2022年数值分析复习总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载数值分析复习资料一、重点公式第一章非线性方程和方程组的数值解法a1就要求 0c11）二分法的基本原理,误差：bxk 212）迭代法收敛阶：lim ii1c0,如pip3）单点迭代收敛定理：定理一：如当xa b 时, a b 且 l1,xa b ,就迭代格式收敛于唯独的根；定理二：设 x 满意：xa b 时, a b , 1 ,就迭代格式具有局部收x x 2a b,有x 1x 2l x 1x 2,0l1就对任意初值x 0a b 迭代收敛,且：x i11lx i1x ix i1lilx 1x0定理三： 设 x 在的邻域内具有连续

2、的一阶导数,且敛性；定理四：假设 x 在根的邻域内充分可导,就迭代格式x i1x i是 P 阶收敛的 0,j1,P1,P0（Taylor 绽开证明）4）Newton 迭代法：x i1x ifx i,平方收敛fx i5）Newton 迭代法收敛定理：名师归纳总结 设f x 在有根区间,a b 上有二阶导数,且满意：第 1 页,共 12 页：f a f b 0；：f 0,xa b ；：f 不变号,xa b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ：初值x 0a b 使得学习好资料0；欢迎下载f x f x 就 Newton 迭代法收敛于根；1f xif x ii1

3、x i1f x if x i1x ixi6）多点迭代法：xi1xif x if x if x if x1f收敛阶：P125x ix i17）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛）,对 Newton 法进行修改：已知根的重数r,x i1x ix irf x i（平方收敛）为f x 的重根, 就为u x 的单fx i：未知根的重数：x iu x i, f ,1 u x if 根；8）迭代加速收敛方法：2x i 1 x x i 2 x i 1x i 2 2 x i 1 x ix i 1 x i 当 不 动 点 迭 代 函 数 在 的 某 个 邻 域 内 具 有 二 阶 导 数 ,x i 2

4、x i 1 L 1, 0 平方收敛9）确定根的重数：当 Newton 迭代法收敛较慢时,说明方程有重根2x x i 2 x i 1 1 x i 1rx i 2 2 x i 1 x x i 2 x i 1 x i 2 x i 110）拟 Newton 法名师归纳总结 xii1xii1 A F xi1F xi如A i非奇特,就HiA i1第 2 页,共 12 页A i1xi1i xi F xA i1A iAxi1xixi1xiH F xi1F xiH1F xHi1HiHi- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f1学习好资料f 1欢迎下载f1其中A iFxii

5、x 1xi 2i x nf2f2f2i x 1xi 2i x nfnfnfni x 1xi 2i x n11）秩 1 拟 Newton 法：i x1xi1 iA F xriTi,其中rixi1i x,yii F x1i F xA i1A iyiArirriT Broyden 秩 1 方法xi1xiH F xiiHi1HiriH yiriT HiriTH y其次章线性代数方程组数值解法1）向量范数：非负性：xx0,且xx0的充要条件是x0；：齐次性：xxyy：三角不等式：n1 范数：x1ix i211n2 范数：x2xi2i1范数：x1maxx ip1np 范数：xppx ii12）矩阵范数：名

6、师归纳总结 ：非负性：A0,且AA0的充要条件是A0；第 3 页,共 12 页：齐次性：AAABB：三角不等式：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ：乘法不等式：AB学习好资料欢迎下载A B1F 范数：AFinjn1a ij221n1 范数：A1max 1 j n i1a ij,列和最大n范数：A1max 1 i nj1aij,行和最大 A2 范数：A2A A ,其中 HA A H max 1 i ni,i为H A A 的特点值,3）Gauss 消元法（上三角阵） ：M13 n ；（可3Gauss-Jordan消元法（对角阵） ：M13 n ；2列选主元

7、消元法：在消元之前进行行变换,将该列最大元素换置对角线主元位置；用于求逆矩阵）全选主元消元法： 全矩阵搜寻矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法： Doolittle 分解法： A=LU ,L 单位下三角阵,U 上三角阵： Crout 分解法： A=LU ,L 下三角阵, U 单位上三角阵： Cholesky 分解法： A 对称正定,A LL ,L 为单位下三角阵 T：改进的 Cholesky 分解法： A 对称正定,A LDL ,L 为单位下三角阵,TD 为对角阵：追逐法： Crout 分解法解三对角方程5）矩阵的条件数cond A AA11,谱条件数：cond

8、 2A A2A12IB11xCond A AAx1Cond A AA6）假如B1,就 IB 为非奇特阵,且1B7）迭代法基本原理：名师归纳总结 ：迭代法：1xi1BxiK,迭代格式收敛 第 4 页,共 12 页：Blim iBi0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料B1欢迎下载：至少存在一种矩阵的从属范数,使8）Jacobi 迭代： ALDxULD11UxiLD1bxi1ID1A xiD1 b9）Gauss-Seidel 迭代：xi110）超放松迭代法xi1xiri1P 11 x211）二次函数的一维搜寻：12）最速下降法：挑选方向Z0grad

9、fx00r0bAx0r0,r0进行一维搜寻：1 xx00 r ,其中0rAr0,013）共轭梯度法：第一步：最速下降法,P00 r ,r1b1 Ax ,r0,r10r1,AP0,过1 x 以1 P 为方其次步：过1 x 挑选0 P 的共轭方向P1r10 P ,其中P0,AP0向的共轭直线为x1 x1 tP ,进行二次函数的一维搜寻x21 x11 P1r1,1 P1 1AP P14）一般的共轭梯度法：第三章插值法与数值靠近1nj x f xj,jx nnxP n1 P n 1xj1）Lagrange 插值：Ln lj0xlj xx 1xxjxj1xxjx 1xjxj1xjxj1xxxj余项：E

10、x fn1 P n n11.2）Newton 插值：差商表名师归纳总结 0xf x 0f x x 1f x x x2第 5 页,共 12 页1xf x 12xf x 2f x x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3xf x 3f x x 3学习好资料f x x x2欢迎下载f x x x 3x 3f x f x f x x x x 0 xx0f x x 1x n x x 0 x x n1 f x x 1x x x x 0x x n余项E x f x x 1x xxx nfn1 P n1 n1.3）反插值4）Hermite 插值（待定系数法）H2n1

11、nj x f xjj x fxj1x kj0x lxj,lxjn其中j ax2b l , x a 2 xj,b12xjjjjk1, kj xxjl2 xj余项：E x f2n2 2 P n1 xjjf xj12n2.5）分段线性插值：Lj xxjj1f xjxjx1xj1xx n插值基函数：l0 xx 1,x 0xx 1,l0,x 0xx n1n x 0x 1xx n1,x n1x0,x 1xx nx nx n1xxjj1,xj1xxjxjx1lj xxjj1,xjxxj1xjx10,余项：分段余项M22 h,M2maxf2 86）有理靠近：反差商表有理靠近函数式：f x v 0x0v x 1

12、 1v2xx 0x 1xnx n1x 2xvx n7）正交多项式的运算：名师归纳总结 定理：在 , a b 上带权函数 x 的正交多项式序列nx 0,如最高项系数唯独,它便是第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载唯独的,且由以下的递推公式确定n1xjnnnn1jdxnxn,n,nnn,n,10,01n,n,其中 i,b i1n1a定理 3.8 8）连续函数的正确平方靠近：在Span 1, , x x2,xn上,法方程为H ad ,11 21 n1dk ,k1f x kdx其中Hn1 21 31 n2,01 n11

