2022年新课标人教A版高一数学必修知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 1 学问点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素；2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性说明： 1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的 元素；2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素；3集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列次序是否一样；4 集合元

2、素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性； 如 我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 3、集合的表示： ,（1）用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法；（）列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；用确定的条件表示 某些对象是否属于这个集合的方法；语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是 x R| x-32 或 x| x-32 （3）图示法（文氏图） ：4、常用数集及其记

3、法：非负整数集（即自然数集）记作：Z N Q 实数集R 正整数集N* 或 N+ 整数集有理数集5、“ 属于” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素,就说a 属于集合 A 记作 aA ,相反,a 不属于集合A 记作 aA 6、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“ 包含” 关系子集名师归纳总结 对于两个集合A 与 B,假如集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说两集合有包含关系,称第 1 页,共 10 页集合 A 为集合 B 的子集,记作AB留意：有两种可能（ 1）A 是 B

4、 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A, 记作 A B 或 BA 集合 A 中有 n 个元素 ,就集合 A 子集个数为2 n. 2“ 相等” 关系 55,且 55,就 5=5 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同”结论：对于两个集合A 与 B,假如集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合 B,即： A=BAB且BA 任何一个集合是它本身的子集；AA 真子集 :假如 AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集,记作AB或 BA

5、 假如AB, BC ,那么 AC 假如 AB 同时BA 那么 A=B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；三、集合的运算1交集的定义 ：一般地,由全部属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 AB读作”A 交 B” ,即 AB=x|x A,且 xB 2、并集的定义 ：一般地, 由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集； 记作：A B读作”A 并 B” ,即 A B=x|x A,或 xB 3、交

6、集与并集的性质：AA = A , A = , A B = B A,AA = A ,A = A , A B = B A. 4、全集与补集（1）全集：假如集合 S 含有我们所要争论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集；通常用 U 来表示；（2）补集：设S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即AS）,由 S 中S A 全部不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集 A 的补集（或余集） ；记作：CSA ,即CSA =x | xS且 xA CsA （3）性质： CUC UA=A C UA A= C UA A=U 4C UA C UB=C UAB 5C UA C UB=C UA B 二、

7、函数的有关概念1函数的概念： 设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=fx ,xA 其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意： 1、假如只给出解析式 y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成 集合或区间 的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数

8、x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的 主要依据 是： 1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 .那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .（6）指数为零底不行以等于零 7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域； 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域留意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对

9、应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判定方法：定义域一样；表达式相同两点必需同时具备 值域补充1、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 2、应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础；3. 函数图象学问归纳名师归纳总结 - - - - - - -1定义： 在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点Px,y的集合 C,叫做函数y=fx,x

10、A 的图象C 上每一点的坐标x,y均满意函数关系y=fx ,反过来,以满意y=fx 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x,y,均在 C 上 . 即记为 C= Px,y | y= fx , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 ,也可能是由与任意平行于Y 轴的直线最多只有一个交点第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的如干条曲线或离散点组成；2 画法：A、描点法： 依据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y,最终用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法：常用变换方法有三

11、种,即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换: aP21 例 5 x（1）将 y= fx 在 x 轴下方的图象向上翻得到y= fx 的图象如：书上（2） y= fx 和 y= f-x 的图象关于y 轴对称；如yax 与yax1xaxlog1（3） y= fx 和 y= -fx 的图象关于x 轴对称；如ylogax 与yloga、平移变换: 由 fx 得到 fxa 左加右减；由 fx 得到 fxa 上加下减3作用： A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误；4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；5映射（2）无穷区间

12、； （3）区间的数轴表示定义 ：一般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a的象,元素 a 叫做元素 b 的原象说明 :函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合 A 、B 及对应法就 f 是确定的；对应法就有“ 方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A

13、的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说,就应满意： （）集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的；（）集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点；2 解析法：必需注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点；4 列表法：选取的自变量要有代表性,

14、应能反映定义域的特点留意：解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形留意：（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二：复合函数假如 y=fu,u M,u=gx,x A, 就 y=fgx=Fx ,x A 7函数单调性（ 1）增函数称为 f 是 g 的

15、复合函数；名师归纳总结 设函数 y=fx 的定义域为I,假如对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2,当 x 1x 2 时,第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 都有 fx 1fx 2,那么就说fx 在区间 D 上是 增函数 ；区间 D 称为 y=fx 的u=gx y=fuy=fgx单调增区间；假如对于区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x 1x 2 时,都有 fx 1增增增fx 2,那么就说fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区增减减间. 减增减留意： 1、函数的单调性是在定

16、义域内的某个区间上的性质,是函数的局部减减增性质；2、必需是对于区间D 内的 任意 两个自变量x1,x2；当 x1x 2时,总有 fx1fx 2 （或 fx 1fx 2）；（ 2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3.函数单调区间与单调性的判定方法A 定义法：1 任取 x 1, x2D,且 x1 0（C 为常数）时,y f x 与 y C f x 的单调性相同；当 C 0 且 a 12、指数函数的图象和性质0a1 图像定义域 R , 值

