2022年数学教案直线和圆教师版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载直线与圆 教案1、直线的倾斜角：（1）定义 ：在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l ,假如把 x 轴围着交点按 逆时针方向转到和 直线 l 重合 时所转的 最小正角 记为,那么 就叫做直线的倾斜角；当直线 l 与 x 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0；（2）倾斜角的范畴 0 ,；如（ 1）直线 x cos 3 y 2 0 的倾斜角的范畴是 0, 5,；6 6（ 2 ） 过 点 P 3 1, , Q 0 , m 的 直 线 的 倾 斜 角 的 范 围 , 2 , 那么 m 值 的 范 围 是3 3_ m 2 或

2、m 4 _2、直线的斜率 ：（1）定义 ：倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ,即 k tan 90 ；倾斜角为 90 的直线没有斜率；y 1 y 2（2）斜率公式 ：经过两点 P x 1 , y 1 、P 2 x 2 , y 2 的直线的斜率为 k x 1 x 2；（3）直线的x 1 x 2方向向量 a 1, k,直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用 ：证明三点共线：k AB k BC；如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；（2）实数 ,x y满意 3 x 2 y 5 0 1 x 3 ,就 y 的最大值、最小值分别为 _2 ,

3、1 _ x 33、直线的方程 ：（1）点斜式 ：已知直线过点 x 0 , y 0 斜率为 k ,就直线方程为 y y 0 k x x 0 ,它不包括垂直于 x 轴的直线；（2）斜截式 ：已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,就直线方程为 y kx b ,它不包括垂直于 x 轴的直线；（3）两点式 ：已知直线经过P x y 1、P 2x2,y 2两点,就直线方程为yy 1xx1,它不包y2y 1x2x1括垂直于坐标轴的直线；名师归纳总结 - - - - - - -（4）截距式 ：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为a b ,就直线方程为xy1,它不包括垂直于坐标ab轴的直线和过原点的

4、直线；（5）一般式 ：任何直线均可写成AxByC0A,B 不同时为 0的形式；如（ 1）经过点（ 2,1）且方向向量为v =1,3 的直线的点斜式方程是y13x2；（2）直线 m2x2m1y3m40,不管 m 怎样变化恒过点 1, 2 ；（3）如曲线ya x 与yxa a0有两个公共点,就a 的取值范畴是a14 过点A 1,4,且纵横截距的肯定值相等的直线共有_3_条4. 设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b,常设其方程为ykxb ；（2）知直线横截距0x ,常设其方程为xmyx 它不适用于斜率为0 的直线 ；（3）知直线过点x0,y 0,当斜率 k 存在时,常设其方程为yk xx0

5、y ,当斜率 k不存在时,第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就其方程为xx ；C0学习必备欢迎下载ByC 10；（4）与直线l:AxBy平行的直线可表示为Ax（5）与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC 10. 提示 ：求直线方程的基本思想和方法是恰当挑选方程的形式,利用待定系数法求解；5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点 P x 0 , y 0 到直线 Ax By C 0 的距离 d Ax 0A 2 By 0B 2 C；C 1 C 2（2）两平行线 l 1 : Ax By C 1 0, l 2 : Ax By C 2 0 间的距离

6、为 d 2 2；A B6、直线 l 1 : A x B y C 1 0 与直线 l 2 : A x B y C 2 0 的位置关系 ：（1）平行 A B 2 A B 1 0（斜率）且 B C 2 B C 1 0（在 y 轴上截距）；（2）相交 A B 2 A B 1 0；（3）重合 A B 2 A B 1 0 且 B C 2 B C 1 0；提示 ：（1）A 1 B 1 C 1、A 1 B 1、A 1 B 1 C 1仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 A 2 B 2 C 2条件！为什么？（ 2） 在解析几何中,讨论两条直线的位置关系时,有可能这两条直线

