2022年挑战中考数学压轴题因动点产生的平行四边形问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载因动点产生的平行四边形问题例 1 2022年成都市中考第28 题如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y ax 22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）,经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且 CD4AC（1）直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示） ；（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点,如 ACE 的面积的最大值为 54,求 a 的值；（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点,

2、点 Q 在抛物线上,以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？如能,求出点P 的坐标；如不能,请说明理由图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“ 15 成都 28” ,拖动点 E 在直线 AD 上方的抛物线上运动,可以体验到,当 ECAC 时, ACE 的面积最大点击屏幕左下角的按钮“ 第（3）题” ,拖动点 H 在 y 轴正半轴运动,观看点 Q 和 Q,可以看到点 Q 和点 Q都可以落在抛物线上思路点拨1过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F,那么AEF 与 CEF 是共底的两个三角形2以 AD 为分类标准争论矩形,当 AD 为边时, AD 与 QP 平行且相等,对角线 AP

3、QD；当 AD 为对角线时, AD 与 PQ 相互平分且相等满分解答（1）由 y ax22ax3aax1x3,得 A 1, 0由 CD 4AC,得 xD 4所以 D4, 5a名师归纳总结 由 A1, 0、 D4, 5a,得直线l 的函数表达式为yaxa第 1 页,共 18 页（2）如图 1,过点 E 作 x 轴的垂线交AD 于 F设 Ex, ax22ax3a,Fx, axa,那么 EFyEyF ax23ax4a由 S ACES AEFS CEF1 2EF x ExA1EF x Ex C2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2EF x C学习好资料3a

4、x4 a 欢迎下载25a ,xA1 2ax21a x32228得 ACE 的面积的最大值为25a 解方程25a5,得a28845（3）已知 A1, 0、D4, 5a,xP1,以 AD 为分类标准,分两种情形争论：如图 2,假如 AD 为矩形的边,那么 由 xDxAxPxQ,得 xQ 4AD/QP,ADQP,对角线 APQD当 x 4 时, yax1 x321a所以 Q4, 21a由 yDyAyPyQ,得 yP26a所以 P1, 26a由 AP 2QD2,得 2 226a 28 216a226 7整理,得 7a21所以a7此时 P1,77如图 3,假如 AD 为矩形的对角线,那么AD 与 PQ

5、相互平分且相等由 xDxAxPxQ,得 xQ2所以 Q2,3a由 yDyAyPyQ,得 yP8a所以 P1, 8a由 AD2PQ2,得 5 25a21211a24图 3 整理,得 4a21所以a1 2此时 P 1,图 1 图 2 考点舒展名师归纳总结 第（ 3）题也可以这样解设P1,nDN,即5a5a3n第 2 页,共 18 页如图 2,当 AD 时矩形的边时,QPD 90 ,所以AMMDNP5解得n35a2所以 P1,35a2所以 Q 4,3aaa7 71 2将 Q 4,3代入 yax 1x 3,得3 a21a所以aa如图 3,当 AD 为矩形的对角线时,先求得Q2, 3a由 AQD90 ,

6、得AG GQQK,即3a325a解得aKD3a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 2 2022 年陕西省中考第 24 题如图 1,已知抛物线 C：y x 2bxc 经过 A3,0和 B0, 3两点将这条抛物线的顶点记为 M,它的对称轴与 x 轴的交点记为 N（1）求抛物线 C 的表达式；（2）求点 M 的坐标；（3）将抛物线C 平移到抛物线C,抛物线C的顶点记为M ,它的对称轴与x 轴的交点记为 N假如以点M、N、M、 N为顶点的四边形是面积为16 的平行四边形,那么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？名师归纳总结 - - - -

7、- - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 陕西 24” ,拖动右侧的点M上下运动,可以体验到,以点M、N、M、 N为顶点的平行四边形有四种情形思路点拨1抛物线在平移的过程中,M N与 MN 保持平行,当M N MN 4 时,以点 M、N、M、 N为顶点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为16,底边 MN 4,那么高 NN 43M N4 分两种情形：点 M 在点 N的上方和下方4NN 4 分两种情形：点 N在点 N 的右侧和左侧满分解答（1）将 A3,0、B0, 3分别代入 y x 2

8、bxc,得c93 bc0,解得 b 2, c33.所以抛物线C 的表达式为y x22x3（2）由 y x 22x3 x124,得顶点 M 的坐标为 1,4（3）抛物线在平移过程中,M N与 MN 保持平行,当M N MN 4 时,以点 M、N、M、 N为顶点的四边形就是平行四边形由于平行四边形的面积为 16,所以 MN 边对应的高 NN 4那么以点 M、 N、M、N为顶点的平行四边形有 4 种情形：抛物线 C 直接向右平移 4 个单位得到平行四边形 MNN M（如图 2）；抛物线 C 直接向左平移 4 个单位得到平行四边形 MNN M（如图 2）；抛物线 C 先向右平移 4 个单位,再向下平移

