2022年数学公式和知识点3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 公式和学问点（数学）1. 数集的表示：实数集 R ；有理数集 Q ；整数集 Z ；自然数集 N ；复数集 C2. 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；3. 如有限集合 A 有 n 个元素,就 A 的子集有 2 n 个,真子集有 2n 1 个,非空子集有 2n 1 个,非空真子集有 2n 2 个；4. “ 且” 用表示, “ 或” 用表示, “ 全称” 用 表示,“ 存在” 用 表示；5. 全称命题的否定是特称命题,即 x M,p x 的否定是 x0 M,p x 0 ,反之亦可；6. 原命题与逆否命题真假性一样,逆命题与否命题真假性

2、一样；7.AB,就 A 是 B 的充分条件；BA,就 A 是 B 的必要条件；0,底数大于0 且不8. 函数的定义域：分母不为0,偶次方根被开方数大于等于0,对数的真数大于为 1,零次幂的底数不为0,正切的角终边不在y轴上；9. 函数的定义含有三要素,即定义域、对应关系、值域；当两个函数的三要素都分别相同时,这两个函数才是同一个函数；10. 函数奇偶性的定义：对于函数f x的定义域内的任意一个x ,都有fx fx ,就为奇函数；对于函数fx的定义域内的任意一个x ,都有fxfx,就为偶函数；0,就f00,11. 函数奇偶性的性质：奇、偶函数的定义域关于原点对称,如奇函数的定义域包括奇函数的图像

3、关于原点对称,偶函数的图像关于 而偶函数相反；y 轴对称,奇函数在其对称区间上的单调性相同,12. 函数单调性的定义：如函数f x在区间 D 内的x 、x2,当x 1x 2时,都有fx 1fx 2时,就f x f x是区间 D 上的增函数,都有fx 1fx2时,就f x是区间 D 上的减函数；,就13. 周期函数的定义：对于函数f x存在非 0 常数 T ,使得在其定义域内有fxfxT是以 T 为周期的周期函数；名师归纳总结 14. 反函数的定义：一个函数中的x 与 y 调换位置,即y2x的反函数为x2y,原函数的反函数图像关第 1 页,共 9 页于yx对称；15. 函数图像的对称性：如fxb

4、fbxa、bR在定义域成立,就f x关于xa2b对称；16. 幂运算公式：a 01 a0,ap1pQ ,amnama0 ,m、nN*,且n1 ,napamanamn, amnmn a, abnanbn,amanamn17. 对数定义：如abN a0 ,a1,那么 b 叫做 a 为底 N 的对数,记作logaNb,其中 a 称对数的底, N 叫真数；当a10时称常用对数,记为lgN；当 a无理数ee.27时,记为lnN18. 对数运算公式：log a10；logaa1；alogaNN；logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMlogaN；logaMNnlogaM；logaNlogmN

5、（换底公式）Nlogma19. 指数函数yax a0 ,a1的图像总体特点：定义域为R ；值域为0,；恒过点01, 部分特点：当a1时,在 R 上是增函数；当0a1时,在 R 上是减函数；20. 对数函数ylogax a0,a1的图象总体特点：定义域为0,；值域为 R ；恒过点0,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 部分特点：当a1时,在,0上是增函数；当0a1时,在0,上是减函数；21. 幂函数 y x a a R 22. 函数零点的定义：方程 f x 0 有实根 f x 的图象与 x 轴有交点 f x 有零点；函数零点的判定方法：如 f x 在 a

6、 , b 上为单调函数,且有 f a f b 0,就 f x 在 a , b 有零点；23. 导数的概念：设函数 f x 在 x x 0 处邻近有定义,当 x 在 x x 0 处增加x 时,就 y 也有相应的增量y f x 0 x f x 0 ,因此平均变化率为y f x 0 x f x 0 ,当这个数无限接近于某个xx常数时,就把这个常数称为函数 f x 在 x x 0 处的导数,即 f x 0 limx 0 f x 0xx f x 0 24. 函数 f x 在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 f x 在点 x 0 , f x 0 处的切线的斜率；25. 导数公式： C 0 C 为常数

7、； x n nx n 1 n Q ； sin x cos x； cos x sin x； e xe x； a x a xln a； ln x 1； log a x 1x x ln a26. 导数运算法就： f x g x f x g x ； f x g x f x g x f x g x g f xx f x g xg x f2 x g x g x 0 ； f u x y uu x27. 当 f x 0 在 a , b 恒成立,就 f x 在 a , b 上单调递增；当 f x 0 在 a , b 恒成立,就 f x 在 a , b 上单调递减；28. 极值、最值的判定：如在 x 的左侧 f

8、x 0,右侧 f x 0,就 f x 0 是极大值；如在 x 的左侧 f x 0,右侧 f x 0,就 f x 0 是微小值；各极值的和定义域的函数值比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值；名师归纳总结 29. 定积分b afx dx的几何意义：x 轴、曲线f x 以及直线xa、xb所围成的曲边梯形的面积；第 2 页,共 9 页30. 微积分定理：如Fxfx,且fx在a,b 上可积,就b afxdxFxbF b F aa31. 向量的概念：既有大小又有方向；模为0 的向量为零向量,模为1 的向量为单位向量；零向量与任何向量平行 共线 ；方向相同或相反的向量为平行 共线 向量； 长度相等且方向

9、相同的向量为相等向量；两个非零向量a 与 b ,它们的夹角为,就 a 与 b 的数量积为ababcos,规定零向量与任何非零向量的数量积等于0；向量 b 在 a 方向上的投影为b cosaba32. 平面对量的坐标运算：如A x 1,y 1 、B x 2,y2、x 1 ,y 1、x 2,y2 两个向量的是非零向量 ,就abx 1x2,y 1y 2、ABx 2x 1,y2y 1 、abx 1y 1x 2y2；ax 122 y 1；如a b,就x 1y2x2y 10；如ab,就x 1y 1x 2y20；如 a 与 b 的夹角为,就cosx 12x 1x 2y 1y 2y222 y 1x22- -

10、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 33. 弧度制与角度制的转化：180rad,1180rad34. 弧长公式：l r 为圆心角的弧度数 ,扇形面积公式：S 1 r 2 1 lr2 235. 同角三角函数的关系： sin 2 cos 2 1； sin tan k , k Z cos 236. 诱导公式： sin 2 k sin、cos 2 k cos、tan 2 k tan； sin sin、cos cos、tan tan； sin sin、cos cos、tan tan； sin sin、cos cos、tan tan； sin cos、cos sin、sin

11、 cos、cos sin2 2 2 237. 两角和公式： sin sin cos cos sin； cos cos cos sin sin； tan tan tan1 tan tan38. 二倍角公式： sin 2 2 sin cos； cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2； tan 21 2 tantan 239. 帮助角公式：a sin b cos a 2 b 2 sin x 为帮助角 40. 函数 A sin x A ,0 0 可由 y sin x 的图象作如何变换得到： y sin x y sin x ,将 y sin x 图象上全部点向左 0

12、或向右 0 平移 个单位； y sin x sin x ,将 y sinx 图象上全部横坐标伸长 0 1 或缩短 1 到原先的1倍； y sin x y A sin x ,将 y sin x 图象上全部纵坐标伸长 A 1 或缩短 0 A 1 到原先的 A 倍；41. 三个常用三角函数的性质：名师归纳总结 定义域22ysinx2k2kycos x2ytanxk第 3 页,共 9 页RRx2k值域1,11,1R最小正周期22k,0对称中心k,0 2k,0对称轴xk2xk2 k无递增区间2kx2kx2kx2递减区间2 kx32 kx2k无2- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

13、- - - - 42. 正弦定理：aAbBcC2 RR为ABC外接圆的半径 sinsinsin43. 余弦定理：a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC44. 俯角是视线在水平线下方的角；仰角是视线在水平线上方的角；45. 三角形面积公式：SABC1 2ah a是底、 h是高 ；SABC1absinC1 2acsinB1bcsinA2246. 等差数列有关概念定义：如数列an满意anan1dn2,nN*,d为常数 也成等差；通项公式：ana1n1d,也可以写成a namnmdn、mN*等差中项：如三数a、A、b成等差,就 A 为a、b的等差中项,且有A

