第3章 力系的简化和平衡PPT讲稿.ppt

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1、第3章 力系的简化和平衡第1页，共69页，编辑于2022年，星期二ABA3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化一、力的平移定理一、力的平移定理 可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移到任一点平行移到任一点B，但必须，但必须同时附加一个力偶，这个同时附加一个力偶，这个附加力偶附加力偶的矩等于原来的力的矩等于原来的力F对新作对新作用点用点B的矩。的矩。BAB第2页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化第3页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化 几个性质：几个性质：1 1、当力线平移时，力

2、的大小、方向都不改变，但附加力偶矩矢、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶矩矢一般要随指定一般要随指定O O点的位置的不同而不同。点的位置的不同而不同。2 2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。3 3、力线平移定理是把刚体上任意力系分解为一个共点力系和一、力线平移定理是把刚体上任意力系分解为一个共点力系和一个力偶系的依据。个力偶系的依据。第4页，共69页，编辑于2022年，星期二Oxyz3.1 3.1 力系向一点

3、简化力系向一点简化二、力系向一点简化二、力系向一点简化OxyzOxyzO 简化中心简化中心 主矩主矩过简化中心过简化中心与简化中心选取无关与简化中心选取无关与简化中心选取有关与简化中心选取有关主矢主矢等效等效（原力系矢量和）（原力系矢量和）（原力系对简化中心力矩的矢量和）（原力系对简化中心力矩的矢量和）第5页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化=由力由力对对点的矩和力点的矩和力对轴对轴的矩的关系，有的矩的关系，有 主矢主矢主矩主矩第6页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化有效推进力有效推进力有效升力有效升力

4、侧向力侧向力滚转力矩滚转力矩偏航力矩偏航力矩俯仰力矩俯仰力矩平面力系的情况平面力系的情况第7页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化三、力系简化的结果分析三、力系简化的结果分析(1)(1)主矢主矢 ，主矩，主矩原力系简化为一原力系简化为一力偶力偶,与简化中心无关。与简化中心无关。(2)(2)主矢主矢 ，主矩，主矩原力系简化为一个原力系简化为一个合力合力，过简化中心。，过简化中心。(3)(3)主矢主矢 ，主矩，主矩分两种情况讨论分两种情况讨论(4)(4)主矢主矢 ，主矩，主矩平衡平衡第8页，共69页，编辑于2022年，星期二O3.1 3.1 力系向一点简

5、化力系向一点简化O力螺旋力螺旋最简单力系，不能进一步合成最简单力系，不能进一步合成拧螺丝拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺线炮弹出膛时炮弹螺线FR FRFRFR（合力矩定理）（合力矩定理）第9页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化四、力系简化理论的应用四、力系简化理论的应用FAxFAzFAyMAxMAyMAzFAxFAyMA平面力系的情况平面力系的情况1、固定端（插入端）约束、固定端（插入端）约束第10页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化2、平行力的合成、平行力的合成F1F2OFRF1F2ABO点内分点内分ABOF

6、1F2ABO点外分点外分AB第11页，共69页，编辑于2022年，星期二3、分布力系的合成、分布力系的合成3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化例例3-1 设设水深水深为为h，水的容重（，水的容重（单单位容位容积积的重量）的重量）为为，求，求图图示示单单位位长长度的度的坝坝面所承受面所承受的静水的静水压压力的合力。力的合力。在水面下在水面下y处处的的线线荷荷载载集度集度为为由合力矩定理，有由合力矩定理，有解：作用于坝面的水压力简化为沿解：作用于坝面的水压力简化为沿OA分布的水平线荷载分布的水平线荷载 合力合力第12页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点简化力系向

7、一点简化F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060例题例题 3-2 在长方形平板的在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力：点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）（如图），试求以上四个力构成的力系对点，试求以上四个力构成的力系对点O 的的简化结果，以及该力系的最后的合简化结果，以及该力系的最后的合成结果。成结果。解：解：取坐标系取坐标系Oxy。1、求向、求向O点简化结果：点简化结果：求主矢求主矢R：第13页，共69页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 力系向一点

