2022年椭圆的简单几何性质典型例题.docx

《2022年椭圆的简单几何性质典型例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年椭圆的简单几何性质典型例题.docx（38页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载典型例题一例 1椭圆的一个顶点为A2,其长轴长是短轴长的2 倍,求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置解：（1）当A2,为长轴端点时,a2,b1,是不能确定椭圆椭圆的标准方程为：x2y21；41（2）当A2,为短轴端点时,b2,a4,椭圆的标准方程为：x2y21；416说明： 椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,的横竖的,因而要考虑两种情形典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率解：2ca2213 c2a2,c3e1333说明： 求椭圆的离心率问题,通常

2、有两种处理方法,一是求 含 a 和 c 的齐次方程,再化含 e 的方程,解方程即可典型例题三a ,求 c ,再求比二是列名师归纳总结 例 3 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆与直线xy10交于 A 、B 两点, M第 1 页,共 20 页为 AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程解： 由题意,设椭圆方程为x2y21,2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由xyy10,得1a2x2学习必备0欢迎下载2 x212a2x,a 2x Mx 12x21a2,yM214xM112,a2akOMyM111,a,xa24Mx2y

3、2为所求4说明：（ 1）此题求椭圆方程采纳的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题,常常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆x2y21上不同三点Ax 1,y 1,B9 4,5,Cx2,y2与焦点F4,的259距离成等差数列（1）求证x 1x28；（2）如线段 AC 的垂直平分线与x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k 名师归纳总结 证明：（1）由椭圆方程知a5,b3,c4第 2 页,共 20 页由圆锥曲线的统肯定义知：AFx 1c a,a2c9 5,AFaex 154x 15同理CF54x 25AFCF2BF,且BF54x 154x218,555

4、y2,所以它的垂直平分线方程为即x 1x28（2）由于线段 AC 的中点为4,y 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yy 12y2x 1学习必备欢迎下载x2x4y 1y2又点 T 在 x 轴上,设其坐标为 x 0,代入上式,得x 0 4 y 1 2 y 2 22 x 1 x 2又点 A x 1,y 1,B x 2,y 2 都在椭圆上,y 1 2 925 x 1 2252 9 2y 2 25 x 225y 1 2 y 2 2 9 x 1 x 2 x 1 x 225将此式代入,并利用 x 1 x 2 8 的结论得x 0 4 36259kBT 5 0 5

5、4 0x 4典型例题五例 5 已知椭圆x2y21,F 、F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使 M 到43左准线 l 的距离 MN 是MF 与MF2的等比中项？如存在,就求出点M 的坐标；如不存在,请说明理由解：假设 M 存在,设Mx 1,y 1,由已知条件得a2,b3,c1,e1 2左准线 l 的方程是x4,MN4x 1又由焦半径公式知：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - MF 1aex 121x 1,学习必备欢迎下载2MF 2aex 121x 12MN2MF 1MF2,x 1x 14221x 12122整理得

6、52 x 132x 1480解之得1x4或1x125另一方面21x2M 不存在就与冲突,所以满意条件的点说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,依据已知条 件进行推理和运算进而依据推理得到的结果,再作判定（3）本例也可设M2cos,3sin存在,推出冲突结论（读者自己完成）典型例题六例 6 已知椭圆x2y21,求过点P1,12 2且被 P 平分的弦所在的直线方程2分析一： 已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求 k 解法一： 设所求直线的斜率为k ,就直线方程为y1kx1代入椭圆方程,并22整理得名师归纳总

7、结 12 k2x22 k22 kx1k2k30第 4 页,共 20 页22由韦达定理得x 1x22 k22kk112 k2 P 是弦中点,x 1x21故得2所以所求直线方程为2x4y30- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析二： 设弦两端坐标为x ,学习必备y欢迎下载1x 、x 、1y 、2y 的方程组,从y 1、x ,2,列关于而求斜率：y1y 2的直线与椭圆交于Ax 1,y 1、Bx2,y2,就由题意得x 1x 2解法二： 设过P1,12 22 x 12 y 11,22 x 22 y 21,2x 1x 21,y 1y 21.得2 x 12x22 y

8、 1y2022y21,即直线的斜率为1将、代入得y 1x 1x222所求直线方程为2x4y30说明：（1）有关弦中点的问题,主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“ 点差法”,解决有关弦中点问题的题较便利,要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“ 韦达定理应用” 及“ 点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程名师归纳总结 b2（1）长轴长是短轴长的2 倍,且过点2,6；y26a2148,第 5 页,共 20 页（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机相互垂直,且焦距为1求出分析： 当方程有

