2015_2016高中数学第一章立体几何初步章末知识整合苏教版必修2+2015_2016高中数学第一章立体几何初步章末过关检测卷苏教版必修2.docx

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1、2015_2016高中数学第一章立体几何初步章末知识整合苏教版必修2【金版学案】2015-2016高中数学 第一章 立体几何初步章末知识整合 苏教版必修2如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解析：(1)设圆柱的底面半径为r，则它的侧面积为S2rx，由，解得：rRx，所以：S2Rxx2.(2)由(1)知：S2Rxx2RH.当x时，圆柱的侧面积最大规律总结：1.函数、方程历来都是高考考查的重点内容，它可以与高中教学的多个知识点有机结合，已成为高考永恒的热点2最值问题转化成二次函数是立体几何与代数相结合的典范

2、，应体会此方法的应用技巧变式训练1一个圆台的上、下两底面面积分别是和49，一个平行于底面的截面的面积为25，则这个截面与上、下两底面的距离之比是_解析：圆台上、下两底面半径比为17，截面与底面的半径比为 57，圆台扩展为圆锥，轴截面如右图，所以h2h36h1，h24h1.所以h32h1.这个截面与上、下底面的距离之比为21.答案：212圆锥的底面半径为2 cm，高为4 cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值分析：画出轴截面图，在平面中解决解析：如右图，为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为r，母线长为l，S圆柱侧2·lr.，l42r. S圆柱侧2·lr2·r

3、·(42r) 4(r1)244.当r1时，圆柱的侧面积最大且Smax4 cm2.如下图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点求证：平面PAC平面PBC.分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可证明：AB是圆O的直径，ACBC.又PA垂直于O所在的平面，PABC.PAACA，BC平面PAC.又BC面PBC，平面PAC平面PBC.规律总结：1.证明面面平行或垂直，通常采用如下两种方法：利用判定定理；利用性质定理无论用哪种方法证明，都是利用转化的思想方法，将面面关系转化为线线关系来

4、证明，将空间问题转化为平面问题处理，体现了转化思想的实质从高维到低维、从复杂到简单2运用转化与化归的思想寻求解题思路时，常用如下几种策略：(1)已知与未知的转化由已知想可知，由未知想需知，通过联想，寻找解题途径；(2)正面与反面的转化在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到事半功倍的效果；(3)数与形的转化数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求；(4)一般与特殊的转化，特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊中内含的本质联系，通过归纳演绎，得出一般结论，从而使问题

5、得以解决；(5)复杂与简单的转化把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则变式训练3已知圆柱的高为5，底面半径为2，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA，在母线BB1上取一点Q，使B1Q2，则圆柱侧面上P、Q两点间的最短距离为_解析：如图甲，沿圆柱的母线AA1剪开得矩形(如图乙)，过点P作PEAB交BB1于点E，令PAa，B1Qb，则PEAB·2RR2，QEhab2.PQ4.答案：44如右下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AMFN，求证：MN平面BCE.证明：方法一过点M作 MPBC

6、，NQBE，P、Q为垂足(如下图)，连接PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.又NQBNCMMP.MPQN是平行四边形MNPQ.又PQ平面BCE，而MN平面BCE，MN平面BCE.方法二过点M作MGBC，交AB于点G(如右图)，连接NG，MGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE.又，GNAFBE.同样可证明GN平面BCE.又MGNGG.平面MNG平面BCE.又MN平面MNG，MN平面BCE.一个长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长解析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为

7、l，则由题意得：由4(xyz)24得xyz6，从而由长方体对角线性质得：l 5.规律总结：1.整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作整体处理2整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形(体)等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用变式训练5如右下图，长方体三个面的对角线长分别是a、b、c，求长方体对角线AC的长解析：设长方体的长、

8、宽、高分别为x、y、z，由题意得：对角线AC，而由、得：x2y2z2，所以对角线：AC.6如右下图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩余部分的体积为多少？解析：将此几何体补上一个与其完全相同的几何体(如下图)，就成了母线长为ab，底面半径为r的圆柱，要求的几何体的体积就是此圆柱体积的一半，所以，要求几何体的体积为：Vr2(ab)2015_2016高中数学第一章立体几何初步章末过关检测卷苏教版必修2章末过关检测卷(一)第1章立体几何初步(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013

9、·四川卷)一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体可以是(D)A棱柱 B棱台C圆柱 D圆台2给出下列命题：底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；棱台的各侧棱不一定相交于一点；如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连接它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线其中正确的个数为(D)A3个 B2个 C1个 D0个3如右图，平面平面l，A、B，C，Cl，直线ABlD，过A、B、C三点确定的平面为，则平面、的交线必过(D)A点A B点BC点C，但不过点D D点C和点D解析：根据公理判定点C和点D既在平面内又在平面

10、内，故在与的交线上4(2014·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是(B)A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，mn，则n D若m/，mn，则n分析：利用直线与平面平行和垂直的判定定理直接判断或利用正方体判断解析：方法一若mx，nx，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若mx，nx，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若mx，mn，则nx或nx，C错；若mx，mn，则n与x可能相交，可能平行，也可能nx，D错方法二如图，在正方体ABCDABCD中，用平面ABCD表示x.A项中，若m为AB，n为BC，满足mx，nx，但m与n是相