8、简化力系向一点简化 求主矩求主矩：2、求合成结果：合成为一个合力、求合成结果：合成为一个合力R，R的大小、方向与的大小、方向与R相同。其作用线与相同。其作用线与O点的垂直距离为：点的垂直距离为：O OA AB BC C x xy yR R/M Mo oR Rd d第14页，共69页，编辑于2022年，星期二Oxyz3.1 3.1 力系向一点简化力系向一点简化二、力系向一点简化二、力系向一点简化OxyzOxyzO 简化中心简化中心 主矩主矩过简化中心过简化中心与简化中心选取无关与简化中心选取无关与简化中心选取有关与简化中心选取有关主矢主矢等效等效（原力系矢量和）（原力系矢量和）（原力系对简化中心

9、力矩的矢量和）（原力系对简化中心力矩的矢量和）第15页，共69页，编辑于2022年，星期二3.2 3.2 力系的平衡条件和平衡方程力系的平衡条件和平衡方程一、平衡条件一、平衡条件 力系平衡的充要条件为力系平衡的充要条件为：力系的主矢和对任一点的主矩系的主矢和对任一点的主矩都等于零。都等于零。FR=0，MO=0二、平衡方程的一般形式二、平衡方程的一般形式 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程投影方程投影方程力矩方程力矩方程 第16页，共69页，编辑于2022年，星期二3.2 3.2 力系的平衡条件和平衡方程力系的平衡条件和平衡方程三、平面任意力系的平衡方程三、平面任意力系的平衡方程oxy

10、z第17页，共69页，编辑于2022年，星期二3.2 3.2 力系的平衡条件和平衡方程力系的平衡条件和平衡方程平面汇交力系平面汇交力系 平面平行力系平面平行力系 345xyO第18页，共69页，编辑于2022年，星期二3.2 3.2 力系的平衡条件和平衡方程力系的平衡条件和平衡方程四、平面任意力系平衡方程的其他形式四、平面任意力系平衡方程的其他形式(1)二力矩式二力矩式其中矩心其中矩心A、B两点的两点的连线连线不能与不能与x轴轴垂直垂直其中其中A、B、C三点不能共三点不能共线线。(2)(2)三力矩式三力矩式第19页，共69页，编辑于2022年，星期二平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程

11、AB连线与力不平行连线与力不平行3.2 3.2 力系的平衡条件和平衡方程力系的平衡条件和平衡方程只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。第20页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用一、单刚体的平衡一、单刚体的平衡解：解：(1)(1)取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。例题例题 3-3 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P P=212N=212N，方向与水平面成，方向与水平面成=45=45 角

12、。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水平，水平，AD AD 铅直，铅直，试求拉杆所受的力。已知试求拉杆所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅直线在铅直线DADA上上，又，又B B、C C、D D 都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重不计。自重不计。O O P PA AF FB BB BF FD DD D(b)(b)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)第21页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用(2)(2)列出平衡方程：列出平衡方程：联立求解，

13、得联立求解，得O O4545P PF FB BF FD DD D xy又又第22页，共69页，编辑于2022年，星期二O O P PA AS SB BB BF FD DD D(b)(b)J JF FD DK KS SB BP PI I (c)(c)几何法：几何法：(1)(1)取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。(2)(2)画出受力图。画出受力图。P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3)(3)应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、S SB B 和和F FD D 的闭和力三角形。的闭和力三角形。第23页，共69页，编辑于2022年，星期

14、二（5 5）代入数据求得：代入数据求得：S SB B=750 N=750 N。（4 4）由几何关系得：）由几何关系得：由力三角形可得：由力三角形可得：O O P PA AS SB BB BF FD DD D(b)(b)J JF FD DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)第24页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用解解:各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。例题例题 3-4 在一钻床上水平放

15、置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直在工件上同时钻四个等直径的孔径的孔,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力?第25页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用例例3-5已知：已知：AC=CB=l,P=10kN;10kN;求：求：铰链铰链A和和DC杆受力杆受力.解：解：取取AB梁，画受力图梁，画受力图.列平衡方程列平衡方程第26页，共69页，编辑于2022年，星期二沿直线并垂直于该直线任意分布的分布荷载合力 在微元dx上的合力1.在线段AB上的荷

16、载合力大小=线段AB上的荷载图面积dFq=q(x)dx2.荷载合力作用线位置坐标xc 根据合力矩定理，有：得：=线段AB上的荷载图面积形心的x坐标第27页，共69页，编辑于2022年，星期二例例3-6已知：已知：求：求：支座支座A、B处的约束力处的约束力.解：取解：取AB梁，画受力图梁，画受力图.解得第28页，共69页，编辑于2022年，星期二例例3-7已知：已知：求：求：固定端固定端A A处约束力处约束力.解：取取T型刚架，画受力图型刚架，画受力图.列平衡方程列平衡方程第29页，共69页，编辑于2022年，星期二解解：取起重机，画受力图取起重机，画受力图.满载时，满载时，为不安全状况为不安全

