差：若PX=k=qk-1p k=1,2,则 。证证第38页

18、，共95页，编辑于2022年，星期一例例2222 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过 。证证 设X表示事件在一次试验中发生的次数，即第39页，共95页，编辑于2022年，星期一例例23 设随机变量X服从参数为a的指数分布，求DX。解解 第40页，共95页，编辑于2022年，星期一分分 布布 类类 型型 数学期望数学期望方差方差二项分布XB(n,p)PX=k=q=1-p,0knnpnpq泊松分布XP()PX=k=k=0,1,几何分布XG(p)PX=k=pqk-1 k=1,2,;q=p-1 均匀分布XUa,b 指数分布XE(a)正态分布XN(a,2)a2第41页，共95页，编辑于2022年，

19、星期一5.2.2 方差的性质方差的性质性质性质1 Dc=0 (c是任意常数)证明证明 Dc=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0(DX=0的充分必要条件是：X以概率1取常数c；即 P(X=c)=1。)性质性质2 D(cX)=c2DX (c是任意常数)证明证明性质性质3 D(X+c)=DX证明证明第42页，共95页，编辑于2022年，星期一性质性质4 当当X Y相互独立时，相互独立时，D(X Y)=DX+DY证证第43页，共95页，编辑于2022年，星期一性质4可推广到如下情形：若X1,X2,Xn 相互独立，则 一般地(非独立)，对n个随机变量X1,X2,Xn，有 第44页，共95页，编辑于20

20、22年，星期一例例24 在例18的n次重复独立试验中，设每次成功的概率为p，Xi表示第i次试验成功的次数，X1,X2,Xn相互独立，且Xi服从参数为p的(0-1)分布。求X1+X2+Xn 的方差。解解 相比较例18的方法，这里的方法更简单。第45页，共95页，编辑于2022年，星期一5.3 协方差与相关系数协方差与相关系数定定义义 对二维随机向量(XY)，称函数(X-EX)(Y-EY)的数学期望为X与Y的协方差，记为cov(XY)，即 cov(X Y)=E(X-EX)(Y-EY)(cov是covariance协方差的缩写。“协”“协同”)显然有 cov(XY)=cov(Y,X)DX=cov(X

21、,X)DY=cov(Y,Y)cov(XY)=E(XY)-EXEY cov(aX,bY)=abcov(X,Y)第46页，共95页，编辑于2022年，星期一证明证明第47页，共95页，编辑于2022年，星期一定理定理1 对二维随机向量(XY)(1)若XY相互独立，则 cov(XY)=0 (2)cov(XY)2DXDY证明证明 cov(XY)=E(XY)-EXEY (1)由于X，Y相互独立，E(XY)=EXEY cov(XY)=E(XY)-EXEY=EXEY-EXEY=0 (2)略定定义义 若X与Y的方差都不等于0，记随机变量XY的相关系数为XY(简记为 )相关系数只是X与Y间线性关系程度的一种量度

22、。第48页，共95页，编辑于2022年，星期一定理定理2 2 对给定的二维随机向量(XY)，为XY的相关系数。若X，Y相互独立，则=0；-11；当且仅当X，Y之间有严格的线性关系时，等号成立。证明证明 由相关系数的定义及定理1知 若X，Y相互独立，则=0注意注意：当相关系数=0时，称XY不相关。当X,Y独立时,=0(随机变量必不相关)；但反过来,=0(随机变量不相关)时,XY未必独立。随机变量“X X Y Y独立独立独立独立”是比“X X Y Y不相关不相关不相关不相关”更强的概念。第49页，共95页，编辑于2022年，星期一例例25 25 二维随机向量(X,Y)服从参数为1，2，12，22，

23、r的二维正态分布。证明X，Y的相关系数为，且X，Y独立的充要条件是 X，Y不相关。证证由X，Y独立的充要条件是=0，得X，Y不相关，且独立性与不相关性等价。第50页，共95页，编辑于2022年，星期一定理定理3 若(XY)是给定的二维随机向量，则(1)E(XY)=EXEY+cov(XY)(2)D(XY)=DX+DY2cov(XY)特别地，对独立的随机变量XY，必有 E(XY)=EXEY D(XY)=DX+DY若X1，X2，Xn相互独立，则必有第51页，共95页，编辑于2022年，星期一证证第52页，共95页，编辑于2022年，星期一例例25 设X的密度函数为 (1)求X,|X|的相关系数；X,