7、重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（ 3） 直线 l 1 : A x B y C 1 0 与直线 l 2 : A x B y C 2 0 垂直 A A 2 B B 2 0；如（ 1）设直线l 1: x my 6 0 和 l 2: m 2 x 3 y 2 m 0,当 m _1_时 1l 2l ；当 m _1 _时 1l 2l ；当 m 3 且 m 1 时 1l 与 2l 相交；当 m _3_时1l 与 2l 重合；2（2）已知直线 l 的方程为 3 x 4 y 12 0,就与 l 平行,且过点（1, 3）的直线方程是 _；3 x 4 y 9 0（ 3） 两条直线 ax y

8、 4 0 与 x y 2 0 相交于第一象限,就实数 a 的取值范畴是 _；1 a 2（ 4） 设 a b c 分别是ABC 中 A 、 B、 C 所对边的边长,就直线 x sin A ay c 0 与bx y sin B sin C 0 的位置关系是 _；垂直7、对称 （中心对称和轴对称）问题代入法：如（1）已知点 M a b 与点 N 关于 x 轴对称,点 P与点 N 关于 y 轴对称,点 Q 与点 P关于直线 x y 0对称,就点 Q 的坐标为 _； , （2）已知直线 1l 与 2l 的夹角平分线为 y x ,如 1l 的方程为 ax by c 0 ab 0,那么 2l 的方程是_；b

9、x ay c 0（3）点（,）关于直线 l 的对称点为 2,7,就 l 的方程是 _；（4）已知一束光线通过点（,）,经直线 l :3x4y+4=0 反射；假如反射光线通过点（,15）,就反射光线所在直线的方程是 _；y=3x3（5）已知 ABC 顶点 A3 , ,边上的中线所在直线的方程为 6x+10y 59=0, B 的平分线所在的方程为 x 4y+10=0 ,求边所在的直线方程；18xy 51 0提示 ：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解；8、圆的方程 ：名师归纳总结 圆的标准方程：xa2yb2r2；2E24F0,第 2 页,共 8 页圆的一般方程：x2y2DxEyF0D

10、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AD,E,特殊提示 ：只有当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0才表示圆心为22半径为1D2E24F 的圆C0,且2（二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是什么？（B0且D2E24AF0）；1；3Ax y 1 1,B x 2,y 2为直径端点的圆方程xx 1xx 2yy 1yy 20如（ 1）圆 C 与圆x12y21关于直线 yx对称,就圆C 的方程为x2y2 1（2）圆心在直线2xy3上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_；_；0,x3 2y3 29或x1 2y121（3

11、）假如直线 l 将圆： x2+y2-2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么l 的斜率的取值范畴是2 ）名师归纳总结 - - - - - - -（4）方程 x2+yx+y+k=0 表示一个圆,就实数k 的取值范畴为 _；k129、点与圆的位置关系：已知点Mx 0,y 0及圆C：x-a2yb2r2r0,（1）点 M 在圆 C外CMrx 0a2y 0b22 r ；（ 2）点 M 在圆 C 内CMrx 0a2y 0b22 r ；（3）点 M 在圆 C 上CMrx 0a2y 0b22 r ；如点 P5a+1,12a在圆 x y2=1 的内部 ,就 a 的取值范畴是 _| a|11310、直线与圆的位

12、置关系：直线l:AxByC0和圆C：xa2yb2r2r0有相交、相离、相切；可从代数和几何两个方面来判定：（ 1）代数方法（判定直线与圆方程联立所得方程组的解的情形）：0相交；0相离；0相切；：设圆心到直线的距离为d ,就 dr相交；（ 2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）dr 相离； d r 相切；提示 ：判定直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷；离如（ 1）圆2x22y21与直线xsiny10R ,2k,kz 的位置关系为 _；相（ 2）如直线axby30与圆x2y24x10切于点P 1,2,就 ab 的值 _2_；（ 3）直线x2y0被曲线x2y26x2y150 所截得的弦

13、长等于4 5；（4）一束光线从点A 1,1动身经 x 轴反射到圆C:x-22+y-32=1 上的最短路程是4 ；（ 5）已知圆 C：x2y125,直线 L：mxy1m0；求证：对mR ,直线 L 与圆 C第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A 、B 两点,如 AB 17,求 L 的倾斜角；求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程 . 60 或 120 最长：y 1,最短：x 111、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判定）：已知两圆的圆心分别为 O 1,O 2,半径分别为