17、状况解得解得 P P3min3min=75kN=75kN已知：已知：尺寸如图；尺寸如图；求：求：起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；例例3-83-8空载时，空载时，为不安全状况为不安全状况4 4P P3max3max-2-2P P2 2=0=0解得解得 F F3max3max=350kN=350kN第30页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用二、简单多刚体的平衡二、简单多刚体的平衡物体系统物体系统（物系物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统由若干个物体通过约束所组成的系统外力外力：外界物

18、体作用于系统上的力叫外力。外界物体作用于系统上的力叫外力。内约束力：系统内部各物体之间的相互作用力内约束力：系统内部各物体之间的相互作用力。第31页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用物系平衡的特点（以平面力系为例）物系平衡的特点（以平面力系为例）物系静止，物系中每个单体也是平衡的。物系静止，物系中每个单体也是平衡的。物系中有物系中有n个物体，每个单体可列个物体，每个单体可列3个平衡方程，整个系统可个平衡方程，整个系统可列列3n个方程个方程解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法：由整体由整体 局部局部，由局部由局部 整体整

19、体第32页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用解：解：1、取、取AC 段研究，受力分析如图。段研究，受力分析如图。例题例题 3-9 三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C 连接起来，又用铰连接起来，又用铰链链A、B 与基础相联结。已知每段重与基础相联结。已知每段重G=40 kN，重心分别在，重心分别在D、E 处，且处，且桥面受一集中载荷桥面受一集中载荷P=10 kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是链中的力。尺寸如图所示，单

20、位是m。P P3 3DEABCN NCyCyN NCxCxN NAyAyN NAxAxDAC第33页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用列平衡方程：列平衡方程：2、再取、再取BC 段研究，受力分析如图。段研究，受力分析如图。列平衡方程：列平衡方程：P PBCEN NCyCyN NCxCxN NAyAyN NAxAxDAC联立求解：可得联立求解：可得 NAx=-NBx=NCx=9.2 kN NAy=42.5 kN NBy=47.5 kN NCy=2.5 kN第34页，共69页，编辑于2022年，星期二例例3-93-9已知：已知：

21、OA=R，AB=l,不计物体自重与摩擦不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡;求求:力偶矩力偶矩M 的大小，轴承的大小，轴承O处的约处的约束力，连杆束力，连杆AB受力，冲头给导受力，冲头给导轨的侧压力轨的侧压力.解解:取冲头取冲头B,画受力图画受力图.第35页，共69页，编辑于2022年，星期二取轮取轮,画受力图画受力图.第36页，共69页，编辑于2022年，星期二例例3-103-10 已知已知:F F=20kN,=20kN,q q=10kN/m,=10kN/m,L=1m;求求:A,B处的约束力处的约束力.解解:取取CD梁梁,画受力图画受力图.解得解得 F FB B=45.7

22、7kN=45.77kN取整体取整体,画受力图画受力图.第37页，共69页，编辑于2022年，星期二解解:取整体取整体,画受力图画受力图.解得解得解得解得P2=10kN10kN,已知已知:P=60kN,=60kN,P1=20kN20kN,风载风载F=10=10kN,尺寸如图尺寸如图;求求:A,B处的约束力处的约束力.例例3-11 第38页，共69页，编辑于2022年，星期二取吊车梁取吊车梁,画受力图画受力图.解得解得取右边刚架取右边刚架,画受力图画受力图.解得解得解得解得对整体图对整体图第39页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应

23、用求解物系平衡问题注意：求解物系平衡问题注意：一、适当选取研究对象及顺序，一、适当选取研究对象及顺序，二、受力分析要准确，二、受力分析要准确，三、平衡方程形式的运用，三、平衡方程形式的运用，四、坐标轴、矩心的选取。四、坐标轴、矩心的选取。第40页，共69页，编辑于2022年，星期二三、静定与静不定问题的概念三、静定与静不定问题的概念当：独立方程数目独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）静定（未知数2个）静不定（未知数3个）3.3 3.3 平面任意力

24、系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用第41页，共69页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 平面任意力系平衡方程的应用平面任意力系平衡方程的应用第42页，共69页，编辑于2022年，星期二3.4 3.4 空间一般力系平衡方程的应用空间一般力系平衡方程的应用例例 3-12 3-12 胶带拉力胶带拉力F2 2=F1 1，曲柄上作用有铅垂力，曲柄上作用有铅垂力F=2000NF=2000N。已知胶带轮。已知胶带轮直径直径D=400mm，曲柄长，曲柄长R=300mm，胶带与铅垂线的夹角分别为，胶带与铅垂线的夹角分别为=30，=60，其他尺寸如图。求胶带拉力和轴承的约束反力。，其他尺寸如图。求胶

25、带拉力和轴承的约束反力。第43页，共69页，编辑于2022年，星期二解得解得解：以解：以轴为轴为研究研究对对象，受力分析如象，受力分析如图图第44页，共69页，编辑于2022年，星期二3.5 3.5 杆系结构的内力分析杆系结构的内力分析 一、平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析 桁架桁架(plane truss)：若干杆件在两端以一定方式连接的杆系结构，若干杆件在两端以一定方式连接的杆系结构，受力后形状不变。受力后形状不变。桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。第45页，共69页，编辑于2022年，星期二3.5 3.5 杆系结构的内力分析杆系结构的内力分析

26、 1 1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；2 2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3 3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；4 4、各杆件自重不计或均分布在节点上。、各杆件自重不计或均分布在节点上。几点假设：几点假设：在上述假设下在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆桁架中每根杆件均为二力杆第46页，共69页，编辑于2022年，星期二3.5 3.5 杆系结构的内力分析杆系结构的内力分析 工程力学中常见的桁架简化计算模型工程力学中常见的桁架简化计算模型第47页，共69页，编

27、辑于2022年，星期二例例3-133-13已知已知:P=10=10kN,尺寸如图；尺寸如图；求求:桁架各杆件受力桁架各杆件受力.解解:取整体，画受力图取整体，画受力图.取节点取节点A，画受力图，画受力图.(压压)(拉拉)第48页，共69页，编辑于2022年，星期二取节点取节点C,画受力图画受力图.(压压)(拉拉)取节点取节点D,画受力图画受力图.(拉拉)第49页，共69页，编辑于2022年，星期二例例3-143-14 已知已知:各杆长度均为各杆长度均为1 1m;求求:1,2,31,2,3杆受力杆受力.解解:取整体取整体,求支座约束力求支座约束力.用截面法用截面法,取桁架左边部分取桁架左边部分.

28、(压压)(拉拉)(拉拉)第50页，共69页，编辑于2022年，星期二说明说明 ：1、先把杆都设为拉力、先把杆都设为拉力,计算结果为负时计算结果为负时,说明是压力说明是压力,与所设方向相反。与所设方向相反。2、节点法：用于设计，计算全部杆内力、节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力 3、节点法：汇交力系，所选节点连接的内力未知杆件、节点法：汇交力系，所选节点连接的内力未知杆件 不超过不超过2个个 截面法：平面任意力系，所选截面包含的内力未知截面法：平面任意力系，所选截面包含的内力未知 杆件不超过杆件不超过3个个4、可结合使用、可结合使用

29、3.5 3.5 杆系结构的内力分析杆系结构的内力分析 第51页，共69页，编辑于2022年，星期二3.5 3.5 杆系结构的内力分析杆系结构的内力分析 二、一般杆件的内力分析一般杆件的内力分析 刚体静力学理论可求解：刚体静力学理论可求解：静定结构的约束反力静定结构的约束反力 (包括内约束力包括内约束力)在载荷的作用下发生变形而产生的内力在载荷的作用下发生变形而产生的内力 ABCF1F2一般情况下内力为一般情况下内力为分布力系分布力系，可根据力系简化理论和平衡方，可根据力系简化理论和平衡方程确定截面上的内力主矢和主矩。程确定截面上的内力主矢和主矩。第52页，共69页，编辑于2022年，星期二例例

30、 3-153-15 已知梁受有同平面内集中力已知梁受有同平面内集中力F和力偶和力偶M的作用，的作用，F=6kN，M=9kNm。试确定靠近集中力左端。试确定靠近集中力左端C点处的内力。点处的内力。ABCF3m6mMABMFFAFBMCFAAFCyFCx解：解：1）先求支座反力，由平衡方程）先求支座反力，由平衡方程2)过过C点作一截面将梁分点作一截面将梁分为为两部两部分，保留左半部。分，保留左半部。FA=5kN平面分布力系，可用一对正交分力及一力偶表示平面分布力系，可用一对正交分力及一力偶表示第53页，共69页，编辑于2022年，星期二例例 3-16 手柄手柄ABCD在平面在平面Axy内，内，C、