24、|X|是否独立？解解第53页，共95页，编辑于2022年，星期一 X,|X|不独立，但相关系数=0，即X,|X|“不相关”不能说明它们“独立”第54页，共95页，编辑于2022年，星期一例例26 设向量(XY)的联合密度函数为试求EX，EY，DX DY cov(XY),，D(5X-3Y)。解解 (为求数学期望和方差，可先求边缘分布再作计算；也可用联合密度直接计算。)第55页，共95页，编辑于2022年，星期一第56页，共95页，编辑于2022年，星期一第57页，共95页，编辑于2022年，星期一例例27 已知X1,X2独立，均服从正态分布N(0,2)，Y1aX1+bX2 ,Y2aX1-bX2，

25、其中a、b是常数。(1)求Y1,Y2的相关系数；问Y1,Y2是否相关，是否独立？当Y1,Y2独立时，求(Y1,Y2)的联合密度函数。解解 一般地 X1、X2独立，YaX1+bX2，则第58页，共95页，编辑于2022年，星期一第59页，共95页，编辑于2022年，星期一(2)由于Y1,Y2都服从正态分布，则Y1,Y2不相关与独立是等价的；当|a|=|b|时，相关系数=0；Y1,Y2独立；不相关 当|a|b|时，相关系数0；Y1,Y2不独立；相关(3)当Y1,Y2独立时，a2=b2;第60页，共95页，编辑于2022年，星期一*5.4 矩矩定义定义 设X为随机变量，c为常数，k为正整数，则E(X

26、-c)k称为X关于c点的k阶矩。(1)当c=0时，k=E(Xk)称为X的k阶原点矩；(2)当c=E(X)时，k=E(X-EX)k称为X的k阶中心矩。一阶原点矩就是期望。一阶中心矩1=0,二阶中心矩2就是X的方差var(X)。高于四阶的矩极少使用。应用之一：用应用之一：用3衡量分布是否有偏。衡量分布是否有偏。设X的概率密度函数为f(x)，若f关于某点a对称，即 f(a+x)=f(a-x)a必等于E(X)，且3=E(X-EX)3=0。如果30，则称分布为正偏或右偏。如果30，则称分布为负偏或左偏。第61页，共95页，编辑于2022年，星期一 特别对正态分布有3=0，故如3显著异与0，则是分布与正态

27、有较大偏离的标志。由于3的因次是X的因次的三次方，为抵消这一点，以X的标准差的三次方，即 去除3，其商称为X或其分布的“偏度系数偏度系数”第62页，共95页，编辑于2022年，星期一 应用之二应用之二：用：用4衡量分布衡量分布(密度密度)在均值附近的陡峭程度。在均值附近的陡峭程度。4=E(X-EX)4，容易看出，若X取值在概率上集中在EX附近，则4将倾向于小，否则就倾向于大。为抵消尺度的影响，类似于3的情况，以标准差的四次方，即 去除4，得称为X或其分布的“峰度系数峰度系数”若XN(,2)，则2=3，与和2无关。迁就于此，也常定义 为峰度系数，以使正态分布有峰度系数0。第63页，共95页，编辑

28、于2022年，星期一 为了便于理解峰度系数的概念，下图中画出了两条均以为对称中心的对称密度曲线，且峰的高度一样，但f1在顶峰处较陡，而f2的顶峰处较平缓。由图可知，在附近，f2的概率值大而f1的概率值小，故f1的两翼较f2宽些，f2的4较大，即有较大的峰度系数2。第64页，共95页，编辑于2022年，星期一*5.5 5.5 条件数学期望条件数学期望(条件均值条件均值)与条件分布的定义相似，在给定了某些其他随机变量X，Z，的值x，z 的条件下，随机变量Y的条件数学期望记为E(Y|X=x,Z=z,)。作为条件出现的变量只有一个时，可记为E(Y|X=x)，不会发生误解时，可简记为E(Y|x)定定义义

