2022年数学期末知识点总复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学期末学问点总复习简易规律学问要点1、命题的定义：可以判定真假的语句叫做命题；2、规律联结词、简洁命题与复合命题：“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 这些词叫做规律联结词；不含有规律联结词的命题是简洁命题；由简洁命题和规律联结词“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 构成的命题是复合命题；构成复合命题的形式：p 或 q 记作“pq” ；p 且 q 记作“pq” ；非 p 记作“ q” ；3、“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 的真值判定（1）“ 非 p” 形式复合命题的真假与 F 的真假相反；（2）“p 且 q” 形式复合命题当 P与 q 同为真时为真

2、,其他情形时为假；（3）“p 或 q” 形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情形时为真4、四种命题的形式：原命题：如 P 就 q；逆命题：如 q 就 p；否命题：如P就 q；逆否命题：如q 就 p；1 交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题； 2 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命原 命 题互逆逆 命 题题；如 p就 q互逆否如 q就 p 3 交换原命题的条件和结论,并且同时否定, 所得的命互为互题是逆否命题为逆否否5、四种命题之间的相互关系：否 命 题否逆 否 命 题互一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：互逆如 q就 p如 p就 q 原命题逆否命题 、原

3、命题为真,它的逆命题不肯定为真；、原命题为真,它的否命题不肯定为真；、原命题为真,它的逆否命题肯定为真；6、假如已知 p q 那么我们说, p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件；如 p q 且 q p, 就称 p 是 q 的充要条件,记为 p. q. 7、反证法：从命题结论的反面动身（假设）,引出 与已知、公理、定理 冲突,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法；立体几何学问要点一、学问提纲（一）空间的直线与平面平面的基本性质三个公理及公理三的三个推论和它们的用途斜二测画法空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线公理四（平行线的传递性）等角定理异面直线的判

4、定：判定定理、反证法异面直线所成的角：定义（求法）、范畴名师归纳总结 直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线和平面垂直 直线和平面垂直：定义、判定定理三垂线定理及逆定理5. 平面和平面平行 两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质6. 平面和平面垂直 相互垂直的平面及其判定定理、性质定理（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离 7. 直线和平面所成的角与二面角 平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线

5、和平面所成的角二面角：定义、范畴、二面角的平面角、直二面角相互垂直的平面及其判定定理、性质定理8. 距离 点到平面的距离直线到与它平行平面的距离两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段（四）简洁多面体与球 9. 棱柱与棱锥 多面体棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质直棱柱和正棱锥的直观图的画法10. 多面体欧拉定理的发觉 简洁多面体的欧拉公式正多面体11. 球 球和它的

6、性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离球的体积公式和表面积公式二、常用结论、方法和公式1.从一点 O 动身的三条射线OA 、OB 、OC,如 AOB= AOC ,就点 A 在平面 BOC上的射影在 BOC 的平分线上；名师归纳总结 2. 已知 :直二面角 M AB N 中, AE M ,BFN,EAB=1,ABF=2,异面BDA直线 AE 与 BF 所成的角为,就coscos1cos2;3.立平斜公式： 如图,AB 和平面所成的角是1,AC 在平面内, BC 和 AB 的射影 BA 1成2,设 ABC=3,就 cos1cos2=cos3；A1C第 2 页,共 11 页- - - - - -

7、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中挑选一特殊点,作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟识的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方 体等,其目的在于简洁发觉两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜 线段及斜线段在平面上的射影；通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足 和斜足的连线,是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点）,分别在两个半平面内作棱的垂 线,得出平面角,用定义法

8、时,要仔细观看图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定 理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的 交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S 射S 原 cos,其中为平面角的大小,此法不必在图形中画出平面角；特殊 :对于一类没有给出棱的二面角,应先延长两个半平面,使之相交显现棱,然后 再选用上述方法（特殊要考虑射影法）；7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行运算；（

9、2）求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知 面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求 解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,就 S侧cos =S底；9.已知 :长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 , , , 因此有cos2 +cos2 +cos2 =1; 如长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为, , , 就有 cos2 +cos 2 +cos 2 =2; 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：假如简洁多面

