2022年数列的求和涵盖所有高中数列求和的方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载依据常见的几种不同的递推公式求数列的通项公式 1 已知满意 a n 满意 an 1=3 nan,且 a1=1,求 an 2 数列a n 中,a1=1,an+1=an+2n,求 an 3 数列a n满意 an 1=2an3,a1=1, 求 an 4 数列a n满意 an 1=2an3 n+1,a1=1, 求 an 5 数列a n满意 a1=1,a2=5, an+2=5an+12an n=1,2,- ,求 an n113336 数列a n满意 a1=1, an=an 12an an1 n=2,3 ,-,求 an 3答： 1迭乘法a

2、n3n n 12迭加法an2 nn123待定系数法an2n13（4）同除指数a n2n23（5）待定系数法a n32 3 3n（5）同除乘积,倒数成等差an32 n数列的求和 一、教学目标： 1娴熟把握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3熟记一些常用的数列的和的公式二、教学重点： 特别数列求和的方法三、教学过程：（一）主要学问：1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和；（1）等差数列的求和公式：S nn a 12anna 1n n1d2（2）等比数列的求和公式S nna 1 q1 （切记：公比含字母时肯定要争论）a 1 1qn

3、 q1 2公式法：nk212221q1 21 n2n n326k1nk33 1233 3n3n n122k13错位相减法：比如an等差,bn等比an bn 的和.,求a 1b 1a2b 24裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾如干项；常见拆项公式：n11 1n11；1221n1 21nnn nn名师归纳总结 第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2n12n1 1211211nn .学习必备1 .欢迎下载nn .1 2nn5分组求和法：把数列的每一项分成如干项,使其转化为等差或等比数列,再求和；6合并求和法：如求100

4、29929829722212的和；7倒序相加法：8其它求和法：如归纳猜想法,奇偶法等（二）主要方法：1求数列的和留意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2求和过程中留意分类争论思想的运用；3转化思想的运用；（三）例题分析：例 1求和：S n1111112111xn12S nx12xn个12xx2xn思路分析：通过分组,直接用公式求和；解：ak11111010210k1 10k1 n 110 10n1 n10n19n109k 个S n1 101 2 101 10n1 1 102 10n 109999181Snx212x412 x2n1n2x2x4x2111n2nx2n1 x2n2x2x4x2nx

5、2x4x22 xx2n11 x2x2n11 2 n（1）当x1时,S n2 nx2x2x2nx21（2）当x1时,S n4n1 争论；n 项和公式时,要留意公比q1 或q总结：运用等比数列前2错位相减法求和例 2已知数列3,1a ,5 a2,2n1 an1a0 ,求前 n 项和；a0,a ,a2,an1对应项积,可用错位相减法求思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5, 2n-1 与等比数列和；解：S na13a5 a2112n1 an112naSn1S nan3 a2n5a31an2n1ann2第 2 页,共 5 页名师归纳总结 12:1aS n2a2 a22a32 an21 a 2 n2

6、 n1a12 a 1n a11a当1 时, 1a S n1n 1a2 1a 2当a1 时,S nn2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 3.裂项相消法求和例 3.求和Sn22422n2n 21 a2k11 11211121 k 12n n1 练 习 :13351 2n思路分析 :分式求和可用裂项相消法求和. 1解: ak2k2k21 2k2111 2 k2k1 2k11 2k2k1 5S na1a2ann111121111121 1n233nnn2 n2n2n11 a1 求Sn123n答案 : S nan2aa2a3an1 na1a1

7、 ana124.倒序相加法求和例 4 求证：C0 n3 C1 n5 C2 n2n1 Cn nn1 2n2nm C nnCnm思路分析：由CmCnm可用倒序相加法求和；nn 1 证：令S nC03 C152 C n2n1 Cnnnn3 C1C02 就Sn2n1 Cn2 n1 Cn15C2nnnnnn1 2 有:2S n2 n2C02 n2C12n2C22 CnnnnS nn1 C0 nC1 nC2 nCn nn1 2n等式成立5其它求和方法 仍可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和；例 5已知数列an,an2 n1 n,求S n；m22m1 第 3 页,共 5 页思路分析：an2 n21 n,通过分组

8、,对n 分奇偶争论求和；解：an2n21 n,如n2m ,就SnS2m21232m 22m1kk1Sn21232m 2 m1 2mnn1 如n2m,1就SnS 2m1S 2ma2m2m1 2m2 2m1 2m2m1 24m22m2n12n1 2n2n2Snn n12 n 为正偶数n2nn 为正奇数预备 ：已知fxa1xa2x2anxn,且a 1,a2,a3,an成等差数列, n 为正偶数,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又f1 n2,f1 n,试比较f1学习必备欢迎下载3a 1a nn2 n1n与 3 的大小；2解：ff 1a 1a2a

9、 3a nn2a 1an nnn22 n2dd21 1a 1a2a 3a n1anna 1a 1n1d2 na 11a n2 n12d23 125 1x25x3nf112 n1 xfxx322222可求得f131n22n1 1 2f13n, n 为正偶数,222（四）巩固练习：1求以下数列的前n 项和S ：,1 n n2,；2 sin 89 第 4 页,共 5 页（1）5,55,555,5555, ,5 10 9n1, ；（ 2）1 ,1 3 211 ,4 3 5,（3）ann1n1；（4）a,2a2,3a3,nan,；2 sin 3（5） 1 3,24,35, n n2,；（6）2 sin

10、12 sin 2解：（1）S n555555n个55 9 999999n个95599510 9110213 10110n151010210310nn5010n15n 9819n12（2）121 1 2 nn12,n nS n11111111n12111n11232435n22（3）a nn1n1nnn1nn1nn1n1S n211312n1n121 32n1nn11（4）S na2a233 an na ,当a1时,S n12a33nn n1,2 n na当a1时,S na223a,aS na22 a33 a4nan1,两式相减得21a S nnaa2a3annan1a1annan1,1aS n

11、nann1 a1a1a2（5）n n2n22n ,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载7 原式2 12232n 2 2123nn n12n6（6）设S2 sin 12 sin 22 sin 32 sin 89,又S2 sin 892 sin 882 sin 872 sin 1, 2 S89,S8922已知数列 an的通项a n6 n5n 为奇数,求其前 n 项和S n 2n 为偶数解：奇数项组成以a 11为首项,公差为12 的等差数列,偶数项组成以a 24为首项,公比为4 的等比数列；当 n 为奇数时,奇数项有n21项,偶数项有n21项,S nn211 6n5n21n13 n242n11,41 421423当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有n 项,2S nn1 6 n5nn 3 n242n1,41 4 221423所以,S nn13 n242n11n 为奇数23n3 n242n1 n 为偶数23四、小结：1把握各种求和基本方法；2利用等比数列求和公式时留意分q1 或q1争论；第 5 页,共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -