2022年新课标高中数学必修一至必修五知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 高中数学常用公式及结论大全 新课标 必修 1 1、集合的含义与表示 一般地,我们把争论对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合；它具有三大特性：确定 性、互异性、无序性；集合的表示有列举法、描述法；描述法格式为：元素 |元素的特点 ,例如x|x,5且xN2、常用数集及其表示方法（1）自然数集 N（又称非负整数集） ：0、1、2、3、 （2）正整数集 N *或 N + ：1、2、3、 （3）整数集 Z： -2、-1、 0、1、 （4）有理数集 Q： 包含分数、整数、有限小数等（5）实数集 R：全体实数的集合（6）空集 ：不

2、含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于,不属于 例如： a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 aA 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（1）子集的概念假如集合 A 中的每一个元素都是集合B 中的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集 如图 1,记作AB或BA. Q 的元素,那么P 不包含于 Q,B A 或A,B 如集合 P 中存在元素不是集合记作PQ图 1 （2）真子集的概念如集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集B A 如图 2. A B或B A . 图 2 （3）集合相等：如集合 A 中的元素与集合 B

3、 中的元素完全相同就称集合 A 等于集合 B,记作 A=B. A B , B A A B5、重要结论（ 1）传递性：如 A B,B C,就 A C（2）空 集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集 . 6、含有 n 个元素的集合 , 它的子集个数共有 2 n 个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2 n 1 个 即不计空集 ；非空的真子集有 2 n 2 个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 A B （1）一般地,由全部属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 AB（读作 A 交 B）,即 A B= x| xA,且 xBA B （2）一般地, 对于给定的两个集

4、合 A,B 把它们全部的元素并在一起所组成的集合 ,叫做 A,B 的并集 记作 AB（读作 A 并 B）,即 AB=x| xA,或 xB名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载CUAA （3）如 A 是全集 U 的子集,由U 中不属于 A 的元素构成的集合,叫做 A 在 U 中的补集,记作CUA, C UAx|xU,且xA注：争论集合的情形时,不要发遗忘了A的情形；8、映射观点下的函数概念假如 A,B 都是非空的数集,那么 A到 B的映射 f ：AB 就叫做 A 到 B 的函数,记作 y=fx,其中xA,

5、yB.原象的集合 A 叫做函数 y=fx 的定义域,象的集合 C（C B）叫做函数 y=fx 的值域 . 函数符号 y=fx 表示“y 是 x 的函数” ,有时简记作函数 fx. 2 x 1 x 09、分段函数：在定义域的不同部分,有不同的对应法就的函数；如 y 2x 3 x 010、求函数的定义域的原就：（解决任何函数问题,必需要考虑其定义域）分式的分母不为零；如 : y 1 , 就 x 1 0x 1偶次方根的被开方数大于或等于零；如 : y 5 x , 就 5 x 0对数的底数大于且不等于；如 : y log a x 2 , 就 a 0 且 a 1对数的真数大于；如 : y log a x

6、 2 , 就 x 2 0指数为的底不能为零；如 : y m 1 x, 就 m 1 011、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满意 f x f x , 奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满意 f x f x ,偶函数的图象关于 y 轴对称；注：具有奇偶性的函数 ,其定义域关于原点对称 ; 如奇函数在原点有定义 ,就 f 0 0依据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数；12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当x1fx2时,都有fx1fx2,就fx在该区间上是增函数,图象从左到右上升；当x1x2时,都有fx1fx2,就fx在该区间上是减函

7、数,图象从左到右下降；函数x在某区间上是增函数或减函数,那么说fx在该区间具有单调性,该区间叫做单调 （增/减）区间13、一元二次方程2 axbxc0a024 acx 2（1）求根公式 : x ,1 2 b b2 a（3）0时方程有两个不等实根；4 ac（2）判别式：b0时方程有一个实根；0时方程无实根；（4）根与系数的关系韦达定理:x 1x2b,x1x2cax 1xx2a0a14、二次函数：一般式yax2bxca0；两根式yax（1）顶点坐标为b,4acb2；（2）对称轴方程为：x=b；y 2a4 a2a0 （3）当a0时,图象是开口向上的抛物线,在x=b处取得最小值4 acb2第 2 页,

8、共 18 页2 a4a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2当 a 0 时,图象是开口向下的抛物线,在 x= b处取得最大值 4 ac b2 a 4 a（4）二次函数图象与 x 轴的交点个数和判别式 的关系：0时,有两个交点；0时,有一个交点（即顶点）；0时,无交点；15、函数的零点使 f x 0 的实数 0x 叫做函数的零点；例如 x 0 1 是函数 f x x 21 的一个零点；注：函数 y f x 有零点 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 方程 f x 0 有实根16、函数零点的判定：假如函数yfx在区间a,

9、b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有fa fb0；那么,函数yfx在区间a,b内有零点,即存在ca ,b,使得fc0；17、分数指数幂（a0,m nN ,且n1）n an（1）amnam. 如x3x3；2am1n1m. 如13x3；（3） n2n2a ；maxanR （4）当 n 为奇数时,nana ；当 n 为偶数时,nan|a|a a00. a a18、有理指数幂的运算性质（a,0r,sQ）（1）arasars；（2）r a sars；（3）abrarbr19、指数函数yax（a0且a1）,其中 x 是自变量, a 叫做底数,定义域是a10a1y y 图象1 x 1 x 0 （1）定义域

10、： R 0 性（2）值域：（ 0,+）质（3）过定点（ 0,1）,即 x=0 时, y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数20、如abN,就叫做以为底 N 的对数；记作：logaNab（a0 a1,N0）其中, a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数；N a0,1,N0注：指数式与对数式的互化公式：logaNbab21、对数的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,0（1）零和负数没有对数,即logaN中N0；（2）1 的对数等于0,即log a10；底数的对数等于1,即logaa

11、122、常用对数lgN：以 10 为底的对数叫做常用对数,记为：log10NlgN自然对数lnN：以 ee=2.71828 为底的对数叫做自然对数,记为：logeNlnN23、对数恒等式：alogaNN24、对数的运算性质（a0,a 1,M 0,N0）1 log aMNnlogaMlogaN ; 2 logaMlogaMlogaN; N3 logaMnlogaM nR （留意公式的逆用）25、对数的换底公式logaNlogmN a0, 且a1,m0, 且m1 ,N0. logma推论或logab1a； loga mbnnlogab. logbm26、对数函数ylogax（a0,且a1）：其中,

12、 x 是自变量, a 叫做底数,定义域是a10a1y 图像0 1 x 0 1 x 定义域： 0, 值域： R 性质过定点（ 1,0）增函数 减函数0x1 时, y0 0x0 取值范畴x1 时, y0 x1 时, y0 27、指数函数 y a x与对数函数 y log a x 互为反函数；它们图象关于直线 y x 对称 . 28、幂函数 y x（R）,其中 x 是自变量；要求把握 ,1 1 ,1, 3,2 这五种情形 如下图 229、幂函数 y x 的性质及图象变化规律：（）全部幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（）当 0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间 0 , 上是

13、增函数（）当 0 时,幂函数的图象在区间 0 , 上是减函数33 3 2 y xy x 22 y x2名师归纳总结 - - - - - - -1 1 y x 1 第 4 页,共 18 页1 y x精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载必修 230、边长为 a 的等边三角形面积S正3 a 42锥1S底h（上述四个公式不要求记忆）31、柱体体积：V柱S底h,锥体体积：V3球表面积公式：S球2 4 R,球体积公式：V4 R 3332、四个公理：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内；3 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面；假如两个不重合的平面有一