14、a2b性质：如mnpq,就amanapaq；Sn、S 2nS n、S 3 nS2 n数列前 n 项和：S na 1a nnna 1n n21 d247. 等比数列有关概念名师归纳总结 定义：如数列an满意a n1qn2 ,nN*,q0的常数 第 4 页,共 9 页an通项公式：a na 1 qn1,也可以写成ana mqnmn、mN*等比中项：如三数a、G、b成等比,就 G 为a、b的等比中项,且有G2ab性质：如mnpq,就amanapaq；S n、S 2nS n、S 3nS2 n也成等比；数列前 n 项和：当q1时,Snna 1；当q1时,S na1 1qna 1anq1q1q48.a 与

15、 nS n关系：anS 1nS1 n2 任何数列都可用 n1S n49. 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积公式：直棱柱侧面积Schc为底面周长, h 为高 ；正棱锥侧面积S1ch c为底面周长,h 为斜高 ；正棱台侧面积S1cc h c、c分别为上、下底面周22长,h为斜高 ；棱柱体积VSh S为底面积, h 为高 ；棱锥体积V1Sh S为底面积, h 为3高 ；棱台体积V1 S SS S h S、S 为上、下底面积,h 为高 350. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式：圆棱柱侧面积S2rhr为底面半径,h为高 ；圆锥侧面积Srlr为底面半径, l 为母线长 ；圆台侧面积Srrlr、r为上、下

16、底面半径,l为母线长 ；圆柱体积VSh S为底面积, h为高 ；圆锥体积V1Sh S为底面积, h 为高 ；3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 棱台体积V1 S SS S h S、S 为上、下底面积,h 为高 351. 球的表面积和体积公式：S4 R 2,V4R 3R为球的半径）y352. 平面直观图 - 斜二测画法特点：x oy45；平行于x、y轴的线段在直观图中平行于x 、轴的线段；平行于x 轴的线段在直观图中保持原长度,平行于y 轴的线段在直观图中为原长的一半；53. 直线与平面平行判定与性质定理a、b、m、n为线段, A 为点,、为平面 判定定

17、理：如a、b、ab,就a；性质定理：如a、a、b,就ab54. 平面与平面平行判定与性质定理：判定定理：如a、b、abA、a、bb就；性质定理：如、a、b,就a55. 直线与平面垂直判定与性质定理：判定定理：如am、an、ma 、n、mnA,就 a；性质定理：如a、b,就b56. 平面与平面垂直判定与性质定理：判定定理：如 a、a,就；性质定理：如、b、a b、a,就 a57. 空间向量的坐标运算： 可仿照 32. 的公式 58. 平面法向量的求法：设平面 的法向量 n x , y , z ,在平面 内任意找两个不共线的向量 a 和 b ,由n 可得 a n 0 和 b n 0,由此解得 x、

18、y、z 的关系式,按比例设数字可得到 n x , y , z 59. 点到平面的距离公式：设法向量 n 为平面 的法向量, 点 A 是平面 外的肯定点, 点 B 是平面 内的AB n任意一点,就点 A到平面 的距离 dn60. 倾斜角：直线向上的方向与 x轴的正方向所成的最小正角,范畴为 ,0 ；斜率：过两点 A x 1 , y 1 、B x 2 , y 2 x 1 x 2 时,倾斜角不为 90 ,就斜率 k tan y 2 y 1；当x 2 x 1x 1 x 2 时,倾斜角为 90 ,斜率不存在；61. 直线的截距： 直线与 x 轴的交点的横坐标为直线在y 轴上的截距；x轴上的截距； 直线与

