2022年第五节-函数的极值与最大值最小值.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第五节 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法定义 设函数fx 在点x 的某邻域Ux 0内有定义, 假如对于去心邻域U x 0内有定义,假如对于去心邻域U x 0内的任一 x ,有fxfx 0（或fxfx 0）,那么就称fx 0是函数 fx 的一个极大值（或微小值）函数的极大值与微小值统称极值,使函数取得极值的点称为极值点定理 1 （必要条件）设函数fx 在点x 处可导,且在x 处取得极值,就fx00.定理 2（第一充分条件）设函数fx 在0x 处连续,且在x 的某去心邻域U x 0,内可导（1）如当xx 0,x0时,

2、fx0,而当xx 0,x 0时,fx0,就 fx 在0x 处取得极大值；（2）如当xx 0,x0时,fx0,而当xx 0,x 0时,fx0,就 fx 在0x 处取得微小值；名师归纳总结 （3）如当xUx 0,时, fx 的符号保持不变,就fx 在0x 处不取得极值第 1 页,共 6 页例 1 求函数f xx43x12的极值解fx 在,内可导,除x1外到处可导,且fx53x13x1解方程fx0得函数的驻点x1易知x1为函数的不行导点在, 1 内,fx0；在1,1 ,fx0,故x1是函数的一个极大值点又因在 1,内,fx0,故x1是函数的一个微小值点极大值为f10,微小值为f13 3 4.- -

3、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 2（其次充分条件）精品资料欢迎下载fx 00,fx00,就设函数 fx 在0x 处具有二阶导数且在x（1）当fx 00时,函数fx 在0x 处取得极大值；fx0,函数 fx（2）当fx 00时,函数fx 在0x 处取得微小值例 2 求函数fx2 x131的极值解fx6x x22 1 .解方程fx0,得驻点x 11,x20,x31.fx6x215x21 .因f060,故 fx 在x0处取得微小值f00.因f1f10,故用定理3 无法判别当 x 取1左侧邻近的值时,fx0；当 x 取1右侧邻近的值时,1处不取极值同理,fx

4、在x1处不取极值二、最大值最小值问题名师归纳总结 求闭区间a b 上连续函数fx 的最大值最小值的方法如下：第 2 页,共 6 页（1）求出 fx 在a b 内的驻点及不行导点；（2）运算 fx 在上述驻点、不行导点处的函数值及fa , f b ；（3）比较（ 2）中诸函数值的大小,其中最大的就是fx 在区间a b 上的最大值,最小的就是fx 在区间a b 上的最小值例 3 求函数fx2 x3 x2在3,4 上的最大值与最小值解fxx223xx2,xx312,4 ,x32,1,2 .fx2x3,xx3,12,4 ,2 x3,1,2 .在3,4 内, fx 的驻点为x3；不行导点为x1,2.2-

5、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于f320,f10,f3精品资料20,欢迎下载6,所以 fx 在3,4 上的最大值1,ff424为f320,最小值为f20.例 4 铁路上 AB 段的距离为100km工厂 C 距 A 处 20km,AC 垂直于 AB（如下列图） 为了运输需要, 要在 AB 线上选定一点 D向工厂修筑一条大路已知铁路每千米货运的运费与大路上每千米货运的运费之比为 3:5 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省, 问 D点应选在何处？解 设 ADx km,就DB100x km,CD202x2400x2.5k （ k 为某个正数）

6、 ,从 B 点到 C 点需设铁路上每千米的运费为3k ,大路上每千米为要的需要的总运费为y ,就x,0x100.y5 k4002 x3 k100该函数的导数为方程yk5x2 x3 .380 , k y|x100500k11,所以该函数在区间0,100 上的最小400y0的解为x15.由于y| x0400 , k y|x152 5值为y|x15380k 因此当AD15km 时,总运费最省习题 3-5 1.求以下函数的极值：名师归纳总结 （1）y2x36x218x7；12.第 3 页,共 6 页解y6 x212x18,y12x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

7、- 令y0得驻点x 11,x 23.精品资料欢迎下载y|x由y| x1240知y| x117为极大值,由y| x31240知y|x3x147为微小值| xy|为 极 大 值 由（3）yx422 x ；解y43 x4x42 x x1 ,y12x24.80 知1令y0得驻点x 11,x 21,x 30.由y|x180知y| x11为 极 大 值 由y040 知y|x00为微小值（5）y13 x2；45x解y3 45 x213x10x25x12.x时,y0,2 45 x545x2452 x3 2令y0得驻点x12. 512,12上单调增加； 当12 5当x12时,y0,因此函数在55因此函数在12

8、, 5上单调削减,从而y205 10为极大值56.求以下函数的最大值、最小值：名师归纳总结 值为（1）y2x332 x, 1x4；|x4y80,得函数的最大第 4 页,共 6 页解 函数的导数为y6x26x6x x1 .令y0得驻点x 10,x21.比较y|x15,y|x00,y| x11,yy| x480,最小值为y| x15.| x311,最小值为（2）x8x22, 1x3；解 函数的导数为y4 x316x4x x2x2 .令y0得驻点x 12（舍去）,x20,x32.比较y|x15,y| x02,y| x214,y|311,得函数的最大值为- - - - - - -精选学习资料 - -

9、- - - - - - - y|x214.精品资料欢迎下载y|x（3）yx1x, 5x1.x|x2 1xx1.x |35yx|11,得函数的最大值为解 函数的导数为y112 12 1令y0,得驻点x3 . 4比较y556 , y435,最小值为y|x5465.4410.某车间靠墙要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌 长方形才能使这间小屋的面积最大？20m 长的墙壁问应围成怎样的解 如图,设这间小屋的的宽为x ,长为 y ,就小屋的面积为Sxy .已知 2xy20,即y202x ,故为极大值点, 又驻点唯独,Sx202x20x2x2,x0,10 .S204 , x S4.令S0,得驻点x5.由S0

10、知x5故极大值点就是最大值点,即当宽为5 m,长为 10 m 时,这间小屋的面积最大12.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如下列图） 截面的面积为52 m 问底宽 x为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 设截面的周长为l ,已知l精品资料x欢迎下载2x25,即y5x.故x2y及xy22x8llxx10,xx0,40.由lx402030知x440为微小值点,又驻4xl1410,l20 3 x.440 .x2令0,得驻点44024点唯独,故微小值点就是最小值点所以当截面的底宽为x440时,才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页