行列式性质与计算.ppt

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1、行列式性质与计算现在学习的是第1页，共23页a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann =下页a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann a11a22a33 ann.a11000a12a2200a13a13a330 a1na2na3nann a11a22a33 ann.现在学习的是第2页，共23页 将行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为的转置行列式，记为DT (Transpose)或或D .即如果即如果2.12.1行列式的性行列式的性质a11a21an1 a12a22an2 a1na

2、2nann D，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT 则则.第第2 2节 行列式的性行列式的性质与与计算算显然，显然，(DT)T=D.下页行列式的行列式的转置置现在学习的是第3页，共23页性质性质3 用数用数k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以此行列式乘以此行列式.即即a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即D DT.推论推论1 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列

3、)的元素全为零，则的元素全为零，则D0.性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式的值变号，行列式的值变号.推论推论 如果行列式如果行列式D中有两行中有两行(列列)的元素相同，则的元素相同，则D=0.推论推论2 如果如果D中有两行中有两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则D=0.下页现在学习的是第4页，共23页 性质性质4 若行列式中的某一行若行列式中的某一行(列列)的元素都是两数之和，则此行列的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和式可以写成两个行列式之和.即即a11ai1bi1an1a12ai2bi2an2a1nainbinanna11ai1an1

4、a12ai2an2 a1nainann 性质性质5 将行列式的某一行将行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以数的所有元素同乘以数k后加到另一行后加到另一行(列列)对应位置的元素上，行列式的值不变对应位置的元素上，行列式的值不变.即即a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1kaj1an1a12ai2kaj2an2a1nainkajnann.a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .下页现在学习的是第5页，共23页行列式的行列式的计算算要点：要点：利用性质将其化为上（下）三角行列式，再进行计算利用性质将其化为上（下）三角行列式，再进行计算.下页为

5、表述方便，引入下列记号为表述方便，引入下列记号 (行用行用r，列用，列用c)：以数以数k0乘以行列式的第乘以行列式的第i行，用行，用kri表示；表示；以数以数k乘以行列式的第乘以行列式的第i行加到第行加到第j行，用行，用rj+kri表示表示.交换行列式的第交换行列式的第i行与第行与第j行，用行，用表示表示；（换法变换）（换法变换）（倍法变换）（倍法变换）（消法变换）（消法变换）思考：这三种变换的结果分别是什么？思考：这三种变换的结果分别是什么？现在学习的是第6页，共23页例例1.计算行列式计算行列式解：解：=-85.下页现在学习的是第7页，共23页例例2.计算行列式计算行列式解解：下页现在学习

6、的是第8页，共23页例例3.计算行列式计算行列式解：解：将各行都加到第一行，从第一行提取将各行都加到第一行，从第一行提取 x+(n-1)a 得得下页现在学习的是第9页，共23页一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 定定义义6 6 在在n阶阶行行列列式式D|aij|中中去去掉掉元元素素a i j 所所在在的的第第i行行和和第第j列列后后,余余下下的的n 1阶行列式，称为阶行列式，称为D中元素中元素aij 的的余子式余子式，记作，记作Mij.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 例如，求例如，求4阶行列式中阶行列式中a32的

7、代数余子式的代数余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 M32 A32 (1)3 2M32 M32令令Aij(1)i jMij，Aij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式.2.22.2行列式按行行列式按行(列列)展开展开下页现在学习的是第10页，共23页 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 定定义义6 6 在在n阶阶行行列列式式D|aij|中中去去掉掉元元素素a i j 所所在在的的第第i行行和和第第j列列后后,余余下下的的n 1阶行列式，称为阶行列式，称为D中元素中元素aij 的的余子式余子式，记作，记作Mij.令令Aij(1)i jMij，Ai

8、j称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求再如，求4阶行列式中阶行列式中a13的代数余子式的代数余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 M13 A13 (1)1 3M13 M13下页2.22.2行列式按行行列式按行(列列)展开展开现在学习的是第11页，共23页 定理定理4 4 n阶行列式阶行列式D|aij|等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与其对应的的各元素与其对应的代数余子式乘积的和代数余子式乘积的和.即即 定理定理5 5 n阶行列式

9、阶行列式D|aij|的某一行的某一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的对应元素的代数余子式乘积的和等于零的代数余子式乘积的和等于零.即即Dai1Ai1 ai2Ai2 ainAin(i1,2,n)，Da1jA1j a2jA2j anj Anj(j1,2,n).ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i j).二、展开定理二、展开定理下页现在学习的是第12页，共23页 例例4分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D 解：解：按第一行展开按第一行展开13311-2311

10、-213a11A11a12A12a13A13 D1(-1)110(-1)12(-1)13(-2)1(-8)0(-2)5-18.三、利用展开定理三、利用展开定理计算行列式算行列式下页现在学习的是第13页，共23页按第二列展开按第二列展开1-2311-2-2111-23 01(-3)3(-1)5-3-15-18.例例4分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D 解：解：按第一行展开按第一行展开a11A11a12A12a1nA1n D1(-8)0(-2)5-18.(-1)323(-1)221(-1)120a12A12a22A22a32A32 D下页现在学习的

11、是第14页，共23页解：解：将某行将某行(列列)化为一个非零元后展开化为一个非零元后展开例例5计算行列式计算行列式 1 2 3 4 1 2 0-5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D(-1)(-1)32 7 1 4 7 -2-5 1 1 2 6 0 2 9 0-1 1 1 21(-1)22 692-1-6-18-24.7 0 1 4 7 0 -2-5 3 -1 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0-5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D 下页现在学习的是第15页，共23页例例6 6.计算行列式计算行列式解：解：下页现在学习的是第16页，共23页,(D2=5)解：解：例例7.计算行列式计算行列式下页现在学习的是第17页，共23页证明：证明：从最后一行起每一行加上前一行的从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得倍，得例例8.证明范得蒙德（证明范得蒙德（Vandermonde）行列式）行列式下页现在学习的是第18页，共23页下页现在学习的是第19页，共23页下页现在学习的是第20页，共23页由此推得由此推得，即即，下页现在学习的是第21页，共23页例如例如,n=4 时时D4=下页现在学习的是第22页，共23页例例8.证明范得蒙德（证明范得蒙德（Vandermonde）行列式）行列式下页注意：注意：利用范德蒙德行列式计算现在学习的是第23页，共23页