第4章数值积分PPT讲稿.ppt

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1、第第4章章 数值积分数值积分1第1页，共71页，编辑于2022年，星期一1 插值型数值求积公式插值型数值求积公式一、一般求积公式及其代数精度一、一般求积公式及其代数精度1)问题：问题：1.一般求积公式一般求积公式2)解法：解法：求积节点求积节点(1)设设(x)是是a,b上的权函数，上的权函数，f(x)是是a,b上具有一上具有一定光滑度的函数，求数值积分定光滑度的函数，求数值积分设节点设节点上上f(x)有函数值有函数值 f(xi)(i=0,1,n)2第2页，共71页，编辑于2022年，星期一(3)与与f(x)无关的常数无关的常数,称为积分系数称为积分系数(2)写成带余项的形式写成带余项的形式即即

2、 (2)和和(3)都称之为都称之为数值求积公式数值求积公式或或机械求积公式机械求积公式。余项。余项R f 也称为也称为求积公式的截断误差（方法误差）求积公式的截断误差（方法误差）。则有则有3第3页，共71页，编辑于2022年，星期一3)衡量某种方法好坏的标准：衡量某种方法好坏的标准：a.代数精度代数精度 b.数值稳定性数值稳定性c.收敛性收敛性 对多少次多项式该方法无误差，即计算值是准确的。对多少次多项式该方法无误差，即计算值是准确的。或者说成灵敏度如何，也就是看舍入误差对计算结果影响或者说成灵敏度如何，也就是看舍入误差对计算结果影响的大小。比如病态方程组，当系数矩阵中的元素有微小变化时，的大

3、小。比如病态方程组，当系数矩阵中的元素有微小变化时，引起方程组无解。这实际上是由舍入误差或者说成舍入误差的引起方程组无解。这实际上是由舍入误差或者说成舍入误差的传递造成的。传递造成的。即截断误差的大小。即截断误差的大小。4第4页，共71页，编辑于2022年，星期一2.代数精度代数精度若求积公式若求积公式(2)对任意不高于对任意不高于m次的代数多项式都能精确成次的代数多项式都能精确成立，而对立，而对 xm+1不能精确成立，则称该求积公式具有不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精次代数精度度。注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多项的

4、多项式列出来验证，因此只要验证对式列出来验证，因此只要验证对1，x,xm 精确成立即可。因精确成立即可。因此有此有等价定义等价定义。若若(2)式中对于式中对于1，x,xm精确成立，对精确成立，对xm+1不精确成不精确成立，则称求积公式立，则称求积公式(2)的代数精度为的代数精度为m。另外，若代数精度为另外，若代数精度为m，也就是对，也就是对xm(2)式或式或(3)式精确成立。则式精确成立。则(3)中中若若f(x)是是x的的m次多项式，有次多项式，有R(f)=0,因此因此定义定义也可写成：也可写成：等价定义等价定义(2)：若若(3)式中式中 Rxi=0,(i=0,1,m)，而，而Rxm+1不为不

5、为0，则，则称称(2)式的代数精度为式的代数精度为m。定义：定义：等价定义等价定义(1)：5第5页，共71页，编辑于2022年，星期一分析：由等价定义求代数精度，只对最简单的函数分析：由等价定义求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。来验证。解：解：例例确定下述求积公式的代数精度确定下述求积公式的代数精度当当f(x)=1 时时(k=0),当当f(x)=x 时时(k=1),6第6页，共71页，编辑于2022年，星期一所以该求积公式的所以该求积公式的代数精度代数精度m=3。当当f(x)=x2时时(k=2),当当f(x)=x3 时时(k=3),当当f(x)=x4 时时(k=4),7第7页，共71页，

6、编辑于2022年，星期一问题：问题：1.方法：方法：二、二、插值型求积公式插值型求积公式插值基函数插值基函数插值多项式插值多项式已知已知(xi,f(xi),求求其中其中给定节点以及函数点给定节点以及函数点如何选择求积系数如何选择求积系数A0,An，使得求积公式代数精度尽，使得求积公式代数精度尽量高？量高？8第8页，共71页，编辑于2022年，星期一(4)则则其中其中插值型求积公式的定义插值型求积公式的定义定义：定义：对给定互异求积节点对给定互异求积节点 ，若求积系数，若求积系数 Ai,(i=0,1,n)由由(4)式给出的，则称该求积公式是式给出的，则称该求积公式是插值型插值型的。的。此时，求积