31、B处为为焊接，处为为焊接，A处为固定端约处为固定端约束。在束。在D处沿平行于处沿平行于z轴方向作用一个力轴方向作用一个力F，CD=a，杆，杆BC平行于平行于x轴，轴，杆杆CD平行于平行于y轴，轴，AB和和BC的长度都等于的长度都等于l，试求，试求AB段段B端内力。端内力。FBxMBxFByFBzMByMBz解：解：1）在）在AB段靠近段靠近B处作截面，保留处作截面，保留BCD段。段。2）在坐）在坐标标系系Axyz中列平衡方程中列平衡方程 第54页，共69页，编辑于2022年，星期二 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力空间平行力系的中心系的中心。而物体重心问题可以看成是

32、空间平行力系中心的一个特例。一、空间平行力系的中心、物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理：补充内容:物体的重心 55第55页，共69页，编辑于2022年，星期二平行力系中心位置与各平行力系的方向无关补充内容:物体的重心 56第56页，共69页，编辑于2022年，星期二概念概念1、重心重心：物体的重力是空间平行力系，物体的重量是这个平行力：物体的重力是空间平行力系，物体的重量是这个平行力系的合力，合力的作用点就是物体的重心。系的合力，合力的作用点就是物体的重心。2、形心形心：物体的几何中心。：物体的几何中心。重心与物体的质量及质量在物体中

33、的分布有关；形心仅是一个几何量。重心与物体的质量及质量在物体中的分布有关；形心仅是一个几何量。对于对于均质物体均质物体，重心就是形心，与物体的质量无关。，重心就是形心，与物体的质量无关。二、重心二、重心(center of gravity)坐标公式坐标公式：第57页，共69页，编辑于2022年，星期二如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。对y轴应用合力矩定理，可得：同理，对x轴应用合力矩定理，可得：补充内容:物体的重心 58第58页，共69页，编辑于2022年，星期二 根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x

34、 轴取矩得：综合上述得重心坐标公式重心坐标公式为：补充内容:物体的重心 59第59页，共69页，编辑于2022年，星期二设 i表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：式中 ，上式为重心重心C 坐标的精确公式坐标的精确公式。对于均质物体，=恒量，上式成为：补充内容:物体的重心 60第60页，共69页，编辑于2022年，星期二 同理：可写出均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：补充内容:物体的重心 61第61页，共69页，编辑于2022年，星期二（1）积分法；分法；（2）组合法；合法；（3）悬挂法；挂法；（4）称重法。）称重法。确定重心和形心位置的具体

35、方法确定重心和形心位置的具体方法补充内容:物体的重心 第62页，共69页，编辑于2022年，星期二解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段下面用积分法求物体的重心求物体的重心：例例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。O补充内容:物体的重心 第63页，共69页，编辑于2022年，星期二组合法解解：求：该组合体的重心？已知：补充内容:物体的重心 64第64页，共69页，编辑于2022年，星期二解：取oxy坐标系如图（b）所示，将角钢分割 成两个矩形，则其面积和形心为试求图（a）所示图形的形心位置。图（单位：mm）y15020 x20200o（a）15020 x20200o

36、y（b）12例第65页，共69页，编辑于2022年，星期二A1=（200-20）20=3600 mm x1=10 mmy1=110 mmA2=15020=3000 mmx2=75 mmy2=10 mm15020 x20200oy（b）12由组合法，得到xc=A +A 12A x +A x1122yc=A +A 12A y +A y1122=39.5 mm=64.5 mm第66页，共69页，编辑于2022年，星期二另一种解法：负面积法 将截面看成是从 200mm150mm的矩 形中挖去图中的小矩 形（虚线部分）而得 到（如图)，从而y15020 x20200o1A1=200150=30000 mm2x1=75 mm,y1=100 mmA2=-180130=-23400 mm2x2=85 mm,y =110 mm2第67页，共69页，编辑于2022年，星期二故xc=3000075-234008530000-23400=39.5 mmyc=30000100-2340011030000-23400=64.5 mm两种方法的结果相同。y15020 x20200o1第68页，共69页，编辑于2022年，星期二简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。实验法：悬挂法称重法补充内容:物体的重心 69第69页，共69页，编辑于2022年，星期二