13、 n21 2n1均方误差：2f,f* P,ff2in* a di21：最大误差：max 0 x 1f* P9）离散函数的正确平方靠近（曲线的最小二乘拟合）n法方程j,kajf,kkj0iijx ikx imj,k其中i0mf x ix i ,ki0第四章数值积分1）代数精度的概念及应用：对 2）Lagrange 插值代入r 次多项式的精确成立,以及代入法求解系数；名师归纳总结 Lagrange 插值基函数ljxx0xxj1xxj1xxnna；第 7 页,共 12 页xjx 0xjxj1xjxj1xjxbf x dxjn0Hjf xj,其中Hjblj x dxaa误差：E fbfn1 P n1

14、x dxan1.其是差值型的hbn定理：数值积分公式具至少有n 次代数精度3）等距节点的Newton-Cotes 公式aih 即可,其中将拉格朗日差值积分公式中的差值节点ix- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Hj 1njhninjt学习好资料jHj欢迎下载i dt,令C（Cotes 系数）就：j.nj.00,ibanQ fbaj0C f xjnN-C 公式的数值稳固性：当C 同号时是稳固的,否就不稳固,ba Cj（其中0maxj）j0N-C 公式至少具有n 次代数精度,如n 为偶数,就其代数精度可提高到n+1 次；余项：当 n 为偶数时,E ffn2

15、bxP n1 x dxn2.a当 n 为奇数时,E ffn1 bP n1 x dxn1.a4）复化的 N-C 公式复化的梯形公式：将积分区间n 等分,然后在每个区间上应用梯形公式Ibf x dxn1xj1f x dxn1f xj2f xj1hE n T nE n haj0xjj0E nf1 h12 22 ba f Simpson 公式复化的 Simpson 公式：将积分区间n 等分,然后在每个区间上应用S nn1f xj4 f xj12f xj1n1hf xjf x j1n12f xj1j0666j0j0632E nf1 h180 24 ba f4 S n4 T 2nT n35）Romberg

16、 积分法名师归纳总结 T h T h 1 2 mT m2 1 2 m2 14m T m h2m4T m 第 8 页,共 12 页T m1T m h211T m h 靠近If的阶为h2m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - T 0 T 0hT 0h学习好资料欢迎下载T 0h248T h 1 T 1h 2T 1h46）求积节点为n+1 的机械求积公式的代数精度=2n+1 ；7）Gauss 求积公式f x nj x f xjj x fxjE x xjdxbE x dxj0E x f2n2 2 P n1 2n2.Ifbf x dxbjn0j x f xjj x f

17、aaajn0bj x dxf xjjn0bj x dxfxjb aE x dxaanHjf xjnHjfxjj0j0Hjbxxjl2 x dxbP n1 lj x dxaja P n1 1正交上式为 Gauss 求积公式、nP1 x在a,b上与全部次数 =n 的多项式带权8）Gauss-Legendre 求积公式名师归纳总结 给出P n1 公式：P x1xa、1bP x 1 x、第 9 页,共 12 页P 23x21 P n 21dnx2n 12nn dxnb2at t , ,给出区间 1,-1 上的求积公式,取P n x 的零点为求积节点取P x 零点为 0 b af x dxH f x 0

18、E fH02取2P 零点为33b af x dxH f x 0H f x 1E f H0H0对 于 区 间 a,b 上 的Gauss求 积公 式 , 令2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x fa2bb2at学习好资料g t dt欢迎下载g t ,就：b af x dx1 1g t b2adtb2a11余项：E fb2a g2n1 12 P n1 t dt P n1 tt0ttn2n2.1第五章乘幂法1）基本定理：定理一：如1,2,n为 A 的特点值,P x 为某一多项式,就矩阵P A 的特点值是P 1,P2,Pn；特殊地,A 的特点值是 kk,k

19、,k n；n 个线性无关的特点12定理二：假如A 为实对称矩阵,就A 的全部特点值均为实数,且存在向量；不同特点值所对应的特点向量正交；定理三：设 A 与 B 为相像矩阵,即存在非奇特阵P,使PAP1B ,就 A 与 B 有相同的特征值；名师归纳总结 定理四：假如A 有 n 个不同的特点值,就存在一个相像变换矩阵P,使得1 P APD ,其第 10 页,共 12 页中 D 是一个对角矩阵,它的对角线元素就是A 的特点值；定理五：对于任意方阵A,存在一个酉变矩阵Q,使得QHAQT ,其中 T 是一个上三角矩阵,QH是 Q 是共轭转置矩阵；推论：假如 A 是实对称矩阵, 就存在一个正交矩阵Q,使T

