2022年新课程高中数学必修五教案《等比数列的前n项和》.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 数列2.5 等比数列的前 n 项和（第一课时）你想得到【创设情形引入新知】陛下,赏小人一些麦粒就可以；什么样的赏赐？传奇国际象棋的创造人是印度的大臣西萨 奖赏.班.达依尔,舍罕王为了表彰他的功绩,预备进行问他想要什么 .创造者说：“ 请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放上 2颗麦粒,在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,在第 4 个格子里放上 8 颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 数学问题？国王能满意他的要求吗？陛下国库里的 麦子不够啊！2 倍,直到第 64 个格子 .” 这是

2、一个什么名师归纳总结 由 于 每 格 的 麦 粒 数 都 是 前 一 格 的2倍 , 共 有64格 每 格 所 放 的 麦 粒 数 依 次 为 ：第 1 页,共 17 页2 1 2 2,3 2,63 2 .这是一个以1 为首项,2 为公比的等比数列,麦粒的总数为:要想知道国王能否满意创造者的要求,需要运算出麦粒总数.那么如何求这个等比数列的前64 项的和呢？这就是这节课要学习的内容.【探究问题形成概念】一般地,对于等比数列a 1,a 2,a 3,a n它的前 n 项和是Sna 1a 2a3a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据a na q 1n1

3、,可将上式写成S na 1a q 1a q 12a q 1n2a q 1n1用公比乘的两边,可得qS na q 1a q 123 a q 1a q 1n1a q 1n与相减,得1q S na 1a q 1na q nq1 当q1时,当q1时,S na 1 1qn1q由于a na q 1 n1,所以上面的公式仍可以写为S na 11q当 q=1 时,等比数列的前n 项和 sn 等于多少？n 项和公式为S nna 1qn q1 或S nna 1a 1a 2就a na,1.nS n q1 综上,等比数列的前a 11q1a 1a qq1 1q1q现在回到引言中的问题,用上述公式运算国王承诺奖赏的麦粒数

4、名师归纳总结 S 64124862 263 21164 226411.8419 10,第 2 页,共 17 页12千粒麦子重约40g,就这些麦子的总质量约为7.36 17 10g,约合 7360 多亿吨依据统计资料显示,全世界小麦的年产量约为6 亿吨,就是说全世界都要1000 多年才- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 能生产这么多小麦,国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！摸索对于等比数列的相关量 a 1, q , n , a n , S ,已知几个量,就可以确定其它量？在等比数列的通项公式及前 n 项和公式中共有五个量 a 1, q , n , a n

5、, S ,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量（“知三求二 ”）；【例 1】求以下等比数列前 8 项的和：（1）1 1 1, ,;2 4 8（2）a 1 27 , a 9 1 , q 0.243【思路】先利用通项公式求出公比,再依据前 n 项和求解 . 【解答】名师归纳总结 （1）由于a 11,q1,所以第 3 页,共 17 页22S 8111 28 255;2112562（2）由a 127 ,a 91,可得24318 =27 q.243又由q0,可得q1. 3所以,S 827 1181640 . 813113【反思】结合等比数列的通项公式和前n 项和公式,假如已知n a d a n,S

6、中三个,通过解方程或方程组就可以求出其余两个元素. 【例 2】某商场今年销售运算机5000台. 假如平均每年的销售量比上一年的销售量增加10,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000 台（结果保留到个位）？【思路】由题意可知,每年销售量比上一年增加的百分率相同,所以从第 1 年起, 每年的销售量组成一个等比数列,总销售量就为等比数列的前 n 项和 . 【解答】依据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同量组成一个等比数列 a n ,其中a 1 5000, q 1 101.1, S n 30 000.50001

7、1 1 n 于是得到 1 1 1 30000整理,得 1 1 n 1 6两边取对数,得 n lg 1 1 lg 1 6用运算器算得 n lg 1 6 0 205 .lg 1 1 0 041答：大约 5 年可以使总销售量达到 30000 台. . 所以,从今年起,每年的销售【反思】先依据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的学问解方程. 【解疑释惑促进懂得】难点一、如何挑选等比数列的求和公式1.当 q 1 时,利用 S n na 求和；2.已知 n,a 1 与 q q 1时,用 Sn a 111 q q n 求和；3.已知 a a q q 1, n 1 时,用 Sn a 11 a qq 求和

8、 . 在运算等比数列的前 n 项和时,总是遗忘公比 q =1 的情形；突破方法是明确等比数列的前 n 项和公式的推导过程,再就是留意体会的积存；依据解题体会, 在运算等比数列的前n 项和时, 第一考虑公比等于1 的情形, 否就易出错. 【例题】（1）求等比数列1 1 1 , ,2 4 8,的前 8 项和；ns；（2）已知等比数列a n中,a 1=1, a n=1, =1,求其前 n 项和162（3）设数列 an是等比数列,其前n 项和为 Sn,且 S33a3,求公比 q 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路

9、】（1）可知首项与公比,直接利用公式Sna 11qn进行求和；1q（2）已知a a q q 1, n1时,直接；利用Sna 1a q进行求和；1两种情形 . q1（3）此题不知等比数列的公比是否为1,故对公比进行分类争论：分q=1, q【解答】（1a 1=1,q=a 2=1,所以s 8=11-18 =1-18 =255. 22 11-22562a 1222 s n=a a q=1-111=31.1621-q161-2（3） 当 q1 时, S33a13a3,符合题目条件；当 q1 时,a11q33a1q2,1q由于 a10,所以 1q33q21q,由于 q 1,所以 1q0,化简得 1qq23

10、q2,解得 q1或 q1舍 当公比无法确？2综上, q 的值为 1 或1. 2【反思】 在涉及的等比数列的求和时肯定要依据题设条件合理挑选所用公式,定是否为 1 时,应当进行争论. 【指导运用综合拓展】【例题】远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,其灯三百八十一,请问尖头几盏灯？这首古诗的答案是什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路】这首古诗前三句给大家呈现了一幅漂亮的夜景,考虑利用今日所学的学问求出这首古诗的答案 . 最终一句把它变成了一个数学问题,此题的数学模型为：已知等比数列an,公比 q=2 n=7,S7

11、=381 求 a1. 【解答】设尖头有灯a1 盏,就由题意得：S7=a 11a 1q7即a 11a 17 2381q2解得a1 =3, 故尖头有灯3 盏【反思】此题奇妙的隐匿在一首古诗之中,求解的关键是精确转化为数学模型再进行求解【小结归纳自主建构】这节课我们学习了如下内容：【反馈学习,查缺补漏】这节课我们学习了等比数列的前 n 项和公式以及公式的推导方法-错位相减法 . 下一节课, 我们要连续学习等比数列的前 n 项和的一些性质以及常见的一些求和方法,请大家预习课时详解第十八课时,并摸索以下问题：等比数列的前 n 项和有哪些性质？数列的求和方法仍有哪些？本课后收集有关等比数列的求和公式的资料

12、并阅读；【阅读延长,开阔视野】1、等比数列前n 项和公式推导方法一：S na1 1qna1qn11 应S na 1a qa q2a qn1a 1q a 1a qa q2a qn2a 1qS n1a 1q S nan整理为,1q S na 1qa n当q1 时,Sna 1qa n.；1q错等比数列q11qq用名师归纳总结 位q等比数列q1SnS n1a11a nqq数第 6 页,共 17 页相列前 n 项和求减和法na当1 时,a 1a 2a ,就S nna 1.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、等比数列前 n 项和公式推导方法二：由等比数列的定义,

13、得a2a 3an1q,a 1q,a 1a 2a n运用分式的性质,a2a3anq,即S na 1a2a n1S na n当q1 时,Sna 1qa n.S nna 1.1qa ,就 n当q1 时,a 1a 2na 1 q1 综上：S na 11qn q11q课时作业【教材作业】习题 2.5 A 组1. 【解答】【基础】【简单】【等比数列的求和】【思路】直接利用等比数列的通项公式以及求和公式求解 . 【解答】名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二： 由于a 3=11, s 3=41,22当q=1时,a 1=11,

14、s 3=3a 1=41,符合题意；3 22q -2 q2-q +1=0,所以2 2q - -1q-1=0, 又22当q1 时,由等比数列的通项公式及求和公式得,a q2=11,2a 13 1-q =41,1-q2两式作商,得1-q3=3,即3 2q -3 q2+1=0,即q21- q1 ,所以q=-12 a q =11a =6. 12 ,代入2 得a 1+ a 2+ a 及等比数列的通项公式防止了对公综上可得a =11 2 q , =1或a =6,q=-12 .【反思】其次小题的解法始终接利用了s 3=比是否为 1 的争论 .2.【解答】【基础】【简单】【等比数列求和的应用】【思路】每年的年产

15、值构成一个以1381.1 为首项,以 1.1 为公比的等比数列,问题是求解其前 5 项的和 .【解答】名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【反思】此题要求的是“ 今后5 年” 的总产值,不包括去年的138 万元 . 3.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】1【思路】 10 个正方形的面积构成以4 为首项,2 为公比的等比数列,分别利用通项公式以及求和公式进行求解即可.【解答】【反思】由于（1）中已经求出a 10,故可以利用求和公式s 10=a a q进行求和 . 1-q5. 【解答】【巩固】【中档】【等比数

16、列求和的应用】1【思路】由题意球每次弹起的高度构成以50 为首项,2 为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式进行求解即可.【解答】名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【反思】在求解过程中要特殊留意：最初球是从100 米高处落下的,故球第一次着地时经过的路程为100 米；其次从球再次落地时每次所经过的路程是一个来回-弹上再落下 . 6.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】【思路】依据 s 3 ,s ,s 6 成等差数列,利用等差中项以及等比数列的求和公式得到公比 q,再利用等比数列的通项公式表示出 a 2

17、,a ,a 8 5,证明 2a = 8 a 2 +a 5 即可 .【解答】【反思】在得到6 32q =1+q 后可以解出3 q ,代入a 2,a ,a 5亦可得证 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - B组 1.【解答】【巩固】【中档】【等比数列的求和】【思路】观看恒等式的结构形式,考虑从左端入手,将恒等式的左端提取出n a ,剩余b各项构成以1 为首项,a 为公比的等比数列,利用求和公式进行运算即可得到右端.【解答】【反思】此题仍可以从左端提取出n b ,剩余各项构成以an为首项,bba 为公比的等比数列,利用

18、求和公式进行运算即可得到右端 . 3.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】【思路】每年的回收量构成以 公式以及求和公式即可求解 . 【解答】100 为首项, 1.2 为公比等比数列,利用等比数列的通项【反思】以2002 年的回收量作为数列首项,2022 年的回收量应当是数列的第8 项,要留意把数列的项数运算精确. 4.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路】结合题目要求以及相应的数学模型进行解答 . 【解答】 1解：由于三年期整存整取存款年利率为 2.52

19、%,月利率为 0.21%,故依训练储蓄的方式,每月存 50 元,连续存 3 年,到期一次可支取本息共 50 50 36 360.21%+1 8001 869.93 元2由于五年整存整取存款年利率为 2.79%,月利率为 0.232 5%,故依训练储蓄的方式,如每月存入每月存 50 元,连续存 6 年,到期一次可支取本息共 50 50 72 720.232 5%+3 600 3 905.50元22每月存入每月存 a 元,连续存 3 年,到期一次可支取本息共 a a 36 360.21%+36a元2如每月存入每月存 a 元,连续存 6 年,到期一次可支取本息共 a a 72 720.232 5%+

20、72a元23由于三年期零存整取存款年利率为 1.89%,月利率为 0.157 5%,故每月存 50 元,连续存3 年,到期一次可支取本息共 50 50 36 360.157 5% 80%+1 800=1 841.96 元2比训练储蓄的方式少收益 27.97元4设每月应存入 x 元,由训练储蓄的运算公式得 x x 36 360.21%+36x 2解得 x267.39元,即每月应存入 267.39元5设每月应存入 x 元,由训练储蓄的运算公式得 x x 36 360.21%+36x 10 000a2解得 x= 10000a=267.39a,即每月应存入 267.39a元37 . 39866依据银行

21、出台的训练储蓄治理方法,需要提前支取的,在供应证明的情形下,按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息,并免征储蓄存款利息所得税 .故该同学支取时,应依据三年期整存整取存款年利率为 2.52%,月利率为 0.21%进行运算 .由运算公式得 10010048480.21%+4 8005 046.96 元27与第 6 小题类似,应依据实际存期进行同档次运算一到两年的按一年期整存整取计息. 一年期整存整取存款年利率为1.98% ,月利率为,故当 b=1 或 2 时,由运算公式得aa12b 12b0.165%+12ab元2当 b=3 或 4 或 5 时,应依据三年期整存整取存款年利率

22、为 依据运算公式得2.52%,月利率为 0.21%进行运算 .名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - aa12b 12b0.21%+12ab元28此题可以挑选多种储蓄方式,同学可能供应多个结果,只要他们运算方式符合规定的储 蓄方式即可 .老师可以组织同学争论,然后挑选一个正确答案【反思】【补充作业】1.在等比数列 an中 a12,前 n 项和为 Sn,如数列 an1 也是等比数列, 就 Sn等于 A2 n12 B3nC2nD3 n1 【思路】利用等差、等比数列的特点考虑只能为 an 为常数列,从而简单得解 . 【解答】

23、 要 an是等比数列, an1 也是等比数列,就只有 an 为常数列,故 Snna12n.答案： C 【反思】 抓住只有常数列有此性质是此题的关键,量就较大也是技巧； 否就逐一验证,问题运算2.某人为了观看2022 年奥运会,从2005 年起,每年5 月 10 日到银行存入a 元定期储 2022 年蓄,如年利率为p 且保持不变,并商定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到将全部的存款及利息全部取回,就可取回的钱的总数 元 为 Aa1 p Ba1 p7 8C.a p1 p71 p D.a p1 p81 p 1【思路】从 2005 年起每年存入的 a元到 2022 年所得的本息和构成以 a1 p

24、7为首项,以 1+p为公比的等比数列 . 所求取回的钱的总数即为该数列前 7 项的和 . 【解答】选 D.2005 年存入的 a 元到 2022 年所得的本息和为 a1 p 7,2006 年存入的 a 元到 2022 年所得的本息和为 a1 p 6,依此类推,就 2022 年存入的 a 元到 2022 年的本息和为 a1 p ,每年所得的本息和构成一个以a1 p 为首项, 1p 为公比的等比数列,就到名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年取回的总额为a1 p a1 p2 a1 p7a7 1+ 1-1+p

25、=a p1 p81-1+p1 p 1【反思】此题中每年 存入的 a 元到 2022 年所得的本息和 构成的数列公比为 1+p ,考虑到在运算过程中比较麻烦,故求和时可以看成是以 a1 p为首项,1+p为公比的思路求和 .3.一个正整数数表如下 表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍 ：第 1 行 1 第 2 行 2 3 第 3 行 4 5 6 7 就第 9 行中的第 4 个数是 A132 B255 C259 D260 【思路】观看表格中的数据特点,可知每行中的第一个数,构成以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,从而问题就简单解决了 . 【解答】 由数表知表中各行数的个数构成一个以1

26、 为首项, 公比为 2 的等比数列 前 8行数的个数共有128255 个,故第 9 行中的第 4 个数是 259. 答案： C. 12【反思】有关表格类的数字信息问题,关键是依据数据信息,规律性,进而进行求解 . 查找数字特点,发觉肯定4. 设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 a11,S64S3,就 a4_. 【思路】直接利用等比数列的求和公式进行求解. 33,【解答】由题意知 an 的公比 q 不为 1,又由 S64S3 得a 16 1-q =4a 13 1-q ,解得 q1-q1-qa4a1q 31 3 3. 答案： 3 【反思】留意首项判定等比数列的公比是否为1,然后再挑选合理的

27、公式进行求解. 5. an 是等比数列,前n 项和为 Sn,S27, S691,就 S4 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路】由S27,S691 利用求和公式列出关于首项和公比的方程组,解得1a 和 q ,再由求和公式得到 S4 的值 . 【解答】由题意知,公比不等于S27,S691. 1,设数列 an 的公比为 q,a1 a2 7,a1 a2 a3a4a5a691,228. a1 a2 7,77q 27q491,q 4q 2120,q23. S4a11q4a11q1 q 2a1a1q1q1 q答案：

28、 28 【反思】 应用求和公式时要精确的表示公式中的每个量；论. 当公比为参变量时需要对其进行讨6. 求等比数列1,2,4, 从第 5 项到第 10 项的和 . 4 项的和 .1023【思路】 第 5 项到第 10 项的和即前10 项的和减去前【解答】 由a1,1a22得q2S 41 12415,S 101 12101212从第 5 项到第 10 项的和为S 10-S =1008 【反思】此题仍可以依据等比数列的性质：等比数列1,2,4, 从第 5项到第 10项仍旧构成等比数列,该数列以a 5=16为首项, 2为公比,直接利用求和公式求解.依 7.画一个边长为 2cm的正方形,再将这个正方形各

29、边的中点相连得到第2个正方形,次类推 . 如一共画了 7个正方形,求第如已知所画正方形的面积和为7个正方形的面积；31 4,求一共画了几个正方形,及所画的最终一个正方形的面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1【思路】每个正方形的面积构成以 4 为首项,2 为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式以及通项公式求解即可 . 【解答】由题意得：每个正方形的面积构成等比数列,且 a 1 4 q 12（ 1）n 7 a 7 a 1 q 6 116n 1a n 4 1a n a q 1 n-1 2n n 5（ 2）S n

30、 a 111 q q n31 4 1 12 a n 144 1 121 2答：（ 1）第七个正方形的面积是 cm ；16（2）一共测了 5个正方形,所画的最终一个正方形的面积是 1cm ；24【反思】留意正确利用求和公式和通项公式,求和公式中公比的幂指数为 n,通项公式中公比的幂指数为 n-1. 8. 一条信息,如一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人,如此连续下去,一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？【思路】由题意知每个小时新得知该信息的人数构成以 n 个小时后知道该信息的人数即为该数列前 n 项的和 . 1 为首项,

31、2 为公比的等比数列,【解答】依据题意可知,获知此信息的人数成首项224a1,1q2的等比数列就：一天内获知此信息的人数为：S 241224116777215（人）12S 32123223214294967295（人）12S 33123323318589934591（人）12最快 33 个小时全球人都知道这个消息；【反思】 此题要留意n 个小时后知道该信息的人数即为该数列前n 项的和, 而不是该数列的第 n 项. 【预习作业】下一节课, 我们要连续学习等比数列的前n 项和的一些性质以及常见的一些求和方法,请大家预习课时详解第十八课时,并摸索以下问题：名师归纳总结 等比数列的前n 项和有哪些性质？数列的求和方法仍有哪些？第 16 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 1、等比数列前 n 项和性质：（1） a n是等比数列S nAqnB其中AS k0 ,q,1A,B0.2 k kN,是等比（2）S 为等比数列的前 nn 项和 , S n0,就,S 2kS kS3 kS数列名师归纳总结 （3 ）在等比数列中, 如项数为2 n nN,S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和., 就第 17 页,共 17 页S 偶q. S 奇2. 数列求和的常用方法：公式法,错位相减法,分组求和法,裂项法,倒序相加法- - - - - - -