14、个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线；平行于同始终线的两条直线平行（平行的传递性）；33、等角定理：如图 1 2 空间中假如两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补34、两条直线的位置关系：共面直线 平行相交：（在同一平面内,没有公共点）：（在同一平面内,有一个公共点）异面直线：（不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点）直线与平面的位置关系：（1）直线在平面上； （2）直线在平面外（包括直线与平面平行,直线与平面相交）两个平面的位置关系： （ 1）两个平面平行； （2）两个平面相交35、直线与平面平行：定义 一条直线与一个平面没有公共点,就这条直线与这个平面平行；判定 平面外

15、一条直线与此平面内的始终线平行,就该直线与此平面平行；性质 一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；36、平面与平面平行：定义 两个平面没有公共点,就这两平面平行；判定 如一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平 行；性质 假如两个平面平行,就其中一个面内的任始终线与另一个平面平行； 假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行；37、直线与平面垂直：定义 假如一条直线与一个平面内的任始终线都垂直,就这条直线与这个平面垂直；判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,就这条直线与这个平面垂直；性质 垂直于同一平面的两条直线平行；两平行

16、直线中的一条与一个平面垂直,就另一条也与这个平面垂直；38、平面与平面垂直：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定义 两个平行相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就这两个平面垂直；判定 一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直；性质 两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；39、三角形的五“ 心”（1） O 为 ABC 的外心（各边垂直平分线的交点）. 外心到三个顶点的距离相等（2） O 为 ABC 的重心（各边中线的交点）. 重心将中线分成 2：1 的两段（3） O 为

17、ABC 的垂心（各边高的交点）. （4） O 为 ABC 的内心（各内角平分线的交点）. 内心到三边的距离相等（5） O 为 ABC 的 A的旁心（各外角平分线的交点）. 40、直线的斜率：1 过Ax 1,y 1,Bx2,y2两点的直线,斜率ky2y1,（x1x2）z 22x2x 1（2）已知倾斜角为的直线,斜率ktan（900（3）曲线yfx在点（x0y0处的切线,其斜率kfx041、直线位置关系：已知两直线l1:yk 1xb 1,l2:yk2xb2,就l1/l2k 1k2且b 1b2l1l2k1k21特别情形：（1）当k1, k2都不存在时,l1/ l2；（2）当k 不存在而k20时,l1

18、l242、直线的五种方程：点斜式yy 1k xx 1 直线 l 过点x1y1,斜率为 k 斜截式ykxb 直线 l 在 y 轴上的截距为 b ,斜率为 k . 两点式yy 1xx 1 直线过两点x 1y1与x2y2. y2y 1x2x 1截距式xy1（a,b分别是直线在x 轴和 y 轴上的截距,均不为0）ba一般式AxByC0其中 A、 B 不同时为 0；可化为斜截式：yAxCBB43、（1）平面上两点Ax1,y 1,Bx2,y2间的距离公式：|AB|=x 1x 22y 1y22（2）空间两点A x 1,y1,z 1,Bx2,y2,z 2距离公式 |AB|=x 1x 22y 1y 22z 1（

19、3）点到直线的距离d|Ax0ABy02C|点P x0,y0,直线 l ：AxByC0. 2B第 6 页,共 18 页44、两条平行直线AxByC10与AxByC20间的距离公式：dC12C22AB注：求直线AxByC0的平行线,可设平行线为AxBym0,求出 m 即得；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 45、求两相交直线A1xB 1yC 10与A2x学习必备C2欢迎下载A A1x xB 1 yB 2 yC 1C20 0B 2y0的交点：解方程组246、圆的方程：圆的标准方程xa2yb2r2. 其中圆心为a,b,半径为 r; ; 圆的一般方

20、程x2y2DxEyF0. 其中圆心为D,E,半径为rD2E24F,其中D2E24F 0 22247、直线AxByC0与圆的xa2yb2r2位置关系（1）dr相离0; 其中 d 是圆心到直线的距离,且dAaBbC（2）相切; dr02 AB2（3）相交. dr048、直线与圆相交于Ax1,y 1,Bx2,y2两点,求弦AB长度的公式： （1）|AB|2r2d2（2）|AB|1k2x 1x 224x 1x 2（结合韦达定理使用） ,其中 k 是直线的斜率49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r 1,r 2,O 1O 2d1）dr1r2外离4 条公切线; 2）dr 1r2外

