2022年九年级数学二次函数与圆知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 初三数学学问点总结1. 一元二次方程的一般形式: a 0 时, ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式,讨论一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的 字母或特定式子的代数式 . a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是详细数,也可能是含待定2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求敏捷运用,其中直接开平方法虽然简洁,但是适用范畴较小；公式法虽然适用范畴大,但运算较繁,易发生运算错误；因式分解法适用范畴较大,且运算简便,是首选方法；配方法使用较少 . 3. 一元二次方程根的判别式:

2、当 ax2+bx+c=0 a 0 时, =b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式. 请留意以下等价命题： 0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根； 0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当 ax2+bx+c=0 a 0 时,如 0,有以下公式： 1 x,12bb24 ac；2x1x2b,x1x2c.2aaa 5 当 ax2+bx+c=0 a 0 时,有以下等价命题： 以下等价关系要求会用公式x1x2b,x1x2c； =b2-4ac 分析,不要求背记 aa（ 1）两根互为相反数b = 0 且 0 a b = 0且 0；（ 2）两根互为倒数c =1 且

3、 0 a a = c且 0；（ 3）只有一个零根c = 0 且 ab 0 a c = 0且 b 0；（ 4）有两个零根c = 0 且 ab = 0 a c = 0且 b=0；（ 5）至少有一个零根c =0 a c=0 ；（ 6）两根异号c 0 a a 、c 异号；（ 7）两根异号,正根肯定值大于负根肯定值c 0 且 ab 0 a a 、c 异号且 a、b 异号；（ 8）两根异号,负根肯定值大于正根肯定值c 0 且 ab 0 a a 、c 异号且 a、b 同号；（ 9）有两个正根c 0,ab 0 且 0 a a 、c 同号, a 、b 异号且 0；（ 10）有两个负根c 0,ab 0 且 0 a

4、 a 、c 同号, a 、b 同号且 0. 6求根法因式分解二次三项式公式：留意：当 0 时,二次三项式在实数范畴内不能分解ax2+bx+c=ax-x1x-x2 或 ax2+bx+c=axbb24 acxbb24ac. 2a2 a7求一元二次方程的公式：x 2 - （ x1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 留意：所求出方程的系数应化为整数 . 8平均增长率问题-应用题的类型题之一（设增长率为 x）： 1 第一年为 a , 其次年为 a1+x , 第三年为 a1+x 2. （2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年 或 第一年 +其次年 +第三年 =总和 .9分式方程的解法： 1去

5、分母法两边同乘最简验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母）,值0.第 1 页,共 6 页 1 公分母名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）换元法凑元,设元,验增根代入原方程每个分母,值0.换元.10. 二元二次方程组的解法：（1）代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;0）0的方程;20.方程组中含有能分解为（2）分解降次法（20应分组为1020 3留意：1134030404030 11几个常见转化： 1x2 1x2 2x1x222x1x2；x1x22x1x224x1x2；x21x122；第 2 页,共 6 页 2 x2x或x21x1

6、22；x1x2x11x222x1xx2224x1x21x2x1xx22；x2xxx21x24 x1x2x1x221.分类为x1x212和x14x22；2 .两边平方为（xx2）23 x14或x2 116 1分类为x14和x14.；x23x23x23x2 292 两边平方一般不用,由于增加次数4如x1sinA,x2sinB且AB90时,由公式sin2Acos2A1 ,cosAsinB可推出x2x2.1留意隐含条件:x10,x20 .125 x1,x2如为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系例如几何定理,相像形, 面积等式,公式推导出含有x1,x2的关系式.留意隐含条件:x10 ,x2.06

7、如题目中给出特别的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比,并且引入“帮助未知元k”.7方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆 1. 垂径定理及推论: 几何表达式举例：如图：有五个元素, “ 知二可推三”；需记忆其中四个定理, CD 过圆心CDAB 即“ 垂径定理”“ 中径定理”“ 弧径定理”“ 中垂定理”. C平分优弧AE=BEO过圆心AC=BCAEDB垂直于弦AD=BD平分弦

8、平分劣弧2. 平行线夹弧定理：几何表达式举例：圆的两条平行弦所夹的弧相等. AOBABCDCDAC=BD3. “ 角、弦、弧、距” 定理：（同圆或等圆中）几何表达式举例：1 AOB=COD AB = CD 2 AB = CD AOB=COD “ 等角对等弦”； “ 等弦对等角”；B“ 等角对等弧”； “ 等弧对等角”；AEO“ 等弧对等弦”；“ 等弦对等 优,劣 弧” ；“ 等弦对等弦心距”；“ 等弦心距对等弦”. CFD4圆周角定理及推论: . 如几何表达式举例：（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（ 1） ACB= 1 AOB 2（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

9、 如图 （3）“ 等弧对等角”“ 等角对等弧”； （4）“ 直径对直角”“ 直角对直径”； 如图 （ 2） AB 是直径（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 ACB=90图 C（ 3） ACB=90CA AB 是直径OBAOBD（ 4） CD=AD=BD ABC是 RtCBA（1）（2）（3）（4）C几何表达式举例：5圆内接四边形性质定理: B圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外 ABCD是圆内接四边形角都等于它的内对角.AADCEB是 半 径CDE =ABC C+A =180 6切线的判定与性质定理: . 几何表达式举例：如图：有三个元素, “ 知二可推一”

