第5讲第二章 向量组的线性相关性PPT讲稿.ppt

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1、第5讲第二章 向量组的线性相关性第1页，共25页，编辑于2022年，星期一第一节 n维向量一、n维向量的定义第2页，共25页，编辑于2022年，星期一二、向量的线性运算二、向量的线性运算向量与向量之间的加法运算：向量与向量之间的加法运算：向量与数的乘法运算：向量与数的乘法运算：彼此之间的彼此之间的8 8条运算性质：条运算性质：第3页，共25页，编辑于2022年，星期一 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如三、向量、向量组与矩阵三、向量、向量组与矩阵第4页，共25页，编辑于2022年，星期一向量组向量

2、组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组第5页，共25页，编辑于2022年，星期一 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵一个矩阵.第6页，共25页，编辑于2022年，星期一第二节第二节 线性相关与线性无关线性相关与线性无关一、向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关 注注1 1：所有的向量组分成两大类，一类是组内的向量具有线性相关：所有的向量组分成两大类，一类是组内的向量具有线性相关性，一类是组内的向量具有线性无关性；所谓讨论向量组的线性相关性，一类是组内的

3、向量具有线性无关性；所谓讨论向量组的线性相关性指的是要你判断它属于哪一类性指的是要你判断它属于哪一类注注2 2：所有含零向量的向量组一定是线性相关的所有含零向量的向量组一定是线性相关的第7页，共25页，编辑于2022年，星期一例例第8页，共25页，编辑于2022年，星期一线性无关的等价定义反之亦然:第9页，共25页，编辑于2022年，星期一例例第10页，共25页，编辑于2022年，星期一二、向量的线性表示二、向量的线性表示 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示第11页，共25页，编辑于2022年，星期一例例第12页，共25页，编辑于2022年，星期一线性方程组的向量表示线性方程组的

4、向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应第13页，共25页，编辑于2022年，星期一三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联系系1 1、线性齐次方程组、线性齐次方程组矩阵形式：矩阵形式：线性组合形式线性组合形式结论结论1 1：线性齐次方程组有非零解当且仅当：线性齐次方程组有非零解当且仅当：线性相关线性相关结论结论2 2：线性齐次方程组有只有零解当且仅当：线性齐次方程组有只有零解当且仅当：线性无关线性无关第14页，共25页，编辑于2022年，星期一三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联三、向量组的线性相关

5、性与线性方程组的解的联系系2 2、线性非齐次方程组、线性非齐次方程组矩阵形式：矩阵形式：线性组合形式线性组合形式结论结论3 3：线性齐次方程组有解当且仅当：向量：线性齐次方程组有解当且仅当：向量b b可以由向量可以由向量组组 线性表示线性表示第15页，共25页，编辑于2022年，星期一四、向量组中成员的增减对相关性的影响四、向量组中成员的增减对相关性的影响1 1、线性相关的向量组：增加向量后的向量组仍然线性相关。、线性相关的向量组：增加向量后的向量组仍然线性相关。2 2、线性无关的向量组：去掉向量后的向量组仍然线性无关。、线性无关的向量组：去掉向量后的向量组仍然线性无关。3 3、（定理、（定理

6、3 3）线性无关的向量组增加向量）线性无关的向量组增加向量b b后的向量组线性相关：后的向量组线性相关：则向量则向量b b可以向量组的成员线性表示，且表示法唯一。可以向量组的成员线性表示，且表示法唯一。第16页，共25页，编辑于2022年，星期一四、向量组中成员增减分量对相关性的影响四、向量组中成员增减分量对相关性的影响1 1、线性相关的向量组：减少分量后的向量组仍然线性相关。、线性相关的向量组：减少分量后的向量组仍然线性相关。2 2、线性无关的向量组：增加分量后的向量组仍然线性无关。、线性无关的向量组：增加分量后的向量组仍然线性无关。3 3、向量组向量同时交换两分量，向量组线性相关性不变。、

7、向量组向量同时交换两分量，向量组线性相关性不变。第17页，共25页，编辑于2022年，星期一一个向量组成的向量组的线性相关性：一个向量组成的向量组的线性相关性：向量组向量组 线性相关线性相关或者或者向量组向量组 线性无相关线性无相关证明：证明：第18页，共25页，编辑于2022年，星期一两个向量组成的向量组的线性相关性：两个向量组成的向量组的线性相关性：向量组向量组 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 对应分量成比例对应分量成比例或者或者向量组向量组 线性无相关的充分必要条件是线性无相关的充分必要条件是 对应分量不成比例对应分量不成比例例例证明：证明：第19页，共25页，编辑于2

8、022年，星期一六、线性相关与线性表示的关系 定理定理2 2 向量组线性相关的充分必要条件是向量向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量是其它向量的线性表示。组中至少有一个向量是其它向量的线性表示。定理定理2 2 向量组线性无相关的充分必要条件是向量组向量组线性无相关的充分必要条件是向量组中任一个向量都不能被其它向量的线性表示。中任一个向量都不能被其它向量的线性表示。例例第20页，共25页，编辑于2022年，星期一七、向量组线性相关性判别七、向量组线性相关性判别第一步：将第一步：将m m维向量组的维向量组的n n个向量写成列向量得到矩阵个向量写成列向量得到矩阵A A；第二步：将第二

9、步：将 矩阵矩阵A A作初等行变换化成行阶梯矩阵，作初等行变换化成行阶梯矩阵，得非零行的行数得非零行的行数r r；第三步：如果第三步：如果rnrn，则向量组线性相关；如果，则向量组线性相关；如果r=nr=n，则向量，则向量 组线性无关。组线性无关。例例思考：如果向量组的成员数大于它的维数，向量组线性相关性是思考：如果向量组的成员数大于它的维数，向量组线性相关性是怎样的？怎样的？第21页，共25页，编辑于2022年，星期一八、小结两个概念：两个概念：四个定理：四个定理：1、向量组增减向量对线性相关性影响定理、向量组增减向量对线性相关性影响定理2、向量组增减向量分量对线性相关性影响定理、向量组增减

10、向量分量对线性相关性影响定理3、线性相关向量组中必有向量可以被其它向量表示定理、线性相关向量组中必有向量可以被其它向量表示定理4、线性无关相关向量组加一个向量变成线性相、线性无关相关向量组加一个向量变成线性相关的，则新加向量可以被其它向量表示定理关的，则新加向量可以被其它向量表示定理向量组的线性相关线性无关；向量组的线性相关线性无关；向量的线性表示向量的线性表示第22页，共25页，编辑于2022年，星期一下列条件不是向量组线性无关的必要条件的是(）。都不是零向量；中任意两个都不成比例；中至少有一个向量可由其它向量线性表示；中任一部分线性无关。A.B.C.D.第23页，共25页，编辑于2022年，星期一有向量组,（）时,是的线性组合。A.B.C.D.第24页，共25页，编辑于2022年，星期一设,问是否线性相关？第25页，共25页，编辑于2022年，星期一