14、r r ,就（ 1）当 |O O 2 r 1 r 时,两圆外离； （2）当 |O O 2 r 1 r 时,两圆外切； （3）当r 1 r 2 |O O 2 r 1 r 时,两圆相交； （4）当 |O O 2 r 1 r 2 | 时,两圆内切； （5）当 0 |O O 2 r 1 r 2 |时,两圆内含；12、圆的切线与弦长：1切线：过圆 x 2y 2R 上一点 2P x 0 , y 0 圆的切线方程 是：xx 0 yy 0 R ,2过圆 x a 2 y b 2R 上一点 2P x 0 , y 0 圆的切线方程是：2 x a x 0 a y a y 0 a R ,一般地,如何求圆的切线方程？（抓

15、住圆心到直线的距离等于半径）；从 圆外一点引圆的切线肯定有两条,设 A 为圆 x 1 2y 2 1 上动点, PA 是圆的切线,且 |PA|=1,就 P 点的轨迹方程为 _；2 2 x 1 y 2）（ 2 ） 弦 长 问 题 ： 常 用 弦 心 距 d , 弦 长 一 半1 a 及 圆 的 半 径 r 所 构 成 的 直 角 三 角 形 来 解 ：22 2 1 2r d a ；213. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的 平面几何性质的作用 如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等 . 已知圆满意：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧,其弧长

16、的比为 3 1,圆心到直线l:x-2y=0 的距离为 5 ,求该圆的方程 .5如图,已知 M ：x 2+y2 21,Q 是 x 轴上的动点, QA , QB 分别切 M 于 A ,B 两点,假如 y| AB | 43 2,求直线 MQ 的方程；M B P 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 . A 解 （ 1 ） 由 | AB | 4 2可 得 | MP | | MA | 2 | AB | 21 2 2 2 2 1, O 由 射 影 定 理 得 Q x3 2 3 32| MB | | MP | | MQ | 得 | MQ | 3 , 在 Rt MOQ 中,2 2 2 2| OQ | | MQ

17、 | | MO | 3 2 5,名师归纳总结 故a5 或a5,所以直线AB 方程是,12yx2,A 第 4 页,共 8 页2x5y250 或2x5y250;连接 MB ,MQ ,设Px,y,Qa,0,由点 M , P,Q 在始终线上,得a由射影定理得|MB|2|MP|MQ|,即x2y2 2a24B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 把（ A）及（ B）消去 a,并留意到y2学习必备x2欢迎下载21y2.,可得y7416课此题 P75练习 2 ,3；P77 练习 2,3；P79练习 2,3；P80习题 7 ,8,9；P84 练习 3,4；P87练习 2,3

18、；P87习题 4,6,7；P92练习 3；P96 练习 2,3；P96习题 14,15,16,17,18 P102 练习 5,6；习题 6,7,9,10 P106 练习 3 ,4,5；P107练习 2；P108习题 5,6 7,8；名师归纳总结 高考题 1. （全国一 10）如直线xy1通过点Mcos,sin,就（ D ）第 5 页,共 8 页abAa2b 1Ba2b 1C11 b1D11 b1a2a2yx,2. （全国二 5）设变量 x, 满意约束条件：x2y2,就zx3 的最小值 -8 x23. （全国二 11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为xy20与x7y40,原点在等腰三角形的底边

19、上,就底边所在直线的斜率为3 xy10,4. （北京卷 5）如实数 x, 满意xy0,就z3x2y的最小值是 1 x0,5. （北京卷 7）过直线 yx 上的一点作圆x52y2 12的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于 yx对称时,它们之间的夹角为606. （四川卷）直线y3x绕原点逆时针旋转0 90 ,再向右平移个单位,所得到的直线为y1x133xy07. （天津卷 2）设变量x,y满意约束条件xy1,就目标函数z5xy的最大值为 5 x2y18. （安徽卷8）如过点A 4,0的直线 l 与曲线x22y21有公共点,就直线 l 的斜率的取值范畴为3,3339. （山东卷 11）已知圆的

