2022年数列知识点归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：anan1d（d为常数）（n2）；b2等差数列通项公式：a na 1n1 nN*,首项:a ,公差 :d 推广：anamnm d从而danam；nm3等差中项（1）假如 a , A ,b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项即：Aaa2b或2Ana（2）等差中项：数列an是等差数列2 ana n-1a n1n2,nN*2nana214等差数列的前n 项和公式：S nn a 12anna 1n n1dd n 22a 11d nAn2Bn22（其中 A、B是常数,所以当 d 0时, Sn是

2、关于 n的二次式且常数项为 0）特殊地,当项数为奇数2 n1 时,a 是项数为 2n-1 的等差数列的中间项S 2n12n1a 1a2n12n1a （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）25等差数列的判定方法（1） 定义法：如a nan1d或an 1and 常数nNan是等差数列（2） 等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1n22 an1anan2（3） 数列an是等差数列anknb（其中k, 是常数）；（4）数列an是等差数列S nAn2Bn , （其中 A、B是常数）；6等差数列的证明方法定义法：如anan1nd或an 1nand 常数nNan是等差数列等差中项性质法

3、：2 aan-1a1n2,nN7. 提示：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中, 涉及到 5 个元素：1a 、d 、n 、a 及S ,其中1a 、d 称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即知 3 求 2；（2）设项技巧：一般可设通项ana 1n1 d奇数个数成等差,可设为 ,a2 , d ad a ad a2 d （公差为 d ）；偶数个数成等差,可设为 ,a3m am am a3 m , （留意；公差为2 m ）8. 等差数列的性质：（1）当公差d0时,d ；0,就等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差

4、前 n 和S nna 1n n1dd2 na 1dn 是关于 n 的二次函数且常数项为0. 222d（2）如公差d0,就为递增等差数列,如公差d0,就为递减等差数列,如公差为常数列；a n2a . （3）当 mnpq时, 就有amanapaq,特殊地,当mn2p 时,就有am- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）如 a n、b n 为等差数列,就 1 a n 2 b n 都为等差数列,其中 1 , 2 R 5 如 a 是等差数列,就 S n , S 2 n S S 3 n S 2 n, 也成等差数列（6

5、）数列 a n 为等差数列 ,每隔 k k N 项取出一项 *a m , a m k , a m 2 k , a m 3 k , 仍为等差数列（7）设数列 a n 是等差数列, d 为公差,S 奇 是奇数项的和,S 偶 是偶数项项的和,S 是前 n 项的和当项数为偶数 2 时,就 S 2 n n a n a n 1 S 偶 S 奇 nd S 奇 a nS 偶 a n 1当项数为奇数 2 n 1 时,就S 2 n 1 S 奇 S 偶 2 n 1 a n S 奇 na n S 奇 nS 奇 S 偶 a n S 偶 n 1 a n S 偶 n 1（其中 a n 是项数为 2n-1 的等差数列的中间项

6、） （8） a n 、 b n 的前 n 和分别为 S 、T ,就 ab nn 22 nn 11 ab n n ST 2 2n n1 1 . （9）等差数列 a n 的前 n 项和 S m n ,前 m 项和 S n m ,就前 m+n 项和 S m n m na n m a m n 就 a n m 010 求 S 的最值法一：因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数列的特殊性 n N ；*法二：（ 1）“ 首正” 的递减等差数列中,前n 项和的最大值是全部非负项之和即当a 10,d0,由an100可得S 达到最大值时的 n 值an（2） “ 首负”

7、的递增等差数列中,前n 项和的最小值是全部非正项之和；即 当a10,d0,由an10可得S 达到最小值时的 n 值a0或求an中正负分界项n留意：解决等差数列问题时,通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 1a 和 d 的方程；奇妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,削减运算量二、等比数列性质总结1、等比数列的定义 : n N ,* a n +1 q 0 a n留意 ：（1）公比 q 肯定是由后项比前项（相邻的两项）所得,而不能用前项比后项来求；（ 2）由公比 q 0 知,等比数列 a 中的每一项都不为零；（ 3）. 在等比数列 a n 中,1 当 a 1 0,q 1 时

8、,数列 a n 是递增数列 ；2 当 a 1 0, 0 q 1,数列 a n 是递增数列 ；3 当 a 1 0, 0 q 1 时,数列 a n 是递减数列 ；4 当 a 1 0,q 1 时,数列 a n 是递减数列 ；- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 当 q 1 时,数列 a n 是常数列；6 当 q 0 时,数列 a n 是摇摆数列 . （ 4）如一个数列 a n 既为等差数列又为等比数列 a n 为非零常数列 . （ 5）等比数列的奇数项的符号相同；偶数项的符号相同 . n 12、等比数列的通项公

9、式：a n a 1 qn m推广为：a n a m q m n N 留意： 1 等比数列的运算问题中,首项 a 和公比 q 是基本量 ；2 有以下几种方法可以运算公比 q q a n n 2, n N q n 1 a n q n m a na n 1 a 1 a m其中,如公式中的指数 n 1, n m 为偶数,开方求公比,要依据题意选取正确的符号；3、等比中项： 如 a , G ,b 是等比数列,就由等比数列的定义可知:G2ab. G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 留意：（1）a b 同号；G 也是a b 的等比中项；a,G b 均为非零常数；（2）任意两数的等比中项不肯定存在且不唯独；

10、所以,G2ab是 a , G , b成等比数列的 必要非充分 条件；4、等比数列的性质：1 下标和性质：下标和相等,就对应项的积相等；使用条件：等式两边项的个数相同,且项数之和相同 . 在等比数列 a n,2 如 m n p q t N 且 m n p q 2 t ,就 a m a n a p a q a t；反之是否成立？No！如 m、 、p N * 且 m n p , 就 a m a n a 成立吗 . NO. 如 m、 、 、 、 、t N * 且 m n s p q t , 就 a m a n a s a p a q a 成立吗 . YES. 从等比数列中抽取等距离（即下标成等差）的项