7、公式此时，求积公式(2)称为称为插值型求积公式插值型求积公式。9第9页，共71页，编辑于2022年，星期一2.性质性质数值求积公式数值求积公式(2)或或(3)是插值型的当且仅当它的代是插值型的当且仅当它的代数精度数精度证明：证明：（必要性必要性）设求积公式设求积公式(2)是插值型的，则是插值型的，则定理定理1：插值余项插值余项10第10页，共71页，编辑于2022年，星期一等价定义等价定义(充分性充分性)若若 ，由，由lk(x)的次数为的次数为n，对，对f(x)=lk(x),lk(x)为为n次次Lagrange插值基函数，有插值基函数，有 即即所以其求积系数由所以其求积系数由(4)式给出。式给

8、出。11第11页，共71页，编辑于2022年，星期一推论推论1：对给定求积节点：对给定求积节点 ，代数精度最高的，代数精度最高的说明：说明：不研究一般的求积公式。不研究一般的求积公式。推论推论2：若若 ，(3)式是插值型求积公式，则有余项公式式是插值型求积公式，则有余项公式 求积公式是插值型求积公式。求积公式是插值型求积公式。(5)12第12页，共71页，编辑于2022年，星期一例：例：求插值型求积公式求插值型求积公式 并确定其代数精度。并确定其代数精度。分析：分析：实际上该题目是求实际上该题目是求A0，A1，并确定其，并确定其代数精度代数精度。从而求积公式为：从而求积公式为：且且n=1,因而

9、代数精度大于等于因而代数精度大于等于1，以下验证代数精度从，以下验证代数精度从m=2开始开始解解(1)：因为是插值型求积，且因为是插值型求积，且13第13页，共71页，编辑于2022年，星期一解法解法(2)：因为是插值型的因为是插值型的,所以代数精度大于或等于所以代数精度大于或等于 1,因而对因而对x0=1,x1该公式精确成立，即有方程组该公式精确成立，即有方程组一般形式结论见下页。一般形式结论见下页。解得解得A0=A1=1（此法为待定系数法），代回求积公式可确定（此法为待定系数法），代回求积公式可确定代数精度。代数精度。14第14页，共71页，编辑于2022年，星期一具有具有n次代数精度次代

10、数精度,则则若求积公式若求积公式为关于为关于A0,A1,An的线性方程组的线性方程组,其系数行列式为其系数行列式为15第15页，共71页，编辑于2022年，星期一三、常用求积公式三、常用求积公式1.Newton-Cotes 求积公式求积公式则插值型求积公式称为则插值型求积公式称为N-C求积公式求积公式。插值型求积公式：插值型求积公式：16第16页，共71页，编辑于2022年，星期一1)NC求积系数及公式求积系数及公式系数：系数：17第17页，共71页，编辑于2022年，星期一因此因此,Newton-Cotes公式为公式为(6)(7)其中其中18第18页，共71页，编辑于2022年，星期一2)C

11、otes系数特点：系数特点：表表4-1可查表可查表4-1 首先首先,19第19页，共71页，编辑于2022年，星期一因为因为 仅与插值次数仅与插值次数n及及k有关，与有关，与f(x)无关，无关，(-1)(-1)n+k=(-1)=(-1)n-k特点特点：事实上事实上20第20页，共71页，编辑于2022年，星期一若令若令由于积分公式至少有由于积分公式至少有n次代数精度，对于次代数精度，对于1，积分公式始终精，积分公式始终精确成立，即有确成立，即有21第21页，共71页，编辑于2022年，星期一3)常用的常用的NC公式及名称公式及名称中矩形公式中矩形公式(精度高精度高)左矩形公式左矩形公式右矩形公

12、式右矩形公式几何意义几何意义(中矩形公式为例中矩形公式为例):):(m=1)当当n=0时时以以f(x)为曲边的曲边梯形面积，与为曲边的曲边梯形面积，与围成的矩形面积近似围成的矩形面积近似(如图如图)。22第22页，共71页，编辑于2022年，星期一梯形公式梯形公式(8)(m=1)当当n=1时时系数的特点系数的特点注：注：实际上是用实际上是用1次次Lagrange插值公式近似插值公式近似f(x)。几何意义：几何意义：以以f(x)为曲边的曲边梯形的面积，用直为曲边的曲边梯形的面积，用直边梯形的面积近似。（如图）边梯形的面积近似。（如图）23第23页，共71页，编辑于2022年，星期一Newton-