9、 8 个单位得到平行四边形 MNM N（如图 3）；抛物线 C 先向左平移 4 个单位,再向下平移 8 个单位得到平行四边形 MNM N（如图 3）图 2 图 3 考点舒展名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此题的抛物线学习好资料欢迎下载D,那么MM D 的面积 SC 向右平移m 个单位,两条抛物线的交点为关于 m 有怎样的函数关系？如图 4, MM D 是等腰三角形, 由 M1,4、M1m, 4,可得点 D 的横坐标为m22将xm22代入 y x124,得ym24所以 DH 2 m444所以 S1mm241m32m

10、 248图 4 例 3 2022 年上海市松江区中考模拟第 24 题如图 1,已知抛物线 y x 2bxc 经过 A0, 1、B4, 3两点（1）求抛物线的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴,垂足为 C,在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB于点 N,交抛物线于点 M,如四边形 MNCB 为平行四边形,求点 M 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“ 13 松江 24” ,拖动点 N 在直线 AB 上运动, 可以

11、体验到, 以 M、N、C、B 为顶点的平行四边形有4 个,符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个请打开超级画板文件名“13 松江 24” ,拖动点 N 在直线 AB 上运动,可以体验到,MN有 4 次机会等于 3,这说明以 M、N、C、B 为顶点的平行四边形有 4 个,而符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个思路点拨1第（ 2）题求 ABO 的正切值,要构造包含锐角ABO 的角直角三角形2第（ 3）题解方程MNyMyNBC,并且检验x 的值是否在对称轴左侧满分解答c（1）将 A0, 1、B4, 3分别代入 y x2bxc,得1,4 bc3.解

12、得b9,c 1162所以抛物线的解析式是yx29x12（2）在 Rt BOC 中, OC4,BC3,所以 OB5如图 2,过点 A 作 AH OB,垂足为 H名师归纳总结 所以在 Rt AOH 中, OA1,sinAOHsinOBC4,图 2 第 6 页,共 18 页5AHOAsinAOH42 115所以OH3,BHOBOH2255422在 Rt ABH 中,tanABOAHBH55- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料1欢迎下载（3）直线 AB 的解析式为y1x2那么设点 M 的坐标为 ,2 x9x1,点 N 的坐标为 ,1x1,1, 92（如

13、图 3）22MNx29x11x1x24x 22M 的坐标为当四边形 MNCB 是平行四边形时,MNBC 3解方程 x24x3,得 x1 或 x3由于 x3 在对称轴的右侧（如图4）,所以符合题意的点图 3 图 4 考点舒展第（3）题假如改为：点 M 是抛物线上的一个点,直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N,假如 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形,求点 M 的坐标那么求点 M 的坐标要考虑两种情形：MN yMyN 或 MNyNyM由 yNyM4xx2,解方程 x2 4x3,得x227（如图 5）27,527所以符合题意的点M 有 4 个：9 1, 2,3,11,7,527,2

14、图 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载21 题例 4 2022年福州市中考第如图 1,在 Rt ABC 中, C90 , AC6,BC8,动点 P 从点 A 开头沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动,动点Q 从点 C 开头沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动,过点 P 作 PD/BC,交 AB 于点 D,联结 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时动身,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为 t 秒（ t0）（1）直接用含 t 的代数式分

15、别表示：QB_,PD_；（2）是否存在 t 的值,使四边形 PDBQ 为菱形？如存在,求出 t 的值；如不存在,说明理由,并探究如何转变点 点 Q 的速度；Q 的速度（匀速运动） ,使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形,求（3）如图 2,在整个运动过程中,求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“12 福州 21” ,拖动左图中的点 P 运动,可以体验到,PQ 的中点 M 的运动路径是一条线段拖动右图中的点 Q 运动,可以体验到,当 PQ/AB 时,四边形 PDBQ 为菱形名师归纳总结 请打开超级画板文件名“12 福州 21” ,拖动点 Q 向上运

16、动,可以体验到,PQ 的中点 M第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的运动路径是一条线段学习好资料欢迎下载点击动画按钮的左部,Q 的速度变成1.07,可以体验到, 当 PQ/AB时,四边形PDBQ 为菱形点击动画按钮的中部,Q 的速度变成1.思路点拨1菱形 PDBQ 必需符合两个条件,点 P 在 ABC 的平分线上, PQ/AB先求出点 P运动的时间 t,再依据 PQ/AB,对应线段成比例求 CQ 的长,从而求出点 Q 的速度2探究点 M 的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点 M 的路径满分解答（1）QB 82