10、；需记忆其中四个定理（ 1） OC是半径 OCAB （1）经过半径的外端并且垂直于这条OAB是切线半径的直线是圆的切线；（ 2） OC是半径（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；垂 直AB是切线 （ 3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；是 切 线OCAB （ 4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （ 3） 名师归纳总结 第 3 页,共 6 页 3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7切线长定理 : PAO几何表达式举例：从圆外一点引圆的两条切线,B PA、PB是切线它们的切线长相等；圆心和这一 PA=PB 点的连线平分两条切线的夹角. PO过

11、圆心 APO =BPO 8弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）假如两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等；（ 1） BD是切线, BC是弦 CBD =CAB （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半 D. （如图）（ 2）EF = AB ED,BC是切线 CBA = DEF 几何表达式举例：ACEFABDBC9相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例（ 1） PAPB=PCPD （ 2） AB是直径PCAB PC 2=PA P

12、B 几何表达式举例：（ 1） PC是切线,PB是割线PC 2=PA PB （ 2） PB、PD是割线中项 . DCACPBAOPB10切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 .BPAPB=PCPD BAAC: PCD几何表达式举例：P11关于两圆的性质定理（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（ 1） O1,O2是圆心（2）假如两圆相切,那么切点肯定在连心线上O2. （2）EO1O2 垂直平分 AB （ 2） 1 、2 相切AO1 、A、O2

13、三点一线AO1O2O1B（1）12正多边形的有关运算: RnO公式举例：（1）中心角n ,半径 RN , 边心距 r n ,D1 n =360 ；nn 边长 an ,内角n , 边数 n；rn（2）有关运算在Rt AOC中进行 . AC anBn 2 n1802n几何 B 级概念：（要求懂得、会讲、会用,主要用于填空和挑选题）一基本概念： 圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高第 4 页,共 6 页 4 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）名师归纳总结 - -

14、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角 . 二 定理：1不在始终线上的三个点确定一个圆 . O2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 . A B3正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形 .三 公式：1. 有关的运算： （1）圆的周长 C=2 R；（2）弧长 L= n R；（3）圆的面积 S= R 2. 180（4）扇形面积 S 扇形 = n R 2 1 LR；（5）弓形面积 S 弓形 =扇形面积 SAOB AOB的面积 . （如

15、图）360 22. 圆柱与圆锥的侧面绽开图：四（ 1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2 rh ； r:底面半径； h: 圆柱高 . （ 2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =1LR. （L=2 r ,R是圆锥母线长；r 是底面半径）2常识：1 圆是轴对称和中心对称图形. 2 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心. 4 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 d r ；直线与圆相切 d=r ；直线与圆相离 d r. 5 圆与圆的位置关系： （其中 d 表

16、示圆心到圆心的距离,其中R、r 表示两个圆的半径且Rr ）两圆外离 d R+r；两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-rd R+r；两圆内切 d=R-r；两圆内含 d R-r.6证直线与圆相切,常利用：“ 已知交点连半径证垂直” 和“ 不知交点作垂直证半径”的方法加帮助线 7 关于圆的常见帮助线：O. OCC. ABAOBBOAACBRt . 已知直径构造直角已知切线连半径,出垂已知弦构造已知弦构造弦心距直. 名师归纳总结 DDCAACOPAOPBODOPABCBDBCP圆外角转化为圆周角. 圆内角转化为圆周角. 构造垂径定理 . 构造相像形 . MMMMAAADABO2NCB01O2DNO

17、 102CO102E01N两圆内切, 构造外公切线与EN两圆外切,构造内公切两圆内切,构造外公切线两圆外切,构造内公切线与平行 . 垂直 . 与平行 . 线与垂直 . 第 5 页,共 6 页 5 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AAABCOO1C02APCOEEBODD两圆相交构造公共弦,连BCB两圆同心, 作弦心距,可证结圆心构造中垂线. PA、PB 是切线,构造双相交弦出相像 . 得 AC=DB. B垂图形和全等 . ADAAABOPCEOEOPBCPCDBFC规章图形折叠出一对全一切一割出相像, 并且构两割出相像, 并且构造圆双垂出相像, 并且

18、构造等,一对相像 . 造弦切角 . 周角 . 直角 . ADECAFOHADEFOAGBODO圆的外切四边形对边和相BCBDCCEB等. 如 AD BC 都是切线,连等腰三角形底边上的的Rt ABC的内切圆半径：结OA 、 OB可 证 高 必 过 内 切 圆 的 圆 心r=abc. AOB=180 ,即 A、O、B 三和切点 , 并构造相像形 . 2点一线 . OCABo1ACo2o1o2B补全半圆 . 名师归纳总结 APAB=O1 O2 2Rr2. . AB=O 1 O2 2Rr2. 第 6 页,共 6 页 6 DACCODBPAOBGMFO是圆心,等弧出平行和相像BDNECPC过圆心, PA 是切线,构作 ANBC,可证出 : 造GFAM. 双垂、 Rt . BCAN- - - - - - -