20、方程为x2y26x8y0. 设该圆过点（ 3,5）的最长弦和最短弦分别为 AC和 BD,就四边形 ABCD的面积为 206x1,10. （湖南卷 3）已知变量 x、y 满意条件xy0,就 xy 的最大值是 6 x2y90,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载11. （陕西卷 5）直线 3 x y m 0 与圆 x 2y 22 x 2 0 相切,就实数 m 等于 3 3或 3y ,112. （陕西卷 10）已知实数 x, 满意 y2 x 1,假如目标函数 z x y 的最小值为 1,就实x ym数 m 等于 5 13. （重庆卷 3 圆

21、O1: x 2y 2 2 x 0 和圆 O2: x 2y 2 4 y 0 的位置关系是相交14. （辽宁卷 3）圆 x 2y 21 与直线 y kx 2 没有公共点的充要条件是 k 3,315. （天津卷 15）已知圆 C的圆心与点 P 2,1 关于直线 y x 1 对称直线 3 x 4 y 11 0 与圆 C相交于 A, B 两点,且 AB 6,就圆 C的方程为 _x 2 y 1 2182 216. （四川卷 14）已知直线 l : x y 4 0 与圆 C : x 1 y 1 2,就 C 上各点到 l 的距离的最小值为 _；22 217. （重庆卷 15）直线l与圆 xy2 x4 y a

22、0 a3 相交于两点 A,B,弦 AB的中点为（0,1）,就直线 l 的方程为 . x-y+1=0 名师归纳总结 18. （广东卷 11）经过圆x22xy20的圆心 C ,且与直线xy0垂直的直线1第 6 页,共 8 页方程是xy1019 已知菱形 ABCD的顶点 A,C在椭圆x23y24上,对角线 BD 所在直线的斜率为（）当直线 BD 过点 0 1, 时,求直线 AC 的方程；（）当ABC60时,求菱形 ABCD 面积的最大值解：（）由题意得直线BD的方程为yx1由于四边形ABCD为菱形,所以ACBD 于是可设直线AC的方程为yxn由2 x32 yn4,得4x26nx3n240yx由于 A

23、,C在椭圆上,所以12n2640,解得4 3n4 333设 A,C两点坐标分别为x 1,y 1 , ,2y2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x2 x2xb xR 的图象与两就x 1x23 n,x x 1 23n24,y 1x 1n ,y2x2n 24所以y 1y2n2所以 AC 的中点坐标为3 n n,4 4由四边形 ABCD为菱形可知,点3 n n,4 4在直线yx1上,所以n3n1,解得n244所以直线 AC 的方程为yx2,即xy20（）由于四边形ABCD为菱形,且ABC60,所以 ABBCCA所以菱形 ABCD的面积S3AC

24、22由（）可得AC2x 1x 22y 1y 223 n216,2所以S3 3n2164 3n4 3433所以当n0时,菱形 ABCD 的面积取得最大值4 3 2. （江苏卷18）设平面直角坐标系xoy中,设二次函数f坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C求：（）求实数 b 的取值范畴；（）求圆 C 的方程；（）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法名师归纳总结 （）令 x 0,得抛物线与y 轴交点是（ 0, b）；第 7 页,共 8 页令fxx22xb0,由题意 b 0 且 0,解得 b1 且 b 0（）设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0令 y 0 得x2DxF0这与x22xb 0 是同一个方程,故D2,F b 令 x 0 得y2Ey 0,此方程有一个根为b,代入得出E b1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备. 0欢迎下载所以圆 C 的方程为x2y22xb1yb02 12 2 0（ b1） b0,右边 0,（）圆C 必过定点（ 0,1）和（ 2,1）证明如下：将（0,1）代入圆C 的方程,得左边所以圆 C 必过定点（ 0,1）名师归纳总结 同理可证圆C 必过定点（ 2,1）第 8 页,共 8 页- - - - - - -