9、两种形式时,应分别求解,如（1）题中由x2a2b237,在得方程x2y21后,不能依此写出另一方程y2x211483714837- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）设椭圆的标准方程为学习必备1欢迎下载x21x2y2或y2a2b2a2b2由已知 a 2 b又过点 2,6,因此有2 2 2 222 62 1 或 62 22 1a b a b由、,得 a 2 148,b 237 或 a 252,b 213故所求的方程为2 2 2 2x y1 或 y x 1148 37 52 132 2（2）设方程为 x2 y2 1由已知,c 3,b c 3,所以 a

10、 2 18故所求方程a b2 2为 x y 118 9说明： 依据条件求椭圆的标准方程的思路是“ 选标准,定参数”关键在于焦点的位置2 2 2 2是否确定,如不能确定,应设方程 x2 y2 1 或 y2 x2 1a b a b典型例题八例 8 椭圆x2y21的右焦点为 F ,过点A1,3,点 M 在椭圆上, 当AM2MF1612为最小值时,求点M的坐标分析： 此题的关键是求出离心率最小值一般地,求AM,1MFe解： 由已知：a4c2l：x8e1,把2MF转化为 M 到右准线的距离,从而得2均可用此法所以e1,右准线2名师归纳总结 过 A 作AQl, 垂 足 为 Q , 交 椭 圆 于 M ,

11、故第 6 页,共 20 页明显MQ2MFAM2MF的最小值为AQ ,即 M- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为所求点,因此yM3学习必备欢迎下载3所以M23,3,且 M 在椭圆上故xM2说明： 此题关键在于未知式AM2MF中的“2” 的处理事实上,如图,e1,2即 MF 是 M 到右准线的距离的一半,即图中的 MQ ,问题转化为求椭圆上一点M,使M到 A的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例 9 求椭圆x2y21上的点到直线xy60的距离的最小值求出距离的最3分析： 先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,小值解：椭圆的参数方程

12、为x3cos,设椭圆上的点的坐标为3cos,sin,就点到ysin.直线的距离为dsin3cossin62sin3262当31时,d最小值22说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率e3,已知点P3 0,2到2这个椭圆上的点的最远距离是7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标分析： 此题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的才能,在求 d 的最大 值时,要留意争论 b 的取值范畴此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要 善于应用不等式、平面几何、三角等学问解决一些综合

13、性问题,从而加强等价转换、形数结 合的思想,提高规律推理才能名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备x2欢迎下载1,其中ab0待定解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是y2a2b2名师归纳总结 P由e2c2a22b21b2可得3,1到点第 8 页,共 20 页a2a2ab1e2131,即a2 ba42设椭圆上的点x,y到点 P 的距离是 d ,就d2x2y32a21y2y23y92b244 b23 y23 y93y124 b2342其中byb假如b1,就当yb时,2 d （从而 d ）有最大值2由题设得72b32,

14、由此得b731,与b1冲突2222因此必有b1成立,于是当y1时,2 d （从而 d ）有最大值22由题设得724 b23,可得b1,a2所求椭圆方程是x2y2141由y1及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点3,1,点2223 0,2的距离是7 b0,待定,解法二： 依据题设条件,可取椭圆的参数方程是xacos,其中a0ybsin2,为参数由2 ec2a22 a2 b1b2可得2 aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b1e2131,即学习必备欢迎下载a2 ba42设椭圆上的点x,y到点P3 0,2的距离为 d ,就11d2x 2y32a2cos 2bsi

15、n32224 b23 b2s i n 23 bs i n943 b2s i n124 b232 b假如11,即b1,就当sin1时,d （从而 d ）有最大值22 b2由题设得72b32,由此得b731,与b1冲突,因此必有22222b成立于是当sin1时2 d （从而 d ）有最大值3,1,3,12 b由题设知724 b23,b1,a2所求椭圆的参数方程是x2cosysin由sin1,cos3 2,可得椭圆上的是222典型例题十一例 11 设 x ,y R,2 x 2 3 y 2 6 x,求 x 2y 22 x 的最大值和最小值分析： 此题的关键是利用形数结合,观看方程 2 x 2 3 y