17、t,PD4 3t（2）如图 3,作 ABC 的平分线交 BC 于 Q,那么四边形 PDBQ 是菱形CA 于 P,过点 P 作 PQ/AB 交过点 P 作 PEAB,垂足为 E,那么 BEBC810在RtABC中,AC6,BC8,所以AB在 Rt APE 中,cosAAE23,所以t1032图 3 APt53610解得CQ当 PQ/AB 时,CQ CBCP,即CQ3CA869所以点 Q 的运动速度为3210169315（3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4,当 t0 时, PQ 的中点就是AC 的中点 E3,0M（62t ,t）在直如图 5,当 t4 时, PQ 的中点就是PB 的中点 F1

18、,4直线 EF 的解析式是y 2x6如图 6,PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（62t ,t）体会证,点线 EF 上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段EF 的长, EF 2 5 名师归纳总结 图 4 图 5 图 6 第 9 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载考点舒展第（ 3）题求点 M 的运动路径仍有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时, PQ 的中点为 2,2名师归纳总结 得设点 M 的运动路径的解析式为yax2bxc,代入 E3,0、F1, 4和2,2,第 10 页,共 18 页9a3bc0,ab

19、c4,解得 a0,b 2,c64a2 bc2.所以点 M 的运动路径的解析式为y 2x6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载26 题例 5 2022年烟台市中考第如图 1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B1, 0、C3, 0、D3, 4以A 为顶点的抛物线 yax 2bxc 过点 C动点 P 从点 A 动身,沿线段 AB 向点 B 运动,同时动点 Q 从点 C 动身,沿线段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位,运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A

20、的坐标,并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EF AD 于 F,交抛物线于点 G,当 t 为何值时,ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P、Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H,使以 C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 烟台 26” ,拖动点 P 在 AB 上运动,可以体验到,当 P 在AB 的中点时,ACG 的面积最大观看右图,我们构造了和CEQ 中心对称的FQE 和 ECH ,可以体验到,线段 EQ 的垂直平分线可以经过点 C 和 F,线段 CE 的垂直平分线可以经

21、过点 Q 和 H,因此以 C、 Q、 E、H 为顶点的菱形有 2 个请打开超级画板文件名“12 烟台 26” ,拖动点 P 在 AB 上运动,可以体验到,当 P 在AB 的中点时,即 t=2, ACG 的面积取得最大值 1观看 CQ,EQ,EC 的值,发觉以 C、Q、E、H 为顶点的菱形有思路点拨2 个点击动画按钮的左部和中部,可得菱形的两种精确位置；1把 ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形,高的和等于 AD2用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形,满分解答再用邻边相等列方程验证菱形是否存在（1）A1, 4由于抛物线

22、的顶点为A,设抛物线的解析式为y ax12 4,代入点 C3, 0,可得 a 1名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以抛物线的解析式为学习好资料欢迎下载y x12 4 x 2 2x3（2）由于 PE/BC,所以APAB2因此PE1AP1 2t21t2tPEBC2所以点 E 的横坐标为11t1 4t2将x11t代入抛物线的解析式,y x12442所以点 G 的纵坐标为41t于是得到GE41t24t444因此SACGSAGESCGE1GE AFDF1t2t1t21244所以当 t1 时, ACG 面积的最大值为1（3

23、）t20或t208 513考点舒展第（ 3）题的解题思路是这样的：由于 FE /QC,FEQC,所以四边形 FECQ 是平行四边形 再构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H,那么四边形 EHCQ 也是平行四边形再依据 FQCQ 列关于 t 的方程,检验四边形 FECQ 是否为菱形,依据 EQCQ 列关于 t 的方程,检验四边形 EHCQ 是否为菱形E 1 1 t ,4 t,F 1 1 t , 4,Q 3, t ,C 3,02 2如图 2,当 FQCQ 时, FQ 2CQ 2,因此 1 t 2 24 t 2 t2整理,得 t 240 t 80 0解得 t 1 20 8 5,t 2 20 8 5（

24、舍去）如图 3,当 EQCQ 时, EQ 2CQ 2,因此 1 t 2 24 2 2 t2整理,得 13 t 272 t 800 0 13 t 20 t 40 0所以 t 1 20,t 2 40（舍去）13图 2 图 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载24 题例 6 2022年上海市中考第已知平面直角坐标系 xOy（如图 1）,一次函数 y 34在正比例函数 y 3 x的图象上,且 MOMA 二次函数2yx 2bxc 的图象经过点 A、Mx3的图象与 y 轴交于点 A,点 M（1）求线段 A

25、M 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）假如点 B 在 y 轴上,且位于点A 下方,点C 在上述二次函数的图象上,点D 在一次函数y3x3的图象上,且4四边形 ABCD 是菱形,求点C 的坐标图 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载动感体验请打开几何画板文件名“ 11 上海 24” ,拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动, 四边形 ABCD保持菱形的外形,可以体验到,菱形的顶点 C 有一次机会落在抛物线上思路点拨1此题最大的障碍是没有图形,精确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画

26、出来,但是对抛物线的位置要心中有数2依据 MO MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上,并且求得点 M 的坐标,是整个题目成败的一个打算性步骤3第（ 3）题求点 C 的坐标,先依据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母 m 表示点C 的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母 m满分解答（1）当 x 0 时,y3x33,所以点 A 的坐标为 0,3,OA33 2将y534如图 2,由于 MO MA,所以点 M 在 OA 的垂直平分线上, 点 M 的纵坐标为2代入y3x,得 x 1所以点 M 的坐标为1, 32因此AM1322解得b,（2）由于抛物线yx2bxc 经过 A0,3、M1, 32,所以

27、c3,c3.1b22c3所以二次函数的解析式为y2 x5x32（3）如图 3,设四边形ABCD 为菱形,过点A 作 AECD ,垂足为 E在 Rt ADE 中,设 AE4m,DE3m,那么 AD5m32因此点 C 的坐标可以表示为4m,32m将点 C4m,32m代入yx25x3,得2m16m210m3解得m1 2或者 m0（舍去）因此点 C 的坐标为（ 2,2）图 2 图 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载考点舒展假如第（ 3）题中,把“ 四边形ABCD 是菱形” 改为“ 以A、B、C、D

28、 为顶点的四边形是菱形” ,那么仍存在另一种情形：如图 4,点 C 的坐标为7 27 ,4 16图 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载24 题例 7 2022年江西省中考第将抛物线 c1：y3x23沿 x 轴翻折,得到抛物线c2,如图 1 所示（1）请直接写出抛物线 c2 的表达式；（2）现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为 M,与 x轴的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为 N,与 x 轴的交点

29、从左到右依次为 D、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时,求 m 的值；在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？如存在,恳求出此时 m 的值；如不存在,请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 11 江西 24” ,拖动点 M 向左平移, 可以体验到, 四边形 ANEM可以成为矩形,此时B、D 重合在原点观看B、D 的位置关系,可以体验到,B、D 是线段 AE 的三等分点,存在两种情形思路点拨1把 A、B、D、E、M、N 六个点起始位置的坐标排列出来,用 m 的式子把这六个点 平移过程中的坐标排列出来2B、D 是线段 AE 的三等分点,分两种情形争论,依

30、据 系列关于 m 的方程3依据矩形的对角线相等列方程AB 与 AE 的大小写出等量关名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载满分解答2（1）抛物线 c2 的表达式为 y 3 x 3（2）抛物线 c1：y 3 x 23 与 x 轴的两个交点为 1,0、1,0,顶点为 0, 3 抛物线 c2：y 3 x 23 与 x 轴的两个交点也为 1,0、1,0,顶点为 0, 3 抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度后,顶点 M 的坐标为 m , 3,与 x 轴的两个交点为A 1 m ,0、B 1 m ,0,AB

31、2抛物线 c2 向右平移 m 个单位长度后,顶点 N 的坐标为 m , 3,与 x 轴的两个交点为D 1 m ,0、E 1 m ,0所以 AE1m 1m21mB、 D 是线段 AE 的三等分点,存在两种情形：情形一,如图2, B 在 D 的左侧,此时AB1 3AE2,AE6所以 21m6解得 m23, B 在 D 的右侧,此时AB2,AE3所以 21m3解2 3AE情形二,如图得m1图 2 图 3 图 4 2假如以点A、 N、E、M 为顶点的四边形是矩形,那么AEMN 2OM 而 OM2m23,所以 41m24m 23解得 m1（如图 4）考点舒展第（ 2）题,探求矩形ANEM ,也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM 中,由于 AB2, AB 边上的高为3 ,所以ABM 是等边三角形同理 DEN 是等边三角形当四边形ANEM 是矩形时, B、 D 两点重合名师归纳总结 由于起始位置时BD 2,所以平移的距离m 1第 17 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习好资料欢迎下载第 18 页,共 18 页- - - - - - -