2022年不等式知识点及其解题技巧.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式学问点及其解题技巧1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：如 a b c d,就 a c b d（如 a b c d,就 a c b d）,但异向不等式不行以相加；同向不等式不行以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除；异向不等式可以相除 ,但不能相乘：如 a b 0, c d 0,就 ac bd（如 a b 0,0 c d,就a b）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：如 a b 0,就 a nb n或c dna nb；（4

2、）如 ab 0,a b,就 1 1；如 ab 0,a b,就 1 1； 如（ 1）a b a b对于实数 a , b , c 中,给出以下命题： 如 a b , 就 ac 2bc 2； 如 ac 2bc 2, 就 a b； 如 a b 0 , 就 a 2ab b 2； 如 a b 0 就 1 1； 如 a b 0 , 就 b a；a b a ba b 1 1 如 a b 0 , 就 a b； 如 c a b 0 , 就； 如 a b ,就c a c b a ba 0, b 0；其中正确的命题是 _（答：）；（2） 已知 1 x y 1,1 x y 3,就 3x y 的取值范畴是 _（答：1 3

3、 x y 7）；（3）已知 a b c,c 1且 a b c 0 , 就 的取值范畴是 _（答：2,）a 22. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判定差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（ 6）利用函数的单调性； （7）查找中间量或放缩法；8 图象法； 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 其 中比较 法（作 差、作商）是最 基本的 方法； 如 （ 1） 设a0 且a,1t0, 比较1loga和logat21的大小（答：当a1时,1logatlogat21（

4、t1时取等号）；当220a1时,1logatlogat21（t1时取等号） ）；（ 2） 设a2,paa12,2q2a24a2, 试 比 较p,q的 大 小 （ 答 ：pq）；（ 3 ） 比 较1+log x3与2logx2 x0 且x1的大小（答：当0x1或x4时, 1+log x32logx2；当31x4时, 1+log x32logx2；当x4时, 1+log x32logx2）333. 利用重要不等式求函数最值时,你是否留意到： “ 一正二定三相等,和定积最大,积定和最小 ” 这 17 字方针； 如（1）以下命题中正确选项A、yx1的最小值是2 B、xyx23的最小值是2 C、y23

5、x4x0的最大值是24 3D 、x2 x2y23x4x0的最小值是24 3（答： C）；（2）如x2y1,就x 24y的最x小值是 _（答：2 2）；（3）正数x y满意x2y1,就11的最小值为 _（答：xy32 2）；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4. 常用不等式 有：（1）a22b2学习必备欢迎下载1 a21 b依据目标不等式左右的运算a2bab结构选用 ；（ 2）a、b、cR,a2b2c2abbcca（当且仅当abc时,取等号）；（3）如 a b

6、 0, m 0,就 b b m（糖水的浓度问题） ；如假如正数 a、b 满意a a mab a b 3,就 ab 的取值范畴是 _（答：9,）5、证明不等式的方法：比较法、 分析法、 综合法和放缩法 比较法的步骤是： 作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判定符号或与 1 的大小,然后作出结论；. 常用的放缩技巧有：1 1 1 12 1 1 1n n 1 n n 1 n n n 1 n 1 nk 1 k 1 1 1 k k 1k 1 k 2 k k 1 k如 （ 1 ） 已 知 a b c, 求 证 ：a 2b b 2c c 2a ab 2bc 2ca 2； 2 已 知a , b ,

7、c R,求证：a 2b 2b 2c 2c 2a 2abc a b c ；（ 3） 已知 a b x y R,且1 1 , x y, 求 证 ：x y； 4 如 a、 b、 c 是 不 全 相 等 的 正 数 , 求 证 ：a b x a y blg a b lg b c lg c a lg a lg b lg c；（5）已知 a , b , c R,求证：a b 2 2b c 2 22 2 2c a 2 2abc a b c ；6 如 n N *,求证： n 1 21 n 1 n 21 n；7已知 | a | | b |,求证：| a | | b | | a | | b |；（8）求证：1 1

