2022年数形结合思想在解题中的应用教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数形结合思想在解题中的应用教学目标：1利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题,求函数的值域,最值等问题时能运用数形结合思想,防止复杂的运算与推理,在解题时能提高效率 . 2增养同学问题转化的意识 . 重点：“ 以形助数”,培育同学在解题过程中运用数形结合的意识. 难点：由数到形的转化 . 数形结合作为一种重要的数学思想,历年来始终是高考考查的重点之一 .这种思想表达在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意图形的观看分析,化抽

2、象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决.数形结合思想经常利用到的数学模型有：（1）函数的图象, （2）斜率公式,截距（3）两点间距离公式, （4）点到直线的距离, （5）单位圆,韦恩图,数轴 . 题型一：利用数形结合的方法解决有关方程问题：【例题分析】例 1. 如关于 x 的方程 x22 kx3 k0 的两根分布在x0的两侧,求 k 的取值范畴 . 解： 由 yf x x22 kx3 k的图象可知,要使两根在x0的两侧只需f00解得k0,故k,0x 轴交点的横坐标就是方程f 0 的根,依据说明： f x x23 k2 kx,其图象与函数图象的性质可以得出对应的方程情形；例 2. 已知

3、0 a 1,就方程 a | |log a x |的实根个数为（）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 个| |解：判定方程的根的个数就是判定 y a 与 y |log a x | 图象的交点个数,画出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有 2 个实根,选 B. 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 1：方程axx22a0 且a学习必备欢迎下载1 的解的个数为 _. 题型二：利用数形结合法解决不等式问题例 3不等式xx22y2x的解集是 _. 解：令y 1x,就不等式x2x,

4、的解就对应于：函数 y 1 x 2 的图象在 y2 x 上方的图象的部分在 x 轴上的射影 .如图,不等式的解集为x 2 x 2 . 变式 : 对一切实数 ,x 不等式 x 1 x 2 m 恒成立,求实数 m 的取值范畴 . 题型三：利用数形结合法解决有关最大值和最小值问题例 4. 假如实数 x,y 满意 x 2 2 y 2 3,就y 的最大值为（）xA. 1 B. 3C. 3D. 32 3 2解： 等式 x 2 2 y 2 3 有明显的几何意义,它表示坐标平面上的一个圆,圆心为 2,0 ,半径 r 3 ,（如图）,而y y 0 就表示圆上的点 x,y 与坐标原点（ 0, 0）x x 0的连线

5、的斜率,如此一来,该问题可转化为如下几何问题：动点 A 在以（ 2,0）为圆以 3为半径的圆上移动,求直线 OA 的斜率的 最大值,由名师归纳总结 图可见,当点A 在第一象限,且与圆相切时,OA 的斜率最大,经简洁运算,得最大值为第 2 页,共 9 页tan603. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 1. 求函数 ysinx2学习必备欢迎下载的值域 . cos x2变式 2. 已知 x、y2 满意x16y21,求y3 x的最大值与最小值. 25说明：数形结合法解决数学问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质,然后依据题意构造几何图形,

6、实现代数和几何的相互联系 . 课堂小结：本节课学习了一个思想,即数形结合思想三种题型数形结合思想在方程中的应用数形结合思想在不等式中的应用数形结合思想在求最值中的应用实现数形结合,经常涉及以下内容：1.实数与数轴上的点的对应关系；2.函数与图象的对应关系；3.曲线与方程的对应关系；4.以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如向量、三角函数等；5.所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 . 数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧,特殊是在解决挑选、填空题时发挥着奇妙功效, 复习中要以娴熟技能、方法为目标, 加强这方面的训练,以提高解题才能和速度 . 作业：名师归纳总结 1. 如集

7、合 Mx,y|x3 cos0,集合 Nx,y yxb,且第 3 页,共 9 页y3 sinMN,就 b 的取值范畴为 _；2 2. 点 M 是椭圆x25y21上一点, 它到其中一个焦点F1的距离为2, N 为 MF1 的中点,16O 表示原点,就| ON|（）A. 3 2B. 2C. 4 D. 8 3. 双曲线 C 的两个焦点是F1、F2,双曲线上任意一点P,过 F2 作 F1PF2 的平分线的垂线平分线交于M ,就 M 的轨迹是（）A. 圆B. 直线C. 双曲线D. 抛物线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【针对训练】一. 挑选题：

8、1. 方程 lg x sin x 的实根的个数为（）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2. 函数 y a x | |与 y x a 的图象恰有两个公共点,就实数 a 的取值范畴是（）A. 1, B. 1,1 C. ,1 1, D. ,1 1,3. 设命题甲： 0 x 3,命题乙： | x 1 | 4,就甲是乙成立的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件4. 如不等式 x a x a 0 的解集为 x m x n,且 | m n | 2 a,就 a 的值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如 x 1,2 时,不等