17、域（ 0,+）（ 1）过定点（ 0, 1）,即 x=0 时, y=1 性质2在 R 上是减函数1 2在 R 上是增函数（ 3）当 x0 时,0y0 时 ,y1; 共性当 x1当 x0 时,0y0 时,0y1;0a1 在其次象限内的图象纵坐标都大于1 当 x1图象上升趋势是越来越缓函数值开头减小极快,到了某一值后减小速度较慢；a1 自左向右看,图象逐步上升1 增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于当 x0 时,y1;在其次象限内的图象纵坐标都小于1 当 x0 时,0y0 时, a,N 在 1 的同侧；当b0 且 a 1； 2. 真数 N0 3. 留意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：

18、以10 为底的对数 , log 10N记为lgN；lnN（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数, logeN记为3、对数式与指数式的互化xlogaNaxN对数式指数式对数底数a 幂底数对数x 指数真数N 幂结论：（1）负数和零没有对数（2） logaa=1, loga1=0 特殊地,lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 n 倍3 对数恒等式：alogaNN（二）对数的运算性质假如 a 0,a 1 ,M 0 , N 0 有：1、 log（MN）logaMlogaN两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2 、logaMlogaMlogaN两个正数的商的对数等于这两个正数

19、的对数差N3 、 logaMnnlogaM（nR）一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数说明 : 1 简易语言表达 : ”积的对数 =对数的和 ” 2 有时可逆向运用公式3 真数的取值必需是0, MlogaN1,c0,c1, b04 特殊留意：logaMNlogalogaMNlogaMalogaNablogcblgb留意：换底公式log0,alogcalga利用换底公式推导下面的结论logab1a logablogbclogcdlog ad logambnnlogablogbm（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylog ax a0,且 a 1 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义

20、域是（0, +）留意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别；如：y log a x 1,y log a x 2 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数（2） 对数函数对底数的限制：a0,且 a 1 2、对数函数的图像与性质：对数函数 y log a x a0,且 a 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0 a 1 a 1 图yxy1,0x像01,00定义域：（0,）值域： R 过点 1 ,0, 即当 x 1 时,y 0 性 在0,+上是减函数 在0,+上是增函数质 当 x1 时, y1 时

21、, y0 当 x=1 时, y=0 当 x=1 时, y=0 当 0x0 当 0x1 时, y0; a a当 a,b 不同在 0,1 内,或不同在 1,+ 内时 ,有 log b0；当 a,b 在 1 的异侧时 , log ab 0,值域求法用单调性；第 8 页,共 10 页、辨论不同底的对数函数图象利用1=log aa ,用 y=1 去截图象得到对应的底数；、 y=axa0 且 a 1 与 y=log axa0 且 a 1 互为反函数,图象关于y=x 对称；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 比较两个幂的形式的数大小的方法 : 1 对于底数相同指数

22、不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判定. 2 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判定. 3 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,就应通过中间值来判定.常用 1 和 0. 6 比较大小的方法1 利用函数单调性同底数 ；2 利用中间值（如:0,1.）；3 变形后比较； 4 作差比较（三）幂函数1、幂函数定义：一般地,形如yx的函数称为幂函数,其中x 是自变量, 为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（2） 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在 0,+ ）上是增函数 特别地,当 1 时,幂函数的图象下凸；

23、当 0 1 时,幂函数的图象上凸；（3） 0 时,幂函数的图象在（0,+）上是减函数在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于 +时,图象在 x 轴上方无限地靠近 x 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点 的概念：对于函数y=fx, 使 fx=0 的实数 x 叫做函数的零点； （实质上是函数y=fx 与 x 轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程 fx=0 有实数根 . 函数 y=fx 的图象与 x 轴有交点 . 函数 y=fx 有零点3、零点定理 ：函数 y=fx 在区间 a,b上的图象是连续不断的,并且有 f

24、afb0, 那么函数 y=fx 在区间（a,b）至少有一个零点 c,使得 f c=0, 此时 c 也是方程 fx=0 的根；4、函数零点的求法：求函数 y=fx 的零点：（1） （代数法）求方程 fx=0 的实数根；（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 质找出零点5、二次函数的零点：二次函数 fx=ax2+bx+ca 01） 0,方程 fx=0 有两不等实根,二次函数的图象与y=fx 的图象联系起来,并利用函数的性x 轴有两个交点,二次函数有两个零点2） 0,方程 fx=0 有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0

25、,方程 fx=0 无实根,二次函数的图象与 二、二分法x 轴无交点,二次函数无零点1、概念 ：对于在区间 a,b 上连续不断且fafb0 的函数 y=fx, 通过不断地把函数fx 的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步靠近零点 2、用二分法求方程近似解的步骤 : ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法；确定区间 a,b, 验证 fafb0 ,给定精确度 ；求区间 a,b的中点 c;运算 fc, 如 fc=0, 就 c 就是函数的零点；如 fafc0, 就令 b=c（此时零点 x0a,c）如 fcfb0, 就令 a=c（此时零点 x0c,b）4判定是否达到精确度 ：即如 |a-b|0 指数函数： y=a xa1 指数型函数：y=ka xk0,a1 幂函数：y=x n（ n.N* 对数函数： y=log axa1 二次函数： y=ax 2+bx+ca0 增长快慢： Va xVx nVlog ax 解不等式 1 log 2x 2 x x 2 2 log 2x x 2 0）的根的分布m,n 内x1m,n x 2p,q 两个根都在（m,n 内两个有且仅有一个在（y m 0n x m n m n p q f m0mbnfmfn0f n 0K 2afmfp00fn0两个根都大于K f q 0两个根都小于K 一个根小于K,一个根大于