19、y轴的交点的纵坐标为直线在名师归纳总结 62. 直线方程的基本形式 由于有两种形式少用,就不写了 ；l22k 1k2；第 5 页,共 9 页一般式：AxByC0A、B不全为 0 ；点斜式：直线过点x0y 0且斜率为 k ,就直线方程为yy0kxx 0kxb斜截式：已知直线的斜率为k且在y轴上的截距为b,就直线方程为y2,就l 163. 两直线平行、垂直的充要条件：如不重合的直线l 、1l2的斜率分别是k 、1kl1l2k 1k212x 2、yy 1y264. 中点坐标公式：如Ax 1,y 1、Bx 2,y2两点间的中点Mx ,y ,就xx 165. 两点间距离公式：如Ax 1,y 1、Bx 2

20、,y2,就ABx 1x22y 1y 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 66. 点到直线距离公式：点x 0y 0到直线 l ：AxByC0的距离dAx 0By0CA2B 267. 两平行直线间距离公式：如直线l1:AxByC 10,l2:AxByC20,就 1l 与2l间距离为；dC 1C 22A 2Bb；点a,b 关于 y 轴对称的点为a,b68. 几种特别的对称：点a,b关于 x 轴对称的点为a,关于xyc；点a,b关于原点对称的点为a,b；点a,b0对称的点为ca,cb点a,b关于xyc0对称的点为ca,cb69. 圆的相关概念：定义：平面内与

21、定点 圆心 的距离 半径 恒定不变的点的集合 轨迹 ；标准方程： x a 2 y b 2 r 2,其中圆心为 a , b ,半径为 r2 2一般方程：x 2 y 2 Dx Ey F 0,其中圆心为 D , E ,半径为 D E 4 F2 2 270. 点与圆的位置关系：如点与圆心的距离为 d,半径为 r ,就 d r 点在圆上；d r 点在圆内；d r 点在圆外；71. 判定直线与圆的关系：几何法：直线与圆心距离为 d,半径为r,就相交 d r；相切 d r；相离 d r；代数法：由直线方程与圆的方程联立,消元得到一元二次方程,就相交0；相切0；相离072. 圆与圆之间的关系： 如两圆的半径分

22、别为 r 、r 2,连心距为 d ,就 d r 1 r 2 外离 4 条公切线； d r 1 r 2 外切 3 条公切线； r 1 r 2 d r 1 r 2 相交 2 条公切线； d r 1 r 2内切 1 条公切线； 0 d r 1 r 2 内含 无公切线73. 椭圆的定义：平面内与两定点 F 、1 F 2 的距离之和等于常数 2 a 2 a F 1F 2 的点的轨迹,这两个定点为椭圆的焦点,两焦点的距离为焦距；与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离心率 常数 0 e 1 的点的轨迹；74. 两种椭圆的相同点与不同点：不同点： 当焦点在 x 轴时,标准方程 xa 22 b y 22 1

23、 a b 0 ,范畴 a x a、b y b,两焦点2 2 c , 0 、c , 0 ,顶点 a 0, 、a , 0 、0 , b 、0 , b ；当焦点在 y 轴时,标准方程a x2 b y2 1 a b 0 ,范畴 b x b、a y a,两焦点 ,0 c 、0 , c ,顶点 0 , a 、0 , a 、b 0, 、b , 0 相同点：焦距 2 c,长轴长 2 a,短轴长 2 b,a 2 b 2 c 2,离心率 e c 0 e 1a75. 双曲线的定义：平面内与两定点 F 、1 F 2 的距离之差的肯定值等于常数 2 a 2 a F 1F 2 的点的轨迹,这两个定点为双曲线的焦点,两焦点

24、的距离为焦距；与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离心率 常数 e 1 的点的轨迹；76. 两种双曲线的相同点与不同点：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不同点：当焦点在x 轴时,标准方程x 2y21 a、b0 ,范畴xa或xa,两焦点2a2bc ,0 、c,0,顶点a0,、a,0 ,渐近线方程ybx；当焦点在 y 轴时,标准方程ay2x21a、b0,范畴,0c 、0,c ,顶点0,a 、0,a,渐近线方程yaxa2b2b,虚轴长2 b,c2a2b2,离心率ece1相同点：焦距2 c,实轴长2 aa77. 抛物线

25、的定义：平面内与肯定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹,定点F为抛物线的焦点,定直线为准线；78. 四种不同的抛物线：标准方程y22px p0,焦点 p 20,准线方程xp,范畴x0,e1；如2标准方程y22px p0,焦点p,0 ,准线方程xp,范畴x0,e1；22标准方程x22pyp0,焦点,0p,准线方程yp,范畴y0,e1；22标准方程x22py p0,焦点 0,p,准线方程yp,范畴y0,e1；2279. 直线与圆锥曲线的位置关系判定方法：由直线方程与圆锥曲线的方程联立,消元得到一元二次方程,0,就有两个交点；0,就有一个交点；0,就无交点80. 统计图表：频率分布表：反映总体频

26、率分布的表格,表格主要有分组、频数、频率等三个项目；频率分布直方图： 在直角坐标系中用横坐标表示数据的分组区间,纵坐标表示频率与组距的比值,小矩形的面积表示相应分组的频率；81. 数字特点：众数：在一组数据中显现得最多的数据；中位数：把一组数据按大到小依次排列,处于中间位置的一个数据 或中间两个数据的平均数；平均数： 一组数据的总和与数据个数的比值；x 方差：如一组数据为x 1、x 2xn,平均数为 x ,就方差为s2x 1x 2x 2x 2x n2；n方差的算术平方根为标准差；82. 用样本数字特点估量总体的数字特点：反映数据的集中趋势有中位数、众数、平均数；反映数据的 离散程度有方差、标准

27、差；名师归纳总结 nn第 7 页,共 9 页x iyinx yx ixyiy83. 线性回来方程y.abxa、b是回来系数）,公式为bi1x i2n x2i1nx ix2；ni1i1aybxx、y为平均数 84. 计数原理：加法原理：做一件事,完成它有n类方法,在第一类方法有m 种不同方法,在其次类办法有m 种不同方法, 在第 2n 类方法有m 种不同方法,就完成这件事有 nNm 1m2mn种不同方法；乘法原理：做一件事,完成它要n个步骤,第一步有m 种不同方法,其次步有m 种不同方法, 第n步有m 种不同方法,就完成这件事有Nm 1m2m n种不同方法；85. 排列：从 n 个不同的元素中任

28、取mmn个元素,按肯定次序排成一列,用m A n表示；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 公式：Am nnn1 n2 nm1nn .n .nn1 n2321为 n 的阶乘 m .86. 组合 : 从 n 个不同的元素中任取mmn个元素合成一组,用Cm n表示；n C n bn公式：Cm nnn1 n2 nm1 n .Cr nanrr bm .m .nm.87. 二项式定理：ab nC0 nanC1 nan1 bC2 nan2b2通项T k1Cr nanrbrr,1,0 2n ,它绽开式有r1项88. 二项式系数的性质：对称性：在绽开式中,与首末两端等距离

29、的两个二项式系数相等,即Cn nC1 n,Cr nC n nr；二项式系数先增后减,在中间取得最大值；C0 nC1 nC n n2nC0 nC2 nC1 nC3 nC5 n2n189. 大事的关系：互斥大事：不能同时发生的两个大事；对立大事：不能同时发生且必有一个发生的两 个大事；对立大事肯定是互斥大事,互斥时间不肯定是对立大事；名师归纳总结 90. 如离散型随机变量X的分布列为：第 8 页,共 9 页XX1 X2 Xi Xn p P1 P2 Pi Pn 就数学期望 均值 EXx 1p 1x2p2xnpn；如YaXb,就EYEaXb；如 X 听从两点分布,就EXp；如XBn,p,就EXnp；方差DXx 1EX2p 1xnEX2p n；它的算术平方根DX 为标准差,用X表示；如YaXb,就DYa2DX；如 X 听从两点分布,就EXp 1p；如XBn,p,就DXnp 1p91. 正态曲线函数：,1e2 x为数学期望,为标准差 22性质：曲线在x轴上方,无限靠近x轴；曲线关于x对称；当 x时有最大值1；2在x,时递增,在x,时递减；曲线与x轴的面积为1；当肯定时,当越小,曲线越瘦高,当越大,曲线越矮肥；92. 三个特别区间的取值概率：PX0. 6826；P2X2.09544；P