13、Cotes公式称为公式称为Simpson公式或抛物线公式公式或抛物线公式。几何意义几何意义:为曲边的曲边梯形的面积来近似，因此该为曲边的曲边梯形的面积来近似，因此该公式也称为公式也称为抛物线公式抛物线公式。(如图如图)以以f(x)为曲边的曲边梯形的面积，用插为曲边的曲边梯形的面积，用插值抛物线值抛物线(9)(m=3)当当n=2时时24第24页，共71页，编辑于2022年，星期一当当n=3,4时时，NewtonCotes公式分别称为公式分别称为Simpson 法则法则(m=5)(m=3)和和Cotes公式。公式。当当n=3时时当当n=4时时25第25页，共71页，编辑于2022年，星期一2.N-

14、C公式的余项公式的余项定理定理3：定理定理2：若若 ,则梯形公式则梯形公式(8)的余项为的余项为 则则Simpson公式公式(9)的余项为的余项为(10)(11)26第26页，共71页，编辑于2022年，星期一证明：证明：Simpson公式的代数精度为公式的代数精度为m=3,令令H(x)为为 f(x)的的三次三次Hermite插值多项式，且满足插值多项式，且满足 对多项式对多项式 H(x)，Simpson公式精确成立，即公式精确成立，即:即即27第27页，共71页，编辑于2022年，星期一 从而从而利用利用 上小于等于零，上小于等于零，其中其中依赖于依赖于x由积分中值定理由积分中值定理28第2

15、8页，共71页，编辑于2022年，星期一一般地一般地,其中其中说明：说明：为了既保证精度又节约时间，尽量选用为了既保证精度又节约时间，尽量选用n是偶数的情形。是偶数的情形。29第29页，共71页，编辑于2022年，星期一3.NewtonCotes公式的数值稳定性和收敛性公式的数值稳定性和收敛性(a).数值稳定性数值稳定性若某个求积公式的舍入误差，即若某个求积公式的舍入误差，即f(xk)的误差对数值积分的的误差对数值积分的结果结果影响较小影响较小，则称该数值求积公式是，则称该数值求积公式是稳定稳定的；否则，若的；否则，若影响较大影响较大，则称为，则称为不稳定的不稳定的。由实验和观测得到，由实验和

16、观测得到，本身有误差本身有误差精确值精确值30第30页，共71页，编辑于2022年，星期一设设f(xk)的近似值为的近似值为(12)由近似值由近似值所得数值积分为所得数值积分为误差误差E对误差对误差若若称称为为数值稳定的数值稳定的，反之为，反之为数值不稳定的数值不稳定的。推导见下页推导见下页31第31页，共71页，编辑于2022年，星期一所以，所以，N-C是数值稳定的。是数值稳定的。(13)当当则则32第32页，共71页，编辑于2022年，星期一(b).收敛性收敛性当当系数系数Ak有正有负，有正有负，N-C是数值不稳定的。是数值不稳定的。若若称称是是收敛的收敛的，反之为，反之为不收敛的不收敛的

17、。对于余项对于余项33第33页，共71页，编辑于2022年，星期一注：注：给定给定n+1个节点，插值型求积公式：个节点，插值型求积公式：优点：优点：代数精度高：代数精度高：问题：问题：代数精度最大是多少？如何寻求数值稳定的方法？代数精度最大是多少？如何寻求数值稳定的方法？缺点：缺点：数值不一定稳定。数值不一定稳定。由于由于f(x)-Ln(x)不收敛到不收敛到0，因此，因此Rn f 不收敛到不收敛到0，即，即Q f 不不收敛，因此，对于节点较多的情况，需要使用分段线性或者收敛，因此，对于节点较多的情况，需要使用分段线性或者Hermite插值。插值。Runge现象现象其中其中34第34页，共71页

18、，编辑于2022年，星期一一、一、最高代数精度求积公式最高代数精度求积公式 问题：问题：结论：结论：本节关键本节关键2 Gauss型求积公式型求积公式设有设有n+1个节点，插值型求积公式的代数精度个节点，插值型求积公式的代数精度m的最大值？如何确定？的最大值？如何确定？由求积系数及由求积系数及n+1个节点个节点xi，i=0,1,n 的分布确定。的分布确定。35第35页，共71页，编辑于2022年，星期一四个未知量四个未知量A0，A1，x0，x1，已知插值型求积公式的代数，已知插值型求积公式的代数精度最高。可按插值型求积公式来求精度最高。可按插值型求积公式来求A0，A1。解：解：具有尽可能高的代

19、数精度。具有尽可能高的代数精度。例例 求节点求节点 ，使插值型求积公式，使插值型求积公式(14)分析：分析：x0，x1待定待定插值型求积的代数精度插值型求积的代数精度36第36页，共71页，编辑于2022年，星期一于是，求积公式为于是，求积公式为37第37页，共71页，编辑于2022年，星期一一般地，对于任意求积节点一般地，对于任意求积节点任意求积系数，求积公式任意求积系数，求积公式对于对于代数精度代数精度结论结论38第38页，共71页，编辑于2022年，星期一分析：分析：只需证明只需证明使得使得事实上，令事实上，令有有从而从而而而前例中前例中m=3=21+1=2n+1是能达到的最高代数精度。

20、是能达到的最高代数精度。次多项式次多项式f(x),39第39页，共71页，编辑于2022年，星期一Gauss型求积公式的构造型求积公式的构造利用正交多项式的根构造代利用正交多项式的根构造代数精度最高的求积公式数精度最高的求积公式分析：分析：引理引理1：(15)40第40页，共71页，编辑于2022年，星期一令令f(x)是任意次数是任意次数 的代数多项式，则的代数多项式，则其中，其中，q(x)为商式，为商式，r(x)为余式，均为任意次数为余式，均为任意次数 的多项式的多项式证明：证明：插值型求积公式代插值型求积公式代数精度大于数精度大于n正交多项式基本性质正交多项式基本性质n+1(x)是是n+1

21、次正交多项式，则次正交多项式，则41第41页，共71页，编辑于2022年，星期一定义：定义：正交多项式的根一定是正交多项式的根一定是Gauss点，那么点，那么Gauss点是否一定是正交多项点是否一定是正交多项式的根？式的根？n+1个节点个节点(a x0 xn b)的求积公式的求积公式(15)若其代数精若其代数精度度m=2n+1，即达到最高，称之为，即达到最高，称之为Gauss型求积公式型求积公式,并称其并称其节点为节点为Gauss点点。而而42第42页，共71页，编辑于2022年，星期一是是a,b上关于权上关于权(x)的的n+1次正交多项式的根。次正交多项式的根。二、二、Gauss点与正交多项

22、式的关系点与正交多项式的关系定理定理4：分析：分析：Gauss点点ax0 xn 0,(k=0,1,n)事实上，事实上，m=2n+1为为L-插值基函数插值基函数,为为2n次多项式次多项式其次其次，取，取f(x)=1故数值稳定。故数值稳定。47第47页，共71页，编辑于2022年，星期一证明：证明：上的连续函数上的连续函数可以用代数多项式可以用代数多项式一致逼近一致逼近,对任意给定的对任意给定的存在某个多项式存在某个多项式2.收敛性收敛性引理引理2：上的任何连续函数上的任何连续函数对于有限闭区间对于有限闭区间(17)48第48页，共71页，编辑于2022年，星期一从而从而49第49页，共71页，编

23、辑于2022年，星期一3.结论：结论：Gauss型求积公式是型求积公式是数值稳定数值稳定的；且对有限闭区间上的连续的；且对有限闭区间上的连续函数，函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而型求积公式的值随节点数目的增加而收敛收敛到准到准确积分值。确积分值。1.收敛、稳定；收敛、稳定；2.计算量小，代数精度高。计算量小，代数精度高。1.Gauss点难求（即多项式的根难求）；点难求（即多项式的根难求）；2.Gauss点是无理数，点是无理数，Gauss求积系数也是无理数。求积系数也是无理数。定理定理6优点：优点：缺点：缺点：50第50页，共71页，编辑于2022年，星期一五、常用的五、常用的G

24、auss型求积公式型求积公式 Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有以下几种常用求积公式。来，有以下几种常用求积公式。1.Gauss-Legendre（勒让德）求积公式（勒让德）求积公式(Gauss点和积分系数点和积分系数可查表得到可查表得到)若区间若区间a,b-1,1,可用变量替换把区间可用变量替换把区间51第51页，共71页，编辑于2022年，星期一2.Gauss-chebyshev（切比雪夫）求积公式（切比雪夫）求积公式3.Gauss-Laguerre（拉盖尔）求积公式（拉盖尔）求积公式4.Gauss-Hermite 求积公式

