2022年数学必修一全部知识点+经典题+解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学必修一看题复习注：以下内容总结了数学必修一常考题型,请仔细看完每一种类型的题目,题目给出了相应的解析；如解析仍旧看不懂,带着问题看每道例题前面的基础学问复习；注：看题时留意动笔写一写,本次要求是娴熟每种题目的做题方法,以看和记忆为主；集合部分考点一：集合的定义及其关系 基础学问复习（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 .（2）常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一.

2、 （4）集合的表示法 自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集. （6）子集、真子集、集合相等名师归纳总结 名称记号意义性质AB示意图BA第 1 页,共 28 页子集ABA 中的任一1AA 或2A3如AB且元 素 都 属（或BA BC ,就 AC于 B 4如AB且真子集AB AB,且BA ,就 ABBA（1）A（A 为

3、非空子集）B 中至少有（或 BA）2如AB且一 元 素 不属于 A BC ,就 AC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 中的任一集合AB元 素 都 属1AB AB于 B,B 中相等2BA 的 任 一 元素都属于 A （7）已知集合 A 有n n1个元素,就它有2 n 个子集,它有2 n1 个真子集,它有n 21个非空真子集 . 非空子集,它有2 n2题型 1：集合元素的基本特点例 1（2022 年江西理）定义集合运算：A Bz zxy xA yB 设A1,2 ,B0,2,就集合 AB 的全部元素之和为（）A0；B2； C3；D6 解题思路 依据 A

4、B 的定义,让 x 在 A 中逐一取值,让 y 在 B 中逐一取值,xy在值就是A B 的元素解析 ：正确解答此题 ,必需清晰集合 A B 中的元素,明显,依据题中定义的集合运算知A B = ,0 ,2 4,故应挑选 D 题型 2：集合间的基本关系例 2.1数集X2n1 ,nZ与Y4 kY1 ,kZ之的关系是（）A XY ；B YX ； C XY； DX解题思路 可有两种思路： 一是将 X 和 Y 的元素列举出来,间的关系进行判定；然后进行判定； 也可依挑选支之名师归纳总结 解析 从题意看,数集X 与 Y 之间必定有关系,假如A成立,就 D就成立,这不行能；第 2 页,共 28 页同样, B也

5、不能成立；而假如D成立,就 A、B 中必有一个成立,这也不行能,所以只能是C 【例 2.2】设集合Ax xn n 2Z,Bx|xn1,nZ ,就以下图形能表示A 与 B 关2系 的ABBAABAB是（）. ABCD解：简洁列举两个集合的一些元素,A,31,1,0,1,1,3,B,3,1 1 3 , ,2 2 2,22222易知 BA,故答案选A 例 2.3 如集合Mx x2x60 ,Nx ax10,且 NM ,求实数 a 的值 . 解：由x2x60x2 或3,因此,M2, 3.（i）如a0时,得 N,此时, NM ；（ii）如a0时,得N1. 如 NM ,满意1 a2 或13,解得a1或a1.

6、 aa23故所求实数a 的值为 0 或1 2或13考点二：集合的基本运算- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 基础学问复习1交集的定义 ：一般地,由全部属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 AB读作”A 交 B” ,即 AB=x|x A,且 xB2、并集的定义 ：一般地,由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的并集；记作：AB读作”A 并 B” ,即 AB=x|x A,或 x B3、交集与并集的性质：AA = A,A = , AB = BA, AA = A,A = A , AB = BA. 4、

7、全集与补集名师归纳总结 （1）全集：假如集合S含有我们所要争论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一第 3 页,共 28 页个全集；通常用U 来表示；（2）补集：设S是一个集合, A 是 S的一个子集（即AS）,由 S中S A 全部不属于A 的元素组成的集合,叫做S中子集 A 的补集（或余集） ；记作：CSA ,即 CSA =x | xS且 xA （3）性质： CUC UA=A C UAA=C UA A=U CsA 4C UAC UB=C UAB 5C UAC UB=C UAB 例 3.1 设集合Axx23x20,Bxx22 a1xa250（1）如AB2,求实数 a 的值；（注：这里的I

8、指的是交, Y 指的是并）（2）如ABA,求实数 a 的取值 范畴解题思路 对于含参数的集合的运算,第一解出不含参数的集合,然后依据已知条件求参数；解析 由于Axx23 x20,1 2,（1）由AB2知,2B,从而得224 a1a25 0,即a24a30,解得a1或a3当a1时,Bxx240,22,满意条件；当a3时,Bxx24x402,满意条件所以a1 或a3（2）对于集合 B ,由4 a1 24 a258 a3 由于ABA,所以BA当0 ,即a3时, B,满意条件；当0 ,即a3时,B2,满意条件；当0 ,即a3时,BA,1 2才能满意条件,- - - - - - -精选学习资料 - -