29、E(Y|x)已知(X,Y)的联合密度，确定了X=x时Y的条件密度函数f(y|x)，则E(Y|x)由下式计算 条件分布是随机变量X与Y相互依赖关系在概率上的刻划，条件期望反映了随着X取值x的变化，Y的平均变化的情况。例如，随着人体身高x的变化，身高为x的那些人平均体重的变化如何等等。第65页，共95页，编辑于2022年，星期一例例28 条件期望一个重要的例子是 ，在给定X=x时，Y的条件分布为正态分布因为正态分布N(,2)的期望就是，故有 该条件期望为x的线性函数，若r0则E(Y|x)随x的增加而增加，即Y“平均说来”有随x的增长而增长的趋势，即所谓正相关；而r0，为负相关；当r=0时，X与Y独

30、立，E(Y|x)与x无关。由条件数学期望的概念可得出一般的(无条件)数学期望的一个重要公式，该公式与计算概率的全概率公式相当。全概率公式 可以理解为：通过事件A的条件概率P(A|Bi)可计算其(无条件)概率P(A)。第66页，共95页，编辑于2022年，星期一 实际上P(A)就是条件概率P(A|Bi)的某种加权平均，权即为事件Bi的概率。依此类推，变量Y的(无条件)期望，应等于其条件期望E(Y|x)对x取加权平均，x的权与变量X在x点的概率密度f1(x)成比例，即证证明明 (X,Y)的联合密度函数记作f(x,y)，则X,Y的(边缘)密度函数分别为由定义第67页，共95页，编辑于2022年，星期

31、一 ，带入E(Y)式，(*)式得证。若记g(x)=E(Y|x)，则(*)式可写为根据随机变量函数期望的定义，上式右边就是E(g(X)。从g(x)的定义，g(X)=E(Y|x)|x=X，简写为E(Y|X)。于是由(*)得 E(Y)=E(E(Y|X)(*)上式表明随机变量上式表明随机变量Y的期望等于其条件期望的期望。的期望等于其条件期望的期望。求E(Y|X)时，先设X等于一个固定值x(x无随机性)，由此算出E(Y|x)，其表达式含x，再把x换成X即得。第68页，共95页，编辑于2022年，星期一 在许多情况下，直接计算E(Y)比较困难，而在限定变量X之值后，计算E(Y|x)则比较容易。因此可分两步

32、走：先算出E(Y|x)，再借助X的概率分布，通过E(Y|x)算出E(Y)。直观地说，把求E(Y)看成在大范围内求平均，限定X之值后，即从这个大范围内界定了一个较小的部分，现对这个较小的部分求平均，然后再对大范围求平均。例如要求全校学生的平均身高，可先求出每个班的平均身高，然后再对各班的平均值求一次平均。考虑到各班人数的不同，作后一次平均时，应以各班人数为权进行加权平均，这个权相当于(*)中的f1(x)。第69页，共95页，编辑于2022年，星期一 如果X为n维连续型随机向量(X1,X2,Xn)，其概率密度为f(x1,x2,xn)，则有式中E(Y|x1,x2,xn)就是在X1=x1,X2=x2,

33、Xn=xn条件下，Y的条件期望。若X、Y为离散型随机变量，如设X是一维离散型随机变量，其分布为P(X=ai)=pi (i=1,2,)则第70页，共95页，编辑于2022年，星期一例例29 (求职面试问题)设在求职过程中收到了三个面试通知。为简化计算，假定每个公司都有三类不同的空缺职位：一般的、好的、极好的。对应的工资分别为2.5万元、3万元和4万元，估计可得到这些职位的概率分别为0.4、0.3和0.2；得不到任何职位的概率为0.1。由于每家公司都要求在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位，面试者应采用何种策略来应对呢？解解 先考虑极端情况：假定一家公司聘任求职者担任极好的职位，当然无需再去下一

34、家公司面试了。若一家公司不聘任，求职者必然要到下一家公司去面试。而针对其他情况作任何决定都是要冒风险的。有有效的办法是：采取使期望收益得最大值的行动。效的办法是：采取使期望收益得最大值的行动。第71页，共95页，编辑于2022年，星期一 求职者可用的数据如下表：设去第i个公司应聘的收益为Xi(i=1,2,3)。当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，因为假设第一次面试落聘，但有可能在以后的面试中会获得职位，因而这个结果(落聘)是带有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征：在将来的决策做出之前，当前决策的结果是不能估算的，有一种避开这个困难的方法，那就是先分析未来的决策，称这种方法为