10、体的顶点数为V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F E=2；并且棱数 E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh. 其中 S是柱体的底面积,h是柱体的高 . 13.直棱柱的侧面积和全面积名师归纳总结 S直棱柱侧= cc 表示底面周长,表示侧棱长 S棱柱全=S底+S侧第 3 页,共 11 页14棱锥的体积 :V棱锥=1Sh,其中 S是棱锥的底面积,h 是棱锥的高；315.球的体积公式V=4 R ,表面积公式 3S4 R2；把握球面上两点A、B 间的距离求法：（1）运算线段AB 的长,（ 2）运算球心角AOB 的弧度数； 3用

11、弧长公式运算劣弧AB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的长；空间向量1空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算 定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OBOAABababbacBAOAOBabOPaR 运算律：加法交换律：加法结合律：abcab数乘安排律：abab3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,向量 a 平行于 b 记作a /b就这些向量叫

12、做共线向量或平行当我们说向量 a 、 b 共线（或 a/ b ）时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同始终线,也可能是平行直线4共线向量定理及其推论：共线向量定理： 空间任意两个向量a、b （ b 0 ）,a/ b 的充要条件是存在实数,使 a b . 推论：假如 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满意等式OP OA t a其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 . 5向量与平面平行：已知平面 和向量 ar,作 OA uuura r ,假如直线 OA 平行于 或在 内,那么我们说向量ar 平

13、行于平面,记作：ar /通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面对量说明：空间任意的两向量都是共面的名师归纳总结 6共面对量定理：a b r r不 共 线 , pr与 向 量a b r r共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数x y使第 4 页,共 11 页如 果 两 个 向 量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - r pr xar ybuuur MP推论：空间一点uuur uuurxMA yMBP 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对uuur uuuur uuur uuurO,有 OP OM xMA yMB x y ,使或对空间任一点

14、式叫做平面MAB的向量表达式7 空间向量基本定理：假如三个向量 a b c r r r 不共面,那么对空间任一向量r r r rx y z,使 p xa yb zcpr,存在一个唯独的有序实数组推论：设O A B C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数uuur x y z,使 OPuuur xOAuuur yOBuuur zOCa OB r uuurr b,就AOB叫做向量ar 与8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a b r r,在空间任取一点O,作uuur OAr b的 夹 角 , 记 作a b r r； 且 规 定 0a b r r, 显 然 有a b r

15、 rb a r r； 如r ra b2,就称 ar与 b r相互垂直,记作：a rr b. 9向量的模：设 OA uuura r ,就有向线段 OA uuur的长度叫做向量 ar的长度或模,记作：| ar | . 10向量的数量积：a b r r| | | | cos r ra b r r已知向量 AB uuura r 和轴 l , er 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A ,作点 B 在 l 上的射影 B ,就 A B uuuur叫做向量 AB uuur 在轴 l 上或在 er上的正射影 . 可以证明 A B uuuur的长度 | uuuurA B | | u

16、uurAB | cos a e r r | a e r r |11空间向量数量积的性质：（1）a e r r | a r |cos a e r r（ 2）a r b ra b r r0（ 3）| a r| 2a a r r 12空间向量数量积运算律：（1） a r b r a b r r a r b r（2）a b r rb a r r（交换律）（3）a r b rc r a b r ra c r r（安排律）空间向量的坐标运算名师归纳总结 （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标）,y 轴是纵轴（对第 5 页,共 11 页应为纵轴）, z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.