16、2 6 x 与椭圆方程的结构一致设 x 2 y 2 2 x m,明显它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值名师归纳总结 解： 由2x23y26x,得第 9 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x932y21学习必备欢迎下载234 2点可见它表示一个椭圆,其中心在 3, 点,焦点在 x 轴上,且过（ 0,0）点和（ 3, 0）2设 x 2 y 2 2 x m,就2 2x 1 y m 1它表示一个圆,其圆心为（1,0）半径为 m 1 m 1在同一坐标系中作出椭圆及圆,如下列图观看图形可知,当圆过（0,0）点时,半径最小

17、,即2m211,此时m0；当圆过（3,0）点时,半径最大, 即m14,m15xy2x的最小值为0,最大值为15典型例题十二名师归纳总结 例 12 已知椭圆x C：a2y21ab0, A、 B 是其长轴的两个端点第 10 页,共 20 页2b2（1）过一个焦点 F 作垂直于长轴的弦P P,求证：不论 a 、b 如何变化,APB120（2）假如椭圆上存在一个点Q ,使AQB120,求 C 的离心率e的取值范畴分析： 此题从已知条件动身,两问都应从APB 和AQB 的正切值动身做出估量,因- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此要从点的坐标、斜

18、率入手此题的第（2）问中,其关键是依据什么去列出离心率 e满意的 不 等 式 , 只 能 是 椭 圆 的 固 有 性 质 ：xa,yb, 根 据A QB120得 到ybx22 aya23,将x2a2a2y2代入,消去 x ,用 a 、b 、c 表示 y ,以便利用y2b2列出不等式这里要求思路清晰,运算精确,一气呵成名师归纳总结 解：（1）设Fc,Aa,Ba,第 11 页,共 20 页x2ca2y2a 2b2P2 c,b abx 2于是k APa2 ba,k BPab2accAPB 是 AP 到 BP 的角b2b2tanAPBacaaca2 a2b4c21a2a2c2a2c2tanAPB2故t

19、anAPB3APB120（2）设Qx,y,就kQAxya,kQBxya由于对称性,不妨设y0,于是AQB 是 QA 到 QB 的角tanAQBya2yax22 aya2xx 2 y2 y1xa2AQB120,x22 aya23y2整理得3x2y2a22 ay0x2a2a2y2b231a2y22 ay0b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y0,y2ab2学习必备欢迎下载3 c2y4b,2ab2b22 ee4103 c22 ab3c2,4a2a2c23 c4c4a24c24a40,34 ee23 2或2 e2（舍）,63典型例题十三例 13 已知椭圆kx

20、28y21的离心率e1,求 k 的值92分析： 分两种情形进行争论解：当椭圆的焦点在x 轴上时,a2kb28,b289,得c21kk1由e1,得k42当椭圆的焦点在y 轴上时,a29,k,得c2由 e 1,得 1 k 1,即 k 52 9 4 4满意条件的 k 4 或 k 54说明： 此题易显现漏解排除错误的方法是：由于 k 8圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y轴上故必需进行争论典型例题十四与 9 的大小关系不定,所以椭例 14 已知椭圆x2y21上一点 P 到右焦点F 的距离为 bb1 ,求 P 到左准线4 b2b2的距离分析： 利用椭圆的两个定义,或利用其次定义和椭圆两准线的距离求解名

21、师归纳总结 解法一： 由x2y2,得a2 b,c3 b,e3第 12 页,共 20 页214 b2b2由椭圆定义,PF 1PF 22 a4 b,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PF 14 bPF 24 bb3 b学习必备欢迎下载由椭圆其次定义,PF 1e,d 为 P 到左准线的距离,3,d 1d1PF 123 b,e即 P 到左准线的距离为23 b解法二： PF 2e,d 为 P 到右准线的距离,ecd2a2d2PF 2233be又椭圆两准线的距离为2a2833bc P 到左准线的距离为833b233b23 b说明： 运用椭圆的其次定义时,要留意焦

22、点和准线的同侧性否就就会产生误会椭圆有两个定义, 是从不同的角度反映椭圆的特点,解题时要敏捷挑选,运用自如 一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第肯定义； 假如遇到动点到定直线的距离问题,就用椭圆的其次定义典型例题十五名师归纳总结 例 15 设椭圆x4cos,.为参数 上一点 P 与x轴正向所成角POx3,求第 13 页,共 20 页y23sinP 点坐标分析： 利用参数与POx 之间的关系求解解： 设P4cos,23sin,由 P 与 x 轴正向所成角为3,tan3243sin,即tan2cos而sin0,cos0,由此得到cos5,sin255,5 P 点坐标为455,4155- -

23、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载典型例题十六点例 16 设Px0,y 0是离心率为 e 的椭圆x2y21ab0上的一点, P 到左焦2b2aF 和右焦点F 的距离分别为1r 和2r ,求证：r 1aex 0,r2aex 0分析： 此题考查椭圆的两个定义,利用椭圆其次定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离解： P 点到椭圆的左准线l：xa2的距离,PQx0a2,ccPF1由椭圆其次定义,e,PQr 1 e PQ a ex 0,由椭圆第肯定义,r 2 2 a r 1 a ex 0说明： 此题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆

24、的焦半径（或焦点弦）的有关问题时,有着广泛的应用请写出椭圆焦点在 y 轴上的焦半径公式典型例题十七例 17已知椭圆x2y21内有一点A 1,1 ,F 、F 分别是椭圆的左、右焦点,点95P 是椭圆上一点1求PAPF 1的最大值、最小值及对应的点P 坐标；一是目标函数当,2求PA3 PF 22的最小值及对应的点P 的坐标分析：此题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法：即代数方法二是数形结合,即几何方法此题如按先建立目标函数,再求最值,就不易解决；如抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 -

25、- - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：名师归纳总结 1 如 上 图 ,2a6,F 22,0,AF 22, 设 P 是 椭 圆 上 任 一 点 , 由第 15 页,共 20 页PF 1PF 22 a6,PAPF 2AF 2,PAPF 1PF 1PF 2AF 22 aAF 262,等号仅当PAPF 2AF 2时成立,此时 P 、 A、F 共线由PAPF 2AF 2,PAPF 1PF 1PF 2AF 22 aAF 262,等号仅当PAPF 2AF 2时成立,此时P 、 A 、F 共线建立 A 、F 的直线方程xy20,解方程组x2 xy92,0得两交点52 y451P9152,515

26、2、2P9152,5152714714714714综上所述,P点与1P 重合时,PAPF 1取最小值62, P 点与P 重合时,PAPF 2取最大值622如下图, 设 P 是椭圆上任一点, 作 PQ 垂直椭圆右准线, Q 为垂足, 由a3,c2,e2 由椭圆第 二定义 知PF 2e2, PQ3 PF 22,PQ33PA3PF 2PAPQ,要使其和最小需有A 、 P 、Q 共线,即求 A 到右准线距离 右2准线方程为x92- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 到右准线距离为学习必备欢迎下载1,代入椭圆得满意条7 此时 P 点纵坐标与 2A点纵坐标相同为件

27、的点 P 坐标655,1 说明：求PA1 PF 2e的最小值,就是用其次定义转化后,过 A 向相应准线作垂线段 巧用焦点半径PF 2与点准距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段典型例题十八例 181写出椭圆x2y21的参数方程；942求椭圆内接矩形的最大面积分析： 此题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和削减未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题解： 1 x3 cosR x 轴和 y 轴,设y2sin2设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于 3cos4,2sin为矩形在第一象限的顶点,02,就S3cos2sin12sin212故椭圆内

28、接矩形的最大面积为12说明： 通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,值问题,用参数方程形式较简便典型例题十九一般地, 与圆锥曲线有关的最例 19 已知F ,F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且F 1PF2601求椭圆离心率的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2求证PF 1F2学习必备欢迎下载的面积与椭圆短轴长有关分析： 不失一般性,可以设椭圆方程为名师归纳总结 x2y21（ab0）,Px 1,y 1（1y0）第 17 页,共 20 页22ab思路一：依据题设简单想到两条直线的夹角公式,即ta

29、n60KPF2PF 2KPF 13,设1KKPF1P x 1,y 1,F 1c,0,F2c,0 , 化 简 可 得3x 123y22 cy 13c20 又1x 12y 121,两方程联立消去2 1x得3 c2y22 b2cy 13b40,由y 10,b,可以a2b21确定离心率的取值范畴；解出1y 可以求出PF 1F2的面积,但这一过程很繁思路二： 利用焦半径公式PF 1aex 1,PF 2aex 1,在PF 1F2中运用余弦定理,求1x ,再利用x 1a,a,可以确定离心率e 的取值范畴,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出PF 1F 2的面积思路三：利用正弦定理、余弦定理,结合PF 1PF 22 a求解解：法 1设椭圆方程为x2y21（ab0）,Px 1,y 1,F 1c,0,F 2c,0 ,a2b2c0,就PF 1aex 1,PF 2aex 1在PF 1F 2中,由余弦定理得cos 601aex 12aex 122 4 c,22 aex 1aex 1解得x 124c22 ea2312 x 10,a2,04c22 ea2a2,即4 c2a203- - - - - - -精选学习