35、逆逆推推解法解法。结 果 概 率 一般：2.5万元 好的：3万元 极好：4万元 没有工作：0 0.4 0.3 0.2 0.1第72页，共95页，编辑于2022年，星期一 首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次(即第三次)面试，则可以确定公司提供工资的期望值为 E(X3)=2.50.4+30.3+40.2+00.1=2.7(万元)知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决定第二次面试应采取的行动：已知肯定会接受极好的职位；若没有极好的职位肯定去进行第三次面试。若第二家公司能提供一个好职位，而其期望值较高(3万元)，故应接受这一工作且放弃第三次面试。若提供一般的工作，那么就必须在接受这一工作(期望值

36、2.5万元)和不接受这一工作而去碰第三次面试的运气(期望值2.7万元)这两者间做出选择，由于后者具有较大的期望值，故这就是应采取的行动。第73页，共95页，编辑于2022年，星期一 总之，第二次面试的决策应当是：接受极好的或好的职位，拒绝一般的职位。第二次面试的期望值可由下表数据求出：由 知其期望值为E(X2)=0.4E(X2|2.5)+0.3E(X2|3)+0.2E(X2|4)+0.1E(X2|0)=2.70.4+30.3+40.2+2.70.1=3.05(万元)第二次面试结果工作期望值概率一般：进行第三次面试 2.7万元0.4好的：接受 3万元0.3极好：接受 4万元0.2没有工作：进行第

37、三次面试 2.7万元0.1第74页，共95页，编辑于2022年，星期一 现在可以回到第一次面试，如果提供一般职位，所面临的选择是接受(期望工资为2.5万元)或拒绝(进行第二次面试，期望工资为3.05万元)，后者期望值较高，就应采取拒绝一般的工作，对于好的职位，因其期望工资3万元低于下一次面试的期望工资3.05万元，故也应放弃好的职位。因此，第一次面试时应采取的行动是：只接受极好的职位，否则就进行下一次面试。现在，这个面试问题的总的应对策略就清楚了：第一次面试只接受极好的职位，否则去第二次面试；第二次面试可接受好的或极好的职位，否则去第三次面试；第三次面试则接受能提供的任何职位。第75页，共95

38、页，编辑于2022年，星期一 与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出：E(X1)=0.4E(X1|2.5)+0.3E(X1|3)+0.2E(X1|4)+0.1E(X1|0)=3.050.4+3.050.3+40.2+3.050.1=3.24(万元)综上所述，求职时收到三份面试通知与只收到一份面试通知相比较，不仅提高了就业的机会，而且也提高了工资的期望值。第一次面试结果 工资期望值 概率一般：进行第二次面试 3.05万元 0.4好的：进行第二次面试 3.05万元 0.3极好：接受 4万元 0.2没有工作：进行第二次面试 3.05万元 0.l第76页，共95页，编辑于2022年，星期一书面作业：

39、书面作业：P93P95 5-2 5-4 5-6 5-12 5-17 5-19第77页，共95页，编辑于2022年，星期一习题选讲：习题选讲：2、第78页，共95页，编辑于2022年，星期一第79页，共95页，编辑于2022年，星期一3、第80页，共95页，编辑于2022年，星期一5、第81页，共95页，编辑于2022年，星期一7、第82页，共95页，编辑于2022年，星期一8、第83页，共95页，编辑于2022年，星期一第84页，共95页，编辑于2022年，星期一第85页，共95页，编辑于2022年，星期一12、因为因为 所以结论成立。所以结论成立。第86页，共95页，编辑于2022年，星期一13、第87页，共95页，编辑于2022年，星期一第88页，共95页，编辑于2022年，星期一14、12A第89页，共95页，编辑于2022年，星期一第90页，共95页，编辑于2022年，星期一15、利用利用第91页，共95页，编辑于2022年，星期一得得第92页，共95页，编辑于2022年，星期一19、设X1、X2表示两台自动记录仪的无故障工作时间。第93页，共95页，编辑于2022年，星期一第94页，共95页，编辑于2022年，星期一21、第95页，共95页，编辑于2022年，星期一