20、 Q AQD,其中 D 是对角矩阵,它的对角线元素是A 的特点值,而Q 的各列即为A 的特点向量,并且T Q QQQTI ；定 理 六 ： 设Aa i inn ,C ii1 ,n是 以iia为 中 心 的 一 些 圆 , 其 半 径 为nnriaik,i1,n,设C ,就 A 的全部特点值都位于区域内；k1,k ii1推论：A1的谱半径满意11min 1 i na iiknk ia ik；A1,定理七：设A 为对称正定阵,就有Amax x 0H x Ax,11min x 0H x Ax,其中, xH x xAH x x是任意复向量,xH表示 x 的共轭转置；定理八： 对任意非奇特矩阵A ,有1

21、1i2T A A ,其中i为 A 的任一特点T A A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载值；2）求按模最大的特点值和对应的特点向量v mAu m1m A v 01 v 0,maxvm1maxm A3）第六章常微分方程的数值解法（差分法）f xn1, y x n1（2 阶精确解）1）离散化方法：Taylor 绽开、差商代替求导、数值积分2）Euler 公式：y x n1y x n1hf x n, y x ny 0Euler 隐式y x n1y xn1hf x n1 , y xn1（1 阶）y 0改进的 Euler 公式y xn1y x

22、n1hf x n, y xn2y03）截断误差和P 阶精确解：截断误差T n1O hP14）S 级 Runge-Kuta 法yn1y nsihi1ijkjc 10 ,10 ,1f x,yhb ki1kif x nc h y inj12 级 Runge-Kuta 法yn1y nhb k 1hb k221 1 k其中b 111 2 c2（2 阶精度）1k 1f x n,y nhb 22c 2k2f xnc h y n21c 2c 的取值 1/2（中点公式） 、2/3（Heun 公式）、1（改进的 Euler 方法）名师归纳总结 5）单步法y n1ynhfxn,yn, h （* ）第 11 页,共

23、12 页相容性：x n,yn,0fx n,yn就（ *）式与初值问题相容收敛性：对于固定的nxx0nh 当h0时有y ny x n就称（ * ）式收敛数值稳固性：如一数值方法在y 上有扰动S 而于以后的各节点值ymmn 上产生的偏差- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 均不超过学习好资料欢迎下载S ,就称该方法肯定收敛试验方程：yyxa bR ,00用以求解肯定稳固区间0C ,Re yy 0肯定收敛：用单步法求解试验方程,如肯定收敛就称该方法肯定稳固6）线性多步法德一般格式：y xn1pa y x n ihp b y x n iTaylor 绽开构造）i0

24、i1局部阶段误差T nC y x n C hy x nq C h y x n（系数通过pC 01a ii0pp其中C 11 i a ib ii0i1C q11ipiqa iqp1iq1b iq.0i线性多步法的阶数通过误差系数来判定,最高阶数r2p27）线性多步法的收敛性判定：C00C 10称线性多步法相容满意根条件：第一特点多项式 rp1pa rp i,i0其次特点多项式 pb rp ii1当第一特点多项式全部根的模均不大于 收敛 相容且满意根条件8）数值稳固性判定：1,且模为 1 的根均是单根,称满意根条件名师归纳总结 稳固多项式（特点多项式） , r h1 h 时,ir h 为单根,就称第 12 页,共 12 页令 hh ,ir h 是稳固多项式的根,r h 0 1h2 o h：如对任意h , R 有ir h r 0 ,且当ir h r0 , a b 为相对稳固区间；,就称 , a b 为肯定稳固区间如对任意h , R 有ir h - - - - - - -