21、切3 条公切线3）r 1r2dr 1r2相交2 条公切线; 4）dr 1r2内切1 条公切线5）0dr 1r 2内含无公切线必修公式表50、算法：是指可以用运算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必需是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成 . 51、程序框图及结构程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和终止,是任何流程图不可少的；输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置；处理框赋值、 运算, 算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内；52、算法的三种基本规律结构名师归纳总结 - - - - - - -判定框判定某一

22、条件是否成立,成立时在出口处标明“ 是” 或“Y” ；不成立时标明“ 否” 或“N” ；： 次序结构、条件结构、循环结构；第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载53、三种抽样方法的区分与联系类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范畴简洁随机抽从总体中逐个抽取 总体中个体数较少样各层抽样可采纳分层 抽取过程 将总体分成几层 总体有差异明显的几部简洁随机抽样或抽样 中每个个体 进行抽取 分组成系统抽样被抽取的概将总体平均分成率相等 在起始部分抽样几部分,按事先确系统抽样 时采纳简洁随机 总体中的个体较多定的规章分别在各抽样部分抽取54、（1）频

23、率分布直方图（留意其纵坐标是“ 频率 /组距）组数 极差,频率 频数,小矩形面积 组距 频率频率；组距 样本容量 组距（2）数字特点 众数：一组数据中,显现次数最多的数；中位数：一组数从小到大排列,最中间的那个数（如最中间有两个数,就取其平均数）；平均数：x 1 x 1 x 2 x n 方差 : s = 2 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x n x 2n n标准差：s 1x 1 x 2x 2 x 2x n x 2注：通过标准差或方差可以判定一组数据的分n散程度；其值越小,数据越集中；其值越大,数据越分散；回来直线方程：y.bxa,其中binx iy in x y,ayb

24、x1x i2n x2ni155、大事的分类：（1）必定大事： 必定大事 是每次试验都肯定显现的大事；P（必定大事） =1 （2）不行能大事：任何一次试验都不行能显现的大事称为 不行能大事 ；P（不行能大事）=0 （3）随机大事：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作 随机大事 ,简称为 大事基本领件：一个大事假如不能再被分解为两个或两个以上大事,称作 基本领件 ；56、在 n 次重复试验中,大事 A 发生的次数为 m,就大事 A 发生的频率为 m/n,当 n 很大时, m 总是在某个常数值邻近摇摆,就把这个常数叫做大事 A 的概率；（概率范畴：0 P A 1）57、互斥大事概念：在一次

25、随机大事中,不行能同时发生的两个大事,叫做互斥大事（如图 1）；假如大事 A、B 是互斥大事,就 P（A+B ）=P（A ）+P（B）58、对立大事（如图 2）：指两个大事不行能同时发生,但必有一个发生；A B 图 1 对立大事性质：P（A ）+P（ A ）=1,其中 A 表示大事 A 的对立大事；59、古典概型是最简洁的随机试验模型,古典概型有两个特点：A B （1）基本领件个数是有限的；图（ 2）（2）各基本领件的显现是等可能的,即它们发生的概率相同60、设一试验有 n 个等可能的基本领件,而大事 A 恰包含其中的 m 个基本领件, 就大事 A 的概率 PA公式为m名师归纳总结 n第 8

26、页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PAA包含的基本领件的个数学习必备欢迎下载= 基本领件的总数运用互斥大事的概率加法公式时,第一要判定它们是否互斥,再由随机大事的概率公式分别求它们的概率,然后运算；在运算某些大事的概率较复杂时,可转而先示对立大事的概率；构成大事 A 的区域长度 面积或体积 61、几何概型的概率公式：P A 试验的全部结果构成的 区域长度 面积或体积 必修公式表r62、终边相同角构成的集合：| 2 k , k Z63、弧度运算公式：l lr64、扇形面积公式：S 1lr 1r 2 为弧度 2 265、三角函数的定义：已知