25、求积公式1.插值型求积公式代数精度大于插值型求积公式代数精度大于n，最大可达到，最大可达到2n+1,即是即是Gauss型求积公式，型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根。节点是正交多项式的根。2.虽然对任意的虽然对任意的a,b以及以及a,b上的权函数上的权函数(x)都能构造正交都能构造正交多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项式那样，归结成一个明确的表达式，也无明确的规律，因项式那样，归结成一个明确的表达式，也无明确的规律，因此，借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题。此，借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题。说明：

26、说明：52第52页，共71页，编辑于2022年，星期一一、复化数值求积法一、复化数值求积法问题：问题：如何提高求积公式的精度？如何提高求积公式的精度？(2)复化求积公式复化求积公式(f(x)的赋值不太复杂时的赋值不太复杂时)3 复化数值求积公式复化数值求积公式(1)增加求积节点增加求积节点Gauss型求积公式型求积公式。缺点：缺点：节点是无理数，计算不方便。节点是无理数，计算不方便。解决方法：解决方法：复化求积公式的原则（复化求积公式的原则（基本思想基本思想）：）：如：如：NC公式。缺点：公式。缺点：当当n增大时，数值不稳定；增大时，数值不稳定；把求积区间把求积区间进行等距细分：进行等距细分：

27、53第53页，共71页，编辑于2022年，星期一在每个小区间在每个小区间 上用相同的上用相同的“基本基本”求积公式计算求积公式计算 梯形公式；中矩形公式；梯形公式；中矩形公式；左（右）矩形公式；或左（右）矩形公式；或Simpson公式公式注：注：不能同时取两个或两个以上的公式。不能同时取两个或两个以上的公式。的近似值的近似值Si，从而从而54第54页，共71页，编辑于2022年，星期一二、复化梯形公式二、复化梯形公式在在xi-1,xi上采用梯形公式，记上采用梯形公式，记 所以所以1.公式公式(18)55第55页，共71页，编辑于2022年，星期一每个小区间上考虑余项，因为每个小区间上是每个小区

28、间上考虑余项，因为每个小区间上是NC公式中当公式中当n=1时的梯形公式。时的梯形公式。2.余项余项定理定理7:,则复化梯形公式的余项为则复化梯形公式的余项为及渐近估计式及渐近估计式(19)(20)(1)(19)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与h2收收敛于零的速度相同，即余项等敛于零的速度相同，即余项等 于于O(h2)。(2)余项可由端点的函数值余项可由端点的函数值(导数值导数值)确定。确定。说明：说明：56第56页，共71页，编辑于2022年，星期一（推导类似复化梯形公式）（推导类似复化梯形公式）3.复化中矩求积公式复化中矩求积公式 在在 上采用

29、中矩形公式，上采用中矩形公式，所以所以57第57页，共71页，编辑于2022年，星期一4.复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系58第58页，共71页，编辑于2022年，星期一三、复化三、复化Simpson公式（推导类似前面公式）公式（推导类似前面公式）在每个小区间在每个小区间 上采用上采用Simpson公式，则公式，则1.公式公式 59第59页，共71页，编辑于2022年，星期一2.余项余项定理定理8:,复化复化Simpson公式的余项有表达式公式的余项有表达式 渐近估计式渐近估计式优点：优点：复化复化Simpson公式公式精确度较好精确度较好。60第60页

30、，共71页，编辑于2022年，星期一对对a,b上的任何连续函数上的任何连续函数 f(x),都有都有因因此此复复化化求求积积公公式式不不能能仅仅用用代代数数精精度度来来决决定定其其优优劣劣。而是用而是用收敛阶收敛阶来刻划其收敛性。来刻划其收敛性。将区间将区间a,b等分，等分，用某一基本求积公式，用某一基本求积公式In 生成生成的复化求积公式，若对充分光滑的被积函数的复化求积公式，若对充分光滑的被积函数f(x),有有但对代数多项式但对代数多项式定义：定义：四、复化求积公式的收敛阶四、复化求积公式的收敛阶(刻划求积公式收敛性刻划求积公式收敛性)(21)(22)其中其中Cp独立于独立于n，依赖于，依赖

31、于f(x),称该复化求积公式的称该复化求积公式的收敛阶为收敛阶为p。61第61页，共71页，编辑于2022年，星期一复化复化Simpson公式的收敛阶是公式的收敛阶是4，且当，且当 时，时，收敛阶大于收敛阶大于4。收敛阶越高收敛阶越高,当区间划分加密时当区间划分加密时,积分近似值就越精确。积分近似值就越精确。复化梯形公式的收敛阶是复化梯形公式的收敛阶是2。且当且当 时收敛阶大于时收敛阶大于2。结论：结论：注：注：62第62页，共71页，编辑于2022年，星期一分别用复化梯形公式、复化分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分公式计算积分解：解：例例例例 已知函数已知函数 的数据表的数据