9、- - - - - - - 由根与系数的关系得12a2a1 a25,冲突21225a7故实数 a 的取值 范畴是a3x 例 3.2 已知集合Ax|2x4,Bx xm ,且 AIBA,求实数 m 的取值范畴 . （注：这里的I 指的是交, Y 指的是并）解：由 AIBA,可得 AB . 在数轴上表示集合A 与集合 B,如右图所示：BA由图形可知,m4. -2 4 m 例 3.3 设集合A4,2a1,a2,B9,a5,1a ,如AIB9,求实数 a 的值 . （注：这里的I 指的是交, Y 指的是并）解：由于A4,2a1,a2,B9,a5,1a ,且AIB9,就有：当 2a1 9 时,解得a ,此

10、时A =4, 9, 25,B =9, 0, 4,不合题意,故舍去；当2 a 时,解得a 或3. a 时,A =4,5,9,B=9,2,2,不合题意,故舍去；a ,A =4, , ,B=9, 8, 4,合题意 . 所以,a3函数部分考点一：判定两函数是否为同一个函数基础学问复习 ：1.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域留意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以, 假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判

11、定方法：定义域一样；表达式相同两点必需同时具备 例 1 试判定以下各组函数是否表示同一函数？（1）fxx2,g x 3x3；2n1（nN*）；（2）x,0x x,gx 11fxx;0（3）fx2n1x2n1,gx2n1x（4）x1,gx x2tx；fxx（5）fxx22x1,gtt221 解题思路 要判定两个函数是否表示同一个函数,就要考查函数的三要素；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 （1）由于fxx 2x,g x 3x3x,故它们的值域及对应法就都不相同,所以它们不是同一函数. . 11x,0 ;0的定（

12、2）由于函数fx x的定义域为0,0,而gx x1x义域为 R,所以它们不是同一函数. 2nx2n1x,（3）由于当 nN*时,2n1 为奇数, fx 2n1x2n1x,gxx2x的定义域它们的定义域、值域及对应法就都相同,所以它们是同一函数. （4）由于函数fx xx1的定义域为xx0,而gx 为xx0 或x1,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法就都相同,所以它们是同一函数答案 （1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数考点二：求函数的定义域、值域学问点复习：1.求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x

13、 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1 y tan x 中,x k k Z 2零（负）指数幂的底数不能为零没有 0 的 0 次方,也没有 0 的负数次方；如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,主要记住两个个问题,1,定义域指的是一个x 的取值范畴； 2,括号范畴对括号范畴；例如：f（x+1）定义域是（ 1,2）,求 f（2x）定义域,先求第一个括号的范畴

14、 x+1 属于（ 2,3）,所以 2x 属于（ 2,3）,所以 x 属于（ 1,3/2）；对于含字母参数的函数,求其定义域, 依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义2求值域的几种方法：（1）配方法：对于（可化为）“ 二次函数型 ” 的函数常用配方法（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数名师归纳总结 ylog1x22x3就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求；第 5 页,共 28 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）判别式

15、法：通过对二次方程的实根的判别求值域；如求函数0yx22x12的值域02x由yx22xx12得yx22 y1 x2y10,如y,就得1x,所以y22是 函 数 值 域 中 的 一 个 值 ； 如 y 0, 就 由 2 y 1 2 4 y 2 y 1 0 得3 13 3 13 3 13 3 13y 且 y 0,故所求值域是 , 2 2 2 2（4）分别常数法 ：常用来求 “ 分式型 ” 函数的值域；已知 cos x 属于（ -1 ,1）如求函数y 2 cos x 3 的值域,由于cos x 12 cos x 3 5y 2,由于 cos x 属于（ -1,1）,所以 cosx 1 0 , 2 ,所

16、以cos x 1 cos x 15 , 5,故cos x 1 21y , 2（5）利用对号函数求值域：如求函数 y 2 3 x的值域x 41. 当 x 0 时,y 0；2. 当 x 0 时,yx 34,如 x 0,就 x+4/x 的最小值是 4,可得 0y3/4 x如 x 0,就, x+4/x 的最大值是 -4；可得 -3/4y0 综上所述：此时从而得所求值域是 3, 3 4 4（6）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,在一个表达式中频繁显现的部分换成 t ；留意换元后新元的取值范畴：另*=t ,就 t 属于 （7）图象法：假如函数的图象比较简洁作出,就可依据图象直观地得出函数的

17、值域（求某 些分段函数的值域常用此法）；题型 1：求有解析式的函数的定义域 例 2. （08 年湖北）函数fx1lnx2,3x0,201,x23x4 ,4的定义域为 x（注：这里的I 指的是交, Y 指的是并）4;D. ,00 1, A.,4 2 ,;B.4,001,；C. 解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范畴；名师归纳总结 解析 欲使函数fx有意义,必需并且只需第 6 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x23 x20xx23 x40x23 x40x4 ,01,0 ,故应挑选 Dx23 x20题型

18、 2：求抽象函数的定义域 例 3 （ 2006 湖北）设fxlg2x,就fxf2的定义域为（）2x2x（注：这里的I 指的是交, Y 指的是并）；D. ,422 4,A. ,400 4,；B. 4 ,1,1 4； C. ,21,1 2f x解题思路 要求复合函数fxf2的定义域,应先求的定义域；2x 解析 由2 2x0得,f x 的定义域为2x2,故2x2,2x222.x解得x4, 1U1,4；故fxf2的定义域为4 ,1,1 4.选 B. 2x题型 3；求函数的值域 例 4 求以下函数的定义域与值域：（1）y3 x42； （ 2）yx2x2. 5x解：（1）要使函数有意义, 就 54x0,解

19、得x5. 所以原函数的定义域是x x5. 44y3 x42112x48134x5233523x303, 所 以 值 域 为5x45x454x4444y y3 4. （2）yx2x2x129. 所以原函数的定义域是R,值域是,9. 244考点三：映射的概念基础学问复习映射的概念设 A、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,记作f:AB A,B以及A到B的对给定一个集合A 到集合 B 的映射,且aA bB假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫

20、做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5 （ 06 陕西）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 密文（加密）,接收方 由 密 文 明 文 （ 解 密 ）, 已 知 加 密 规 就 为 ： 明 文 a b c d 对 应 密 文a 2 ,2 b c ,2 c 3 ,4 d 例如,明文 1,2,3, 4 对应密文 5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28 时,就解密得到的明文为（）A 7,6,1, 4 ；B 6,4,1,7 ；C 4,6,1,7

21、；D1,6, 4,7解题思路 密文与明文之间是有对应规章的,只要依据对应规章进行对应即可；解析 当接收方收到密文14,9,23,28 时,Ca2b14a6有2 b3c9,解得b4,解密得到的明文为2 cd23c14 d28d7考点四：函数的表达式题型 1：由复合函数的解析式求原先函数的解析式 例 6（04 湖北改编）已知f1x=1x2,就fx 的解析式可取为1x21x 解题思路 这是复合函数的解析式求原先函数的解析式,应当首选换元法 解析 令12xt,就xt1,f t2t1. fxx2x1. 1xt12t2故应填12xx题型 2：求二次函数的解析式名师归纳总结 例 7 （普宁市城东中学09 届

22、高三其次次月考） 二次函数fx满意fx1 fx2x,第 8 页,共 28 页且f01；求fx的解析式；fx的图象恒在y2xm的图象上方,试确定实数m 的范畴；在区间1,1 上,y 解题思路 （1）由于已知fx是二次函数,故可应用待定系数法 求解；（ 2）用数表示形,可得求2xmfx对于x1 1,恒成立, 从而通过分别参数, 求函数的最值即可；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 设f x 2 axbxc a0,就f x1f x a x2 1b x1cxax2bxcc1,2axaba1, 又1f0与已知条件比较得：2 ab2,0解之得,abf x x2

23、x123x1对x1,1恒成立,由题意得：x2x12xm 即m易得mx23 x1 min1考点五：分段函数基础学问复习：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形留意：（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集题型 1：依据分段函数的图象写解析式例 8 07 年湖北 为了预防流感,某学校对教室用药物消毒法进行消毒； 已知药物释放过程中,室内每

24、立方米空气中含药量 y（ 毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为1 ay 1（a 为常数）,如下列图, 依据图中供应的信息,回答以下问题：16（）从药物释放开妈,每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系式为；（）据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 么从药物释放开头,至少需要经过0.25 毫克以下时,同学方可进教室,那 小时后,同学才能回到教室；思路点拨 依据题意,药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t 是一次函数,药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系是已知的,由特殊点的坐标确定其中的参数,然后再由所得的表达式解决（）名师归纳

25、总结 解析 （）观看图象,当0t0 1.时是直线,故ty010 ；当t.01时,图象过0 .1,1 第 9 页,共 28 页所以110.1a,即at1.10 t,00 . 1,所以y1t0.1,0 .11616- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）1.01a0. 2510.1a1.05t0.6,所以至少需要经过0 6.小时161616题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象例 9 2006 上海 设函数fxx24x5,在区间2,6上画出函数fx 的图像； 思路 点 拨 需 将来肯定值符号打开,即先解5x2x4x550,然后依分界点将函数分段表示,再画出

26、图象；解析 f x x24xx52x51 或5x6,如右上图 . 24x24x1x考点六函数的单调性基础学问复习：定义及判定方法函数的定义y图象xx判定方法性 质假如对于属于定义域I 内y=fXfx （1）利用定义某个区间上的任意两个（2）利用已知函数自变量的值x 1、 x2, 当 x1 的单调性函数的x2时,都有 fx1fx2,ofx （3）利用函数图象（在某个区间图那么就说fx在这个区x 1x 2象上升为增）间上是 增函数（4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I 内yy=fX（1）利用定义（2）利用已知函数某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当 x1fx2,fx （在某个区间

27、图那么就说fx在这个区x1x 2象下降为减）间上是 减函数（4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去 一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数名师归纳总结 对于复合函数yf g x ,令uug x ,如yf u 为增,ug x 为增,就第 10 页,共 28 页yf g x 为增；如yf u 为减,g x 为减,就yf g x 为增；如yf u - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为增,ug x 为减,就yf g x 为减；如yf u 为减,ug x 为增,就yf g x 为减xaa0的图象与性质

28、f x （2）打“ ” 函数xyo xf x 分别在,a 、 a,上为增函数,分别在a,0、0,a 上为减函数题型 1：争论函数的单调性名师归纳总结 例 9.1试用函数单调性的定义判定函数f 2x在区间（ 0,1）上的单调性 . 第 11 页,共 28 页x1解：任取x 1,x 0,1,且x 1x . 就f x 1f x 22x 12x22x 2xx 11. x 11x21x 112由 于0x 1x21,x 110,x210,x 2x 10, 故f x 1fx 20, 即f x 1f x2. 所以,函数f x 2x1在（ 0,1）上是减函数 . x例 9.2求以下函数的单调区间：（1）y|x1

29、|2x4|；（2）yx22 |x|3. 3 x3,x1解：（1）y|x1|2x4 |x5,2x1,其图象如右. 3x3,x2由图可知,函数在 2, 上是增函数,在, 2 上是减函数 . （2）yx22 |x|3x22x3,x0,其图象如右. x22x3,x0由图可知,函数在, 1 、 0,1 上是增函数,在 1,0 、 1, 上是减函数 . 例 9.3.已知f 3 x1,指出f x 的单调区间 . x2解：f x 3x253x52,x2 把g x 5的图象沿x 轴方向向左平移2 个单位,再沿y 轴向上平移3 个单位,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

30、得到f x 的图象,如下列图. 由图象得f x 在 , 2 单调递增,在 2, 上单调递增 . 题型 2：争论抽象函数的单调性 例 10 定义在 R 上的函数yfx,f0 0,当 x0 时,fx1,且对任意的a、bR,有 f（a+b）=f（a）f（ b）. （1）求证： f（0）=1；（2）求证：对任意的 xR,恒有 f（x） 0；（3）求证： f（x）是 R 上的增函数；（4）如 f（x）f（ 2xx2） 1,求 x 的取值范畴 . 解题思路 抽象函数问题要充分利用“恒成立 ” 进行 “ 赋值 ”,从关键等式和不等式的特点入手； 解析 （1）证明：令 a=b=0,就 f（ 0）=f 2（0）

31、. 又 f（0） 0, f（0）=1. （2）证明：当 x0 时, x0,f（0）=f（x）f（ x）=1. f（ x）=f10.又 x0时 f（x） 10,x xR 时,恒有 f（x） 0. （3）证明：设 x1x2,就 x2x10. f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1） f（x1）. x2x10, f（x2x1） 1. 又 f（x1） 0, f（x2x1）f（x1） f（x1） . f（x2） f（x1）.f（x）是 R 上的增函数 . （4）解：由 f（ x） f（2xx2） 1,f（ 0）=1 得 f（ 3xx2） f（0）.又 f（x）是 R 上的增函数,3xx20.0x3. 考点七 最值的求法题型 1：求分式函数的最值例 11 （2000 年上海）已知函数fx 1x22xa, x,1.x当a1时,求函数fx的最小值；2,这是典型的“ 对钩函数 ” ,欲求其最小值,2 解题思路 当a1时,fxx22x可以考虑均值不等式或导数；名师归纳总结 解析 当a1时,fx xf12,fx1212第