17、令 a =a1,a2,a3,bb 1,b2,b 3,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - aba1b1,a2b2,a3b3aa1,a2,a3R aba1b1a2b2a3b3aba1b1,a2b2,a3b3R a1a2a3aba1b1a2b2a3b30aa b1b2b3aaaa12a22a32用到常用的向量模与向量之间的转化：a2aaacosa,b|ab|a2 1a1 b 1a2b2a3b32 b 3a|ba2 2a2 32 b 1b2 2,记作 a,空间两点的距离公式：dx2x 12y2y 12z2z 12. （2）法向量：如向量a 所在直线垂直于平面,

18、就称这个向量垂直于平面假如 a那么向量 a 叫做平面的法向量 . （3）用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图,设 n 是平面 的法向量, AB 是平面 的一条射线,其中 A,就点 B 到平面 的距离为 | AB n | . | n |利用法向量求二面角的平面角定理：设 n 1, n 2 分别是二面角 l 中平面 , 的法向量,就 n 1, n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n 1, n 2 方向相同,就为补角,n 1, n 2反方,就为其夹角）. 证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面,A B a , C D,且 CDE 三点不共线,就 a的充要条件是存在有

19、序实数对 使 AB CD CE .（ 常设 AB CD CE 求解, 如 , 存在即证毕,如 , 不存在,就直线 AB 与平面相交） . A BBnn1 C DC A n2 E导数学问要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数名师归纳总结 导导数的运算导数的运算法就第 6 页,共 11 页数函数的单调性- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 导数（导函数的简称） 的定义： 设x 是函数yfx定义域的一点, 假如自变量x 在x 处有 增 量x , 就 函 数 值y 也 引 起 相 应 的 增 量yfx0xfx0； 比 值x0fx 0.yfx

20、0xfx0称为函数yfx在点x 到x0x之间的平均变化率；假如极限xxlim x0ylim x0fx 0x fx 0存在, 就称函数yfx在点x 处可导, 并把这个极限叫做 0xxyfx在x 处的导数, 记作f x 0或y|xx 0,即f x 0=lim x0ylim x 0fx0x fx0. xx注：x 是增量,我们也称为“转变量 ”,由于x 可正,可负,但不为零. 以知函数yfx定义域为A ,yf x 的定义域为B ,就 A 与 B 关系为AB. 2. 函数yfx在点x 处连续与点 0x 处可导的关系：0函数yf x 在点x 处连续是yfx在点x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,假如y

21、f x 在点x 处可导,那么yfx点x 处连续 . 事实上,令xx0x,就xx0相当于x0. 于是lim x x 0fxlim x0fx 0xlim x 0fxx0fx0fx 0lim x 0fx0x fx 0xfx0lim x 0fx0x fx0lim x0lim x0fx0fx00fxx假如yf x 点x 处连续,那么 0yfx 在点x 处可导,是不成立的 0. 例：fx|x|在点x 00处连续,但在点x00处不行导,由于y|x|,当x0 时,xxy1；当x 0 时,y1,故lim x0y不存在 . xxx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导

22、数的几何意义：函数yfx 在点x 处的导数的几何意义就是曲线yfx 在点x 0,fx处的切线的斜率,也 就 是 说 , 曲 线yfx 在 点 Px 0,fx 处 的 切 线 的 斜 率 是f x0, 切 线 方 程 为yy0fxxx0.4. 求导数的四就运算法就：名师归纳总结 uvuvyf1xf2x.fnxyf 1xf 2x .f nx第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - uvvuvucv cvcvcv（c为常数） u vu v uv v 2 v 0 注： u, v 必需是可导函数 . 如两个函数可导,就它们和、 差、积、商必可导；

23、 如两个函数均不行导,就它们的和、 差、积、商不肯定不行导 . 例如：设 f x 2 sin x 2,g x cos x 2,就 f x , g x 在 x 0 处均不行导,但它们和x xf x g x sin x cos x 在 x 0 处均可导 . 5. 复合函数的求导法就：f x x f u x 或 y x y u u x复合函数的求导法就可推广到多个中间变量的情形 . 6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数yfx在某个区间内可导, 假如f x0,就yfx为增函数；假如f x 0,就yfx为减函数 . 常数的判定方法；假如函数y0fx在区间 I 内恒有f x =0,就yfx 为常

24、数 . y2 x3在,上并不是注：fx0是 f（x）递增的充分条件,但不是必要条件,如都有fx,有一个点例外即x=0 时 f（x） = 0,同样fx0是 f（x）递减的充分非必要条件 . 一般地, 假如 f（x）在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正（或负）,那么 f（ x）在该区间上仍然是单调增加（或单调削减）的 . 7. 极值的判别方法： （极值是在 x 邻近全部的点, 都有 0 f x f x 0 ,就 f x 0 是函数 f x 的极大值,微小值同理）名师归纳总结 当函数fx在点x 处连续时,0第 8 页,共 11 页假如在x 邻近的左侧 0f x 0,右侧f x 0,那么fx0是

25、极大值；假如在x 邻近的左侧 0f x 0,右侧f x 0,那么fx0是微小值 . 也就是说x 是极值点的充分条件是x 点两侧导数异号,而不是f x =0. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比微小值小（函数在某一点邻近的点不同）. 注：如点x 是可导函数fx的极值点,就f x=0. 但反过来不肯定成立. 对于可导函数,其一点x 是极值点的必要条件是如函数在该点可导,就导数值为零. 例如：函数yfxx3,x0使f x=0,但x0不是极值点 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

26、例如：函数yfx|x|,在点x0处不行导,但点x0是函数的微小值点. 8. 极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较 . 注：函数的极值点肯定有意义 . 9. 几种常见的函数导数：I.C0（ C 为常数）sinx1cosxarcsinx 11x2x2xnnxn1（nR）cosx xsinxarccosx 11x 1logax 1logaearctanx II. ln1xx2exexaxaxlnaarccotx x112III. 求导的常见方法：常用结论：ln|x|a21 x. xan或yxa1xa 2.xa n两边同取自然对数,可转化形如yxa 1x.

27、xb 1xb 2.xb n求代数和形式 . 无理函数或形如xyxx这类函数,如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx,对两边求导可得ylnx1yylnxyyxxlnxxx. yx积分1.定积分定义 ：设函数 y f x 在区间 , a b 上连续,在区间 , a b 中任取分点a x 0 x 1 x 2 L x i 1 x i L x n 1 x n b将区间 , a b 分成 n 个小区间 x i 1, x ,其长度为 x i x i x i 1 i 1,2 L , 在每个小区间 x i 1, x 上任取一点 i,作乘积 f i x i 1,2, L n 的和：nf i x i（1）i

28、1不论对区间 , a b 实行何种分法及 i如何选取,记 1max x i ,当 0 时和式（1）的极限存在,就此极限值称为函数f x 在区间 , a b 上的定积分,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 记作bfx dx,即bfxdxlim 0in1fixi；aa其中fx叫做被积函数,fxdx叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限, b 叫做积分上限,a,b叫做积分区间；2. 定积分的几何意义1、如在a ,b上fx0,定积分bfx dx等于以yfx 为曲边的a ,b上xa的曲边梯形的面积A ,即bfx d

29、xA ；a ,ya2、如在a,b上fx0,bfx dx的肯定值a1x2x与由直线xa,xb,y0及曲线yfxA 相等,a所围成的曲边梯形的面积ob即bfx dxAa有正有负,就bfx dx等于b 上位于 x 轴上方的图3、如在a,b上fxa形面积减去 x 轴下方的图形面积如右图：bfx dxx 1fx dxx 2fx dxbfx dxA 1A 2A ；ax 2ax 13. 定积分的性质1、bfx dxa bfx dxF b F a；（可推广的有限个可积函数的a2、bkfx dxkbfx dx（ k 为常数）；aa3、b a fxgx dxb afx dxbg x dxa情形）4、cR有：bfx

30、 dxcfx dxbfx dx；（积分区间的可加性）aac4. NewtonLeibniz 公式 设函数 fx 在闭区间a,b上连续,又 F x 为 fx 在区间a ,b 上的一个原函数,就有：bfx dxF bF aa名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 基本积分表依据微积分基本公式就得到对应的积分公式：（1）dxxc ；c ；（2）xx1c,1；1；1（3）1dxlnxc；（4）x a dxaxc a0 且alnax（5）（6）cosxdxsinxc ；x e dxx ec；（7）（8）2 secxdxtanxc；sinxdxcosx（9）2 cscxdxcotxc；以上 9 个公式是积分法的基础,必需熟记并敏捷运用；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页