11、组成的新数列仍是等比数列,如：a a 5 , a a 11 ,；2 如 a n 是以 q 为公比的等比数列,就数列 | a n |,ca n c 0,a n k等也为等比数列,公比分别为k| q |, q q ,但 a n a n 1 不肯定是等比数列 . 如数列 a n 、 nb 为项数相同的等比数列,就 a n sb n t , s t R 也是等比数列 . 5、等比数列的判定方法：1 定义法：对于任意nnN,验证an1为同一常数；N成立；a n2 等比中项法：验证a0 且 a n+12anan2 n- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 -

12、 - - - - - - - - 3 通项公式法：验证ann cq ,其中c q 都为非零常数 , nN. 6、等比数列设元技巧：（ 1）三数成等比：设三数为 a , a aq；q（ 2）四个同符号的数成等比：设四数为 a3, a, am am 3m m7、等比数列前 n 项和公式：S n a 1 11 q q n a 11 a qq , q 1 na 1 , q 1 留意：（ 1）等比数列前 n 项和公式要留意分 q 1 和 q 1 两种情形；（ 2）等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及 5 个量 1a , q , n ,a ,S ,知道其中任意 3 个量就可求出另外 2 个量,留意前

13、提条件是 q 0；8、等比数列前 n 项和的的性质：公比不为1 的等比数列的依次 m 项之和构成的新数列仍为等比数列,如：S ,S 2m S ,S 3 m S 2 m,S 4 m S 3 , L m N . 9、等比数列前 n 项和的函数特性：当 q 1 时,等比数列 a n 的前 n 项和公式n nS n a 1 1 q a 1 a q B Bq n,其中 B a 1；1 q 1 q 1 q 1 qn数列 a n 为特别值等比数列的 充要条件是 S n B Bq B 为常数 , q 0,1, B 0 . 10、等差数列与等比数列间的联系（ 1）如b n是各项为正的 等比 数列,就log an

14、b是等差 数列（a0 且a1）；（ 2）如c n是等差数列,就acn是等比数列（a0）11、等差数列与等比数列的类比等差数列 等比数列加法 乘法减法 除法乘法 乘方除法 开方0 1 三、递推数列求通项类型 1an1anfnan1anfn ,利用 累加法 求解；解法： 把原递推公式转化为- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型 2 an1fn an0）；t1qp,再利用 换元法转化为等比数解法： 把原递推公式转化为a nn1fn,利用 累乘法 求解；a类型 3an 1panq（其中p q 均为常数,pqp1

15、解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：an1tpant,其中列 求解；类型 4递推公式为S 与a 的关系式 或S nf an.与anS nSn1fanfan1消去S nn2解法：这种类型一般利用a nS 1S n1n1S nn2 或与S nfS nSn1n2 消去a 进行求解；四、数列求和在解数列求和问题时,要留意观看所给数列的通项,由通项形式上的特点来选取合适的方法进行解答,也要留意分类争论思想的运用；第 1 类：错位相减法（等差等比）anbn的前 n 项和,这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列其中an,bn分别是等差数列和等比数列；第 2 类：

16、裂项相消法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）裂成两项（或如干项）终达到求和的目的,通项一般可分解（裂项）如：1、乘积形式,如：an1k11n1kn nkn2、根式形式,如：n1n1 knknk第 3 类：分组求和法（等差等比）,使之按某规律组合后,能消去如干项,最有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列通项适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将每组的和合并即可；五、数列极限定义： 一般地,假如当项数n 无限增大时,无穷数列an的项a 无限趋近于 n 某个常数 a （即a na 无限趋近于 0 ）,那么就说数列an以 a 为极限 . 记作 lim na

17、 na . 唯独确定 的常数；注：（1）不是全部无穷数列都有极限,但假如有极限,就必是一个（2）转变数列的 有限项 ,不会影响数列的极限存在性. - 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、几个常用的数列极限：（ 1）nlim C= （C为常数）；（2）nlim 1 = n；_, 当 | q | 1 时（ 3）nlim q n_, 当 q =1 时_, 当 | q | 1 或 q = 1 时3、数列极限的四就运算法就：假如 limn a n A, lim n b n B ,那么lim n a n b n A B

18、；lim n a n b n A B ；lim n ab n nB A B 0特殊地,假如 c 是常数,那么,limn c a n c limn a n c a注：（1）运算法就使用的前提：1、每一个已知数列都存在极限；2、这些数列的个数必需是有限的；（ 2）上述结论可推广到 有限个 数列的情形；（ 3）数列极限的运算性质的实质：四就运算与极限运算可交换 .4. 常见数列极限类型及求法：类型 1：分式型lim nfn,其中fn ,gn 都是关于n 的多项式g n方法：分子,分母同除以 n 的最高次幂,再利用lim n1 n00,stt结论：limt a na nt1La t1na ta 0,sb nsa ns1Lb nb sb 0不存在,st类型 2：指数型数列极限方法： 分子,分母同除以肯定值最大 的底数的 n 次方,再利用lim nqn0,q1类型 3、和（积）式型（由于有无穷多项,所以无法用数列极限的四就运算法就）方法： 对无穷多项的和或积 求极限 一般采纳先化简即求和或积 再求极限类型 4：根式型方法：分子,分母有理化,再利用lim n10anlim nS n1a 1n5、当 0|q| 1,无穷等比数列存在各项和：Sa 1a2a3Llim na 1a2a 3Lq- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页