32、表x xk k(x(xk k)x xk k(x(xk k)x xk k(x(xk k)0 01 13/83/80.97672670.97672673/43/40.90885170.90885171/81/80.99739780.99739781/21/20.95885110.95885117/87/80.87719260.87719261/41/40.98961580.98961585/85/80.93615560.93615561 10.84147100.8414710的近似值。的近似值。(1)复化梯形复化梯形准确值准确值0.946083163第63页，共71页，编辑于2022年，星期一(2

33、)复化复化Simpson64第64页，共71页，编辑于2022年，星期一4 积分方程的数值求解积分方程的数值求解一、基础知识一、基础知识1.积分方程：积分方程：方程中含有积分，而积分中又含有未知函数的方程。方程中含有积分，而积分中又含有未知函数的方程。积分方程的分类很复杂积分方程的分类很复杂理论和算法存在很大差异理论和算法存在很大差异2.第二类第二类Fredholm积分方程积分方程一般形式：一般形式：(23)其中其中K(t,s)称为该积分方程的称为该积分方程的核函数核函数，为一参数。为一参数。为简单计，一般假设函数为简单计，一般假设函数K(t,s)和和 f(t)充分光滑，即充分光滑，即 其中，

34、其中，是正数。是正数。65第65页，共71页，编辑于2022年，星期一二、积分方程的数值求解二、积分方程的数值求解存在唯一性存在唯一性对于核函数对于核函数K(t,s)，如果满足：，如果满足：即可保证第二类即可保证第二类Fredholm方程的解是存在唯一的。方程的解是存在唯一的。66第66页，共71页，编辑于2022年，星期一1.数值求积方法的基本思想数值求积方法的基本思想用数值积分替代用数值积分替代(23)式中的积分项。式中的积分项。如果取某一数值积分公式，如果取某一数值积分公式，(24)其中其中是求积节点，是求积节点，Ak是求积系数。是求积系数。将将(23)式的积分项用数值积分式的积分项用数

35、值积分(24)式代替，则有式代替，则有(25)67第67页，共71页，编辑于2022年，星期一2.数值求积方法的推导数值求积方法的推导如果将使得如果将使得(25)式严格成立的函数记为式严格成立的函数记为 ，则有，则有(26)如果数值积分公式足够精确，则如果数值积分公式足够精确，则 可被视为可被视为(23)式的近似解。式的近似解。令令(26)式中的式中的x分别取分别取(24)式中的求积节点，式中的求积节点，即得方程即得方程其中其中为已知的。为已知的。(27)68第68页，共71页，编辑于2022年，星期一(27)式方程中待求的未知量为式方程中待求的未知量为即即(27)式是线性方程组，将其写成矩阵

36、形式，则有式是线性方程组，将其写成矩阵形式，则有(28)其中其中只要满足只要满足不是矩阵不是矩阵B的特征值，则线性方程组的特征值，则线性方程组(28)有唯一解。有唯一解。69第69页，共71页，编辑于2022年，星期一说明：说明：(1)积分方程积分方程(23)式的求解，被转化为线性方程组式的求解，被转化为线性方程组(28)式求解的式求解的问题。问题。(2)线性方程组线性方程组(28)式的未知数个数与用来离散积分的数式的未知数个数与用来离散积分的数值积分方法的节点个数相同。值积分方法的节点个数相同。(3)不宜单纯靠增加数值积分节点的个数来提高近似的精度，积分不宜单纯靠增加数值积分节点的个数来提高

37、近似的精度，积分方法的选择比较重要。方法的选择比较重要。注：注：积分方程的数值方法研究中，存在积分方程的数值方法研究中，存在两个关键的问题：两个关键的问题：(1)数值积分方法的选择和构造；数值积分方法的选择和构造；(2)线性方程组的有效求解方法。线性方程组的有效求解方法。将线性方程组将线性方程组(28)的解代入的解代入(26)式，即得积分方程式，即得积分方程(23)式的近似解式的近似解70第70页，共71页，编辑于2022年，星期一1思考题思考题1中的中的(b)、(c)、(d)，思考题，思考题2作作 业业2习题习题3中的（中的（b）和（）和（d），习题），习题671第71页，共71页，编辑于2022年，星期一