8、2 12 12 2；| a b | | a b | 2 3 n6. 简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （1）分解成如干个一次因式的积, 并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留意 奇穿过偶弹回 ；（3）依据曲线显现 f x 的2符号变化规律, 写出不等式的解集；如（1）解不等式 x 1 x 2 0；（答： x x 1 或2x 2）；（2）不等式 x 2 x 2 x 3 0 的解集是 _（答： x x 3 或 x 1）；（3）设函数 f x 、g x 的定义域都是 R,且 f x 0 的解集为 x |1 x

9、 2,g x 0的解集为,就不等式 f x g x 0 的解集为 _（答： ,1 2, ）；（4） 要2使满意关于 x 的不等式 2 x 9 x a 0（解集非空）的每一个 x 的值至少满意不等式2 2 81x 4 x 3 0 和 x 6 x 8 0 中的一个, 就实数 a 的取值范畴是 _.（答：7, ）87. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最终用标根法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母；如（ 1） 解不等式x252x31（答： 1,12,3）；（2）关于x的不

10、等式axb0的解集为 ,1, 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - x就关于x的不等式axb0的解集为 _（答：,1 2,）.x28. 肯定值不等式的解法：（1）分段争论法（最终结果应取各段的并集）：如 解不等式|23x|2|x1|（答：xR）；（2）利用肯定值的定义； （ 3）数形结合； 如解不等42细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -式|x|x1|3（答：, 1学习必备欢迎下载| 3x2| | 2xa|2,）（4）两边平方： 如如不等

11、式对 x R 恒成立,就实数 a 的取值范畴为 _；（答： 4）39、含参不等式的解法：求解的通法是“ 定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键” 留意解完之后要写上：“ 综上,原不等式的解集是 ”；留意 ：按参数争论,最终应按参数取值分别说明其解集；但如按未知数争论,最终应求并集 . 如（1）如 log a 2 1,32就 a 的取值范畴是 _（答：a 1 或 0 a 2）；（2）解不等式 axx a R 3 ax 1（答：a 0 时, x | x 0；a 0 时, x x 1或 x 0；a 0 时, x | 1x 0 或a ax 0）提示：（ 1）解不等式是求不等式的解集,最终务必有

12、集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；如 关于 x 的不等式ax b 0 的解集为 1,就不等式 x 20 的解集为 _（答：（ 1,2）ax b11. 含肯定值不等式的性质：a、b 同号或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b |；a、b 异号或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b | . 如设 f x x 2x 13,实数 a 满意 | x a | 1,求证：| f x f a | 2| a | 112. 不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问

13、题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“ 分别变量法”转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法）1. 恒成立问题如不等式fxA在区间D上恒成立 , 就等价于在区间D上fxminA； 第 3 页,共 4 页 如不等式fxB在区间D上恒成立 , 就等价于在区间D上fxmaxB如（ 1） 设实数,x y满意x2y2 11,当xyc0时,c的取值范畴是 _（答：21,）；（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范畴 _（答：a1）；（3）如不等式2x1m x21对满意m2的全部m都成立,就x的取值范畴 _（答：（71,31）；（4）如不等式1

14、na21n122n对于任意正整数n恒成立,就实数a的取值范畴是_（答： 2,3）；（5）如不等式2x22mx2m10对0x1的全部实数x都成立, 求m的取值范畴 .（答：m1）22.能成立问题如在区间D上存在实数x使不等式fxA成立 , 就等价于在区间D上fxmaxA如 在 区 间D上 存 在 实 数x使 不 等 式fxB成 立 , 就 等 价 于 在 区 间D上 的fxminB. 如已知不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集,求实数a的取值范畴_（答：a1）3.恰成立问题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如不等式fxA在区间D学习必备欢迎下载fxA的解集为D；上恰成立 , 就等价于不等式细心整理归纳 精选学习资料 如不等式fxB在区间D上恰成立 , 就等价于不等式fxB的解集为D. 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -