2022年椭圆与双曲线的对偶性质--.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载椭圆与双曲线的对偶性质 椭- （必背的经典结论）圆1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 . PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角,就焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 如P x0,y0在椭圆x2y21上,就过P 的椭圆的切线方程是x xy y1. a22 ba2b2如P x0,y0在椭圆x2y21外 ,就过 Po 作椭

2、圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦 P1P2的a22 b直线方程是x xy y1. a2b2椭圆x2y21ab 0的左右焦点分别为F1, F 2,点 P 为椭圆上任意一点F PF2,就a2b2椭圆的焦点角形的面积为SF PF 12b2 tan2.椭圆x2y21（a b 0）的焦半径公式：a2b2|MF1|aex ,|MF2|aex F 1c,0, F2 ,0M x 0,y 0. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M 、N 两点,就MF NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、

3、A2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A2Q 交于点 M ,A2P 和 A1Q 交于点 N,就 MF NF. 11.12.13.AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦,Mx 0y0为 AB 的中点, 就k OMkABb2,a2b2a2即K ABb2x0；a2y 0如P x0,y 0在 椭 圆x2y21内 , 就 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是a2b2x xy y2 x 0y02. a2b2a2b2如P x0,y0在椭圆x2y21内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x xy y. a22 ba2b2a2b2双曲线 1点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P

4、处的内角 . 名师归纳总结 2PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角,就焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载轴的两个端点 . 3 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支；外切：P 在左支）2 2x y x x y y5如 P x 0 , y 0 在双曲线 2 2 1（ a0,b 0）上,就过 P 的双曲线的切线方程是 2 2 1 . a b a b2 2x y6如

5、 P x 0 , y 0 在双曲线 2 2 1（ a0,b 0）外 ,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,a b就切点弦 P1P2的直线方程是 x x2 y y2 1 . a b2 2x y7 双曲线 2 2 1（a 0,bo）的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 F PF 2,a b就双曲线的焦点角形的面积为 S F PF 1 2 b co 2 t2 . 2 2x y8 双曲线 2 2 1（a 0,bo）的焦半径公式： F 1 c ,0 , F 2 ,0a b当 M x 0 , y 0 在右支上时,| MF 1 | ex 0 a , | MF 2 | ex

6、 0 a . 当 M x 0 , y 0 在左支上时,| MF 1 | ex 0 a , | MF 2 | ex 0 a9 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、 N 两点,就 MF NF. 10过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M ,A 2P 和 A 1Q 交于点 N,就 MF NF. 名师归纳总结 11 AB 是双曲线x2y21（ a 0,b0）的不平行于对称轴的弦,Mx0y0为 AB的中点,就第

7、2 页,共 6 页a2b2KOMKAB2 bx 0,即K ABb2x 0；a2y 0a2y 012 如P x0,y0在 双 曲 线x2y21（ a 0,b 0） 内 , 就 被Po 所 平 分 的中 点 弦 的 方 程 是a2b2x xy yx02y02. a2b2a2b213如P x0,y 0在双曲线2 xy21（ a 0,b 0）内,就过Po 的弦中点的轨迹方程是a2b2x2y2x xy y.a2b2a2b2椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆1椭圆x2y21（ ab o）的两个顶点为A 1a ,0,A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、a2b2P2时 A1P1

8、与 A2P2交点的轨迹方程是x2y21. a22 b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备,欢迎下载B,C 两2 2x y2 过椭圆 2 2 1 a0, b0上任一点 A x 0a b2点,就直线 BC 有定向且 k BC b xa y 2 00（常数） . y0任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于名师归纳总结 3；如P 为椭圆x2y21（ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , PF F 2, 第 3 页,共 6 页a2b2PF F 1,就a actan2cot2. c4 设椭圆2 xy21（ ab 0）的两个焦点为F1、 F

9、2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在2 ab2PF1F2中,记F PF2, PF F2,F F P,就有sinsinsince. a5 如椭圆x2y21（a b 0）的左、右焦点分别为F1、 F2,左准线为L,就当 0 e21 时,a2b2可在椭圆上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 . 6 P 为 椭 圆x2y21（ a b 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 , A为 椭 圆 内 一 定 点 , 就a2b22a|A F| |P A|P F|2a|A F ,当且仅当 |A F 2,P 三点共线时,等号成立. 7椭圆2xx 02yy

10、0201与直线A xB y0 C有公共点的充要条件是2 a2 B b222 A aAx0bByC2. 8已 知 椭 圆2 xy21（ a b 0 ）, O 为 坐 标 原 点 , P 、 Q为 椭 圆 上 两 动 点 , 且 OPOQ. （ 1 ）2 ab21111;（2）|OP| 2+|OQ| 2 的最大值为2 4a b2;（3）SOPQ的最小值是2 a b22. |OP2 |OQ2 |a2b2a2b2a2b9 过椭圆x2y21（a b0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线a2b2交 x 轴于 P,就| |PF|e. MN|210已知椭圆2 xy21（ a

11、 b0） ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于a2b2点P x 0,0, 就a2ab2x 0a2ab2. 11设 P 点是椭圆x2y21（ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F PF 2,a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就1|PF 1|PF2|12 b2.2 S学习必备欢迎下载PF F 12b2 tan2. cos2 2x y12 设 A 、 B 是椭圆 2 2 1（a b 0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB , a b22 ab | cos |PBA , BPA,c、e 分别是椭圆的

12、半焦距离心率,就有 1 | PA | 2 2 2 .2 a c co s2 22 2 a btan tan 1 e .3 S PAB 2 2 cot . b a2 213 已知椭圆 x2 y2 1（ ab 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆a b相交于 A、 B 两点 ,点 C 在右准线 l 上,且 BC x轴,就直线 AC 经过线段 EF 的中点 . 14 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 1

13、6 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . （注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 . 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）双曲线名师归纳总结 1双曲线x2y21（a 0,b0）的两个顶点为A 1a,0,A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交双曲线第 4 页,共 6 页a2b2于 P1、P2 时 A 1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是x2y21.

14、a2b22 过双曲线x2y21（ a0,bo）上任一点A x0,y0任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于a2b2B,C 两点,就直线BC 有定向且k BC2 b x 0（常数） . 2 a y 03 如 P 为双曲线x2y21（ a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点 , a2b2PF F2, PF F 1,就catan2cot2（或catan2cot2） . caca- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 设双曲线2 xy21学习必备欢迎下载2（ a0,b 0）的两个焦点为F1、 F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点

15、,a2b名师归纳总结 在 PF1F2 中,记F PF2, PF F 2,F F P,就有sinsinsince. 第 5 页,共 6 页a5 如双曲线2 xy21（a 0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,就当 1 e21a2b2时,可在双曲线上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6 P 为双曲线x2y21（ a 0,b 0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为双曲线内肯定点,就a22 b|AF 2| 2a|PA|PF 1|,当且仅当A F2,P 三点共线且 P 和A F 在 y 轴同侧时,等号成立. 7 双 曲 线x2y21（ a 0,b

16、 0 ） 与 直 线AxByC0有 公 共 点 的 充 要 条 件 是a2b22 A a22 B b2C2. 8 已知双曲线x2y21（ba 0）, O 为坐标原点, P、 Q 为双曲线上两动点,且OPOQ . a2b2（ 1）|12 |12 |11;（ 2） |OP| 2+|OQ| 2 的最小值为2 4a b2; （ 3）SOPQ的最小值是OPOQa2b2b2a22 a b22. b2a9 过双曲线2 xy21（ a0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦 MN 的垂a2b2直平分线交 x 轴于 P,就| |PF|e. MN|210已知双曲线x2y21（ a 0,b

17、0）,A、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交a2b2于点P x 0,0, 就x 0a2ab2或x0a2ab2. 11设 P点是双曲线x a2y2,F1、F2为其焦点记F PF 2,221（ a0,b 0）上异于实轴端点的任一点b|2 b2.2 SPF F 12b2 cot2. 就1|PF 1|PF21cos12设 A、B 是双曲线x2y2P 是双曲线上的一点,PAB|, 21（a 0,b0）的长轴两端点,a2b,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,就有 1|PA|2ab2|cos. PBA,BPAa22 c co2 s- - - - - - -精选学习资料 - - - -

18、 - - - - - 2 tantan1学习必备PAB欢迎下载cot. 2 e.3 S2 2 a b2b2a213已知双曲线x a2y21（a 0,b0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点F的直线与2b2双曲线相交于A、 B 两点 ,点 C 在右准线 l 上,且 BCx轴,就直线AC 经过线段 EF 的中点 . 14过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 16双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点

19、的焦半径之比为常数 e 离心率 . 注 : 在双曲线焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . 17双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项 . 抛物线中的几组结论及应用结论 1 过抛物线的焦点 F 的直线 l 交抛物线于A（）、 B（）两点,设,O为原点,就有：. 结论 1：定值 , 结论 2：y1y2 -p2定值 ,结论 3：弦长 . 结论 4：如此焦点弦AB 被焦点 F 分成 m,n 两部分,就为定值结论 5：抛物线 y2 2pxp 0的焦点弦中通径最小结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l相切名师归纳总结 结论 7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y 轴相切结论 8： A1F B1F第 6 页,共 6 页结论 9：如 M 为 A1B1 的中点,就MF AB ；结论 10：在梯形 AA 1B1B 中,两对角线AB 1与 BA1相交于点抛物线顶点 O；结论 11 ：直线 l 交抛物线于 A（）、 B（）两点, O为原点；如 OAOB,就直线 l 经过定点（ 2p, 0）,反之亦然（证明略）；- - - - - - -