9、式 x 1 2log a x 恒成立,就 a 的取值范畴为（）A. 0,1 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2 6. 定义在 R 上的函数 y f x 在 ,2 上为增函数,且函数 y f x 2 的图象的对称轴为 x 0 ,就（）A. f 1 f B. f f C. f 1 f 3 D. f f 二. 填空题：7. 如 f x x2bxc对任意实数t ,都有 f2tf2t,就 f ,f3 ,有四个不相等的实根,就实数m 的取值范畴为f 4 由小到大依次为_. 8. 如关于x 的方程 x24 | |5m_. 9. 函数 yx22x2x26xx13 的最小值为 _. 10. 如直线 yxm

10、 与曲线 y12 有两个不同的交点,就实数m 的取值范畴是_. 三. 解答题：11. 如方程 lgx213 xm lg3x 在 0,3 上有唯独解,求m的取值范畴 . 12. 如不等式4xx2a1 x的解集为 A ,且 Ax|0x2 ,求 a 的取值范畴 . 13. 设 a0 且a,试求下述方程有解时k 的取值范畴：log xakloga2x2a2名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【试题答案】一. 挑选题：1. C 解： 画出 ysinx,y2lgx在同一坐标系中的图象即可；确定lglgx=1 的解

11、为 x=10,x的图象应当有三个sin51,所以ysinx和yy=lgx 在0, +内递增,sin2交点；y12y=sinxy=lgxx34O-12. D 解： 画出 ya x | |与yxa的图象 . yyk=1y=x+a情形 1：a00x0x, 从 而k=-1a0a0y=a|x|a1a1情形 2：a01a1a3. A 解： 命题甲： 0x3,命题乙： -3,由甲可以得出乙,反之不成立4. B解 ： 画 出 yxa,yx的 图 象 , 依 题 意 , ma,naaaaa0或2,由 a0,取a2yy=xy= x+a5. C 解：令 y1x1 2mx-a0n,y2logax,如 a1,两函数图象

12、如下图（一）所示,明显 2 1 2 ,即 a 2 ；当 x 1,2时,要使 y1y2,只需使 loga2名师归纳总结 综上可知,当 1a2时,不等式 x1 2logax对 x 1,2 恒成立第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 0a1学习必备欢迎下载 1,2 时 , 不 等 式, 两 函 数 图 象 如 右 图 （ 二 ） 所 示 , 显 然 当 xx1 2logax恒不成立；f2 个单位而得到的,又知 fx2 的图象关于6. A 解：的图象是由f x 的图象向左平移直线 x0 （即 y 轴）对称,故可推知, 的图象关于直线x2

13、对称,由f x 在, 2 上为增函数,可知f x 在 2,上为减函数,依此易比较函数值的大小；二. 填空题：7. 解： f f f3 x2fbxc为由 f2tf2t知, f 的图象关于直线x2 对称,又 f x 二次函数,其图象是开口向上的抛物线,由f x 的图象,易知f ,f3 , 的大小；8. 解： m 1,5名师归纳总结 设 y 1x24 | |5,y 2m画出两函数图象示意图,要使方程x24 | |5m有四第 6 页,共 9 页个不相等实根,只需使1m5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 解： 最小值为13学习必备欢迎下载对x22x2x1

14、21x1 2 102,联想到两点的距离公式,它133 213 2表示点 x,1 表示点 x,1 到（ 1,0）的距离；x26xxx2到点（ 3,3）的距离,于是yx22x26x13 表示动点 x,1 到两个y min定点（ 1,0）,（3,3）的距离之和,结合图形,易得13 ；10. 解： m2,1 名师归纳总结 yxm表示倾角为 45 ,纵截距为m的直线族,而y1x2 就表示以（ 0,0）第 7 页,共 9 页为圆心,以 1 为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点）如下图所示,明显,欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距m1,2,即 m2,1 - - - - - - -精选学

15、习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三. 解答题：2x 3 x m 0 2x 3 x m 03 x 011. 解： 原方程等价于 0 x 30 x 322 x 4 x 3 mx 3 x m 3 x就上述不等式组在 0 3, 上只有一个解；2令 y 1 x 4 x 3,y 2 m 在同一坐标系内,画出它们的图象；其中留意 0 x 3,当且仅当两函数的图象在0,3）上有唯独公共点时,原方程有唯独解,由下图可见,当 m 1 或 3 m 0 时,原方程有唯独解,因此 m的取值范畴为 3,0 1说明：一般地,讨论方程时,需先将其作等价变形,使之简化,再利用函数图象的直观性讨论方

16、程的解的情形；12. 解： 令 y 1以 2 为半径的圆在4xx2,y 2a1 x,其中 y14xx2表示以 （2,0）为圆心,x 轴的上方的部分（包括圆与x 轴的交点）,如下图所示,y 2a1 x表示过原点的直线系,不等式4xx2a1 x的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x 值,由于不等式解集Aax|0x2 ,因此只需要a11a2a 的取值范畴为2,logx2a213. 解： 将原方程化为 log xak名师归纳总结 xakx2a2 ,且 xak0,x2a20第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 y1xak,它表示倾角为学习必备欢迎下载045 的直线系, y1令 y2x2a2 ,它表示焦点在x 轴上,顶点为 a,0 ,a,0 的等轴双曲线在x 轴上方的部分,y20原方程有解两个函数的图象有交点,由下图知aka 或aak0k1 或0k1k 的取值范畴为 ,1 0,1 yax0-a名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页