27、 P x , y 是 的终边上除原点外的任一点 Px,y 就 sin y,cos x,tan y, 其中 r 2x 2y 2 r y r r x x 66、三角函数值的符号+ + + + + + sin cos tan67、特别角的三角函数值：0 6sin4cos2323510 3第 9 页,共 18 页23462sin0 1231 3 221-1 22222cos1 33-1 0 210 -1 2-2 2-22223不存-30 不存tan0 331 -1 -在在332,1tansin68、同角三角函数的关系：cos69、和角与差角公式：cossin; 二倍角公式：cos22sin2sinsi

28、ncossin22sincoscoscossinsincos2cos2sin; cos212名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载tan tan 2tantan . tan 2 21 tan tan 1 tan70、诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变 ,符号看象限；其中,奇偶是指 的个数 ,符号参考第 66 条. 2sin 2 k sin sin sin sin sin sin sincos 2 k cos cos cos cos cos cos costan 2 k tan tan tan tan tan tan tansin

29、 cos cos sin sin cos cos sin2 2 2 271、帮助角公式：a sin b cos = a 2b 2 sin 帮助角 所在象限与点 , a b 的象限相同 ,且 tan b . 主要在求周期、单调性、最值时运用；如 y 3 sin x cos x 2 sin x a 672、半角公式 降幂公式 ：sin 2 1 cos,cos 2 1 cos2 2 2 273、三角函数 y A sin x 的性质（A 0 , 0）2 1（1）最小正周期 T；振幅为 A；频率 f；相位：x；初相：；值域： A , A ；T对称轴：由 x k 解得 x ；对称中心：由 x k 解得 x

30、 组成的点 x 0, 2（2）图象平移：x 左加右减、 y 上加下减；例如：向左平移 1 个单位,解析式变为 y A sin x 1 向下平移 3 个单位,解析式变为 y A sin x 3（3）函数 y tan x 的最小正周期 T . 74、正弦定理：在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等；abc2RR 是三角形外接圆半径 a3 2x sinAsinBsinC75、余弦定理：c o s Ab2c2a2,A bC a2b2c22 bccosA ,2 bc推论c o s Bc2b2,cB a2b2c2a22 cacosB ,2 cac2a2b22 abcosC.c o s Ca2b2c2.2

31、 ab76、三角形的面积公式：S ABC1absinC1acsinB1bcsinA .ytanx22277、三角函数的图象与性质和性质ycosx三角函数ysinxy 1 x y - 2y 0 2名师归纳总结 -0 22第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2图象- 21 2x 0 -1 2定义域,k2,k值域-1 ,1 -1 ,1 ,2k最大值x22k,ymax1x2 k,ymax1最小值x22k,y min1x2 k,ymin1周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数在22 k,22 k在2k,2k在2k,2单调性上是增

32、函数上是增函数上都是增函数kZ在22 k,32 k在2k,2k2上是减函数上是减函数78、向量的三角形法就： 79、向量的平行四边形法就：a+b b a 80、平面对量的坐标运算b x 1,b-a x 2,y2b a a+b a : 设向量 a=y 1, 向量 b=（1）加法 a+b=x 1 x 1,x 2,y 1y2. y 1（2）减法 a-b=x 1x 2,y 1y 2. （3）数乘a=y 1x 1,（4）数量积 ab=| a| b|cos =x 1x2y1y2,其中是这两个向量的夹角（5）已知两点Ax y 1,Bx 2,y2,就向量ABOBOAx 2x 1,y 2y 1. 81、向量 a= , x y 的模： | a|=a2aax2y2,即|a2|a282、两向量的夹角公式cosa b2 x 1x x2y y 22 y 2a b2 y 1x2 283、向量的平行与垂直（b0）a| b b = a x y2x y 10. 记法：a=x 1,y 1, b=x 2,y2ab ab=0 x x 2y y 20.记法 ： a =x 1,y 1, b=x 2,y2必修公式表84、数列前 n项