11、交直线，故A错；B项中，mx，nx，mn.这是线面垂直的性质，故B正确；C项中，若m为AA，n为AB，满足mx，mn，但nx，故C错；D项中，若m为AB，n为BC，满足mx，mn，但nx，故D错5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(B)A45° B60°C90° D120°解析：取A1B1的中点Q，连接GQ、HQ.即HGQ即为异面直线EF与GH所成的角，易求得HGQ60°.6在所有棱长都相等的四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点

12、，下面四个结论中不成立的是(C)ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC7两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个对角线最长的新长方体，则该最长对角线的长度是(B)A. cm B5 cm C7 cm D10 cm8在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120°，若绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D)A. B. C. D.解析：VV大圆锥V小圆锥r2(11.51).9(2014·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(B)A82 B8 C8 D8解析：根据俯视

13、图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V23××12×2×28.10(2013·辽宁卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为(C)A. B2 C. D3解析：由球心O作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M.AB3，AC4，ABAC，AMBC.连接OA，则OA，即已求O的半径为，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中的横线上)11(2013·新课

14、标全国卷)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_解析：设正四棱锥的高为h，则×()2h，解得高h.底面正方形的对角线长为×，所以OA，所以球的表面积为4()224.答案：2412(2014·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_解析：先由三视图还原几何体，再分析几何体中的位置和数量关系，解三角形求最长棱的棱长，根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC，由三视图的形状特征及数据，可推知PA平面ABC，且PA2.底面为等腰三角形，ABBC，设D为AC中点，AC2，则ADDC1，且BD1，易得A

15、BBC，所以最长的棱为PC，PC2.答案：213(2013·湖北卷)我国古代数学名著数学九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆来接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆地直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九尺，则平地降水量是_寸(注：平地降水量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析：作出圆台的轴截面如下图所示，由题意知，BF14(单位寸，下同)，OC6，OF18，OG9，即G是中点，所以GE为梯形的中位线所以GE10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(10036)×9588.盆口的面积为142196，所以3，即平地降雨量是3寸答案：

16、314将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60°的角；AB与CD所成的角为60°.其中真命题的序号是_解析：如下图所示，命题：取BD中点E，连接AE，CE有BDAE，BDCE，所以BD面ACE，所以BDAC.命题：设正方形的边长为a，所以AEECa，因为AEC为直角三角形，所以ACa，所以ACD为等边三角形命题：面ABD面BCD，所以AE面BCD，所以ABE即为AB与面BCD所成的角，ABE45°，故该命题错误命题：取AD中点F，AC中点G，连接EF，FG，CE，EFG即为AB与CD所成

17、角，易得EFG为等边三角形，故EFG为60°.答案：三、解答题(本大题共6小题，共80分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15(本小题满分12分)(2014·新课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离分析：(1)找出平面AEC内的直线并证明线线平行；(2)利用体积求出线段的长，再作直线与平面垂直，并加以证明、求解(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD

18、的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解：由VPA·AB·ADAB，又V，可得AB.作AHPB交PB于点H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH.故AH平面PBC.在RtPAB中，由勾股定理可得PB，所以AH.所以A到平面PBC的距离为.16(本小题满分12分)(2013·安徽卷)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BCD60°.已知PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积解析：(1)证明：如图，连接BD，AC交于点O.PBPD，POBD.又AB

19、CD是菱形，BDAC.而ACPOO，BD面PAC.BDPC.(2)由(1)知BD面PAC.由已知得BD2，AC2，PO.SPECSPAC××2×.VPBCEVBPEC·SPEC·BO××1.17(本小题满分14分)如图，在ABC中，已知ABC45°，O在AB上，且OBOCAB，又PO平面ABC，DAPO，DAAOPOAB.(1)求证：PB平面COD；(2)求证：PD平面COD.证明：(1)PO平面ABC，ADPO，DAAB，POAB.又DAAOPO，AOD45°.又OBOCAB，AOAB，OBOP.OBP

20、45°.ODPB.又PB平面OCD，OD平面COD.PB平面COD.(2)依题意可设OAa，则POOBOC2a，DAa，由DAPO，且PO平面ABC，知DA平面ABC.从而PDDOa，在PDO中，PDDOa，PO2a，PDO为直角三角形故PDDO.又OCOB2a，ABC45°，COAB.又PO平面ABC，POOC.又ABPOO，CO平面PAB.故COPD.CO与DO相交于点O，PD平面COD.18(本小题满分14分)将圆心角为120°，面积为3的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积解析：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的底面半径为r，则l23，l3；&#

21、215;32r，r1；S表面积S侧面S底面rlr24，VSh××12×2.19(本小题满分14分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)(1)试画出其直观图；(2)求它的体积解析：(1)几何体的直观图如下图所示(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V×(12)×1×1(m3)20(本小题满分14分)(2014·广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EF/DC.其中点E、F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点

22、记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积分析：(1)由线面垂直的判定定理直接求证；(2)先计算PD，CF的长，进而求得FG，从而三角形EDC的面积可求出，代入体积公式即得答案(1)证明：如图，因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面DMF.(2)解析：因为PDDC，BC2，CD1，PCD60°，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.过点F作FGCD，得FGFGsin 60°×，所以DEFG，故MEPE，所以MD.SCDEDE·DC××1.故VM CDEMD·SCDE××.20