2022年概率论与数理统计试卷及答案.docx

《2022年概率论与数理统计试卷及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年概率论与数理统计试卷及答案.docx（36页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 模拟试题一名师归纳总结 - - - - - - -一、填空题（每空 3 分,共 45 分）1、已知 PA = 0.92, PB = 0.93, PB|A = 0.85, 就 PA| B = P A B = 2、设大事 A 与 B 独立,A 与 B 都不发生的概率为1,A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且9A 不发生的概率相等,就A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6 个同学,求他们之中恰好有4 个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；Aex,x04、已知随机变量 X 的密度函数为： 1/ 4,0x2, 就常数

2、 A= , 分布函0,x2数 Fx= , 概率P 0.5X1；5、设随机变量 X B2 ,p、Y B1 ,p,如P X15/9,就 p = ,如 X 与Y 独立,就 Z=maxX,Y 的分布律：；6、设XB200,0.01,YP4,且 X 与 Y 相互独立,就 D2X-3Y= , COV2X-3Y, X= ；7、设X1,X2,X 是总体XN0,1的简洁随机样本,就当k时,Yk X1X22 3；X2 3X2X458、设总体XU0, 0为未知参数,X1,X2,X 为其样本,X1in1Xi为样本均值,n就的矩估量量为：；9、设样本X1,X2,X 来自正态总体N a ,1.44,运算得样本观看值x10

3、,求参数 a 的置信度为 95% 的置信区间：；二、运算题（ 35 分）1、 12 分设连续型随机变量X 的密度函数为：第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1x,0x22求： 1）0,X1|其它YX 的密度函数 2Yy ；3）E2X1；P | 22；2）2、12 分设随机变量 X,Y 的密度函数为1） , 1/ 4, 0,|y|x ,0x2,其他求边缘密度函数X ,Y y ；2）问 X 与 Y 是否独立？是否相关？3）运算 Z = X + Y 的密度函数Zz ；3、（11 分）设总体 X 的概率密度函数为： 1ex,x0,00x0X1,X2, ,Xn是取自

4、总体 X 的简洁随机样本；1）求参数 的极大似然估量量 .；2）验证估量量.是否是参数 的无偏估量量；三、应用题（ 20 分）1、（10 分）设某人从外地赶来参与紧急会议, 他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10 ,1/5,1/10 和 2/5；假如他乘飞机来,不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是 1/4,1/3,1/2；现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2（10 分）环境爱护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过 0.5,假定有害物质含名师归纳总结 量 X 听从正态分布；现在取5 份水样,测定该有害物质含量,得如下数据：第 2 页,共 19 页

5、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0.530 , 0.542 , 0.510 , 0.495 , 0.515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定0.05？附表：模拟试题二一、填空题 45 分,每空 3 分 名师归纳总结 - - - - - - -1设P A 0.5,P B|A0.6,P AB0.1,就P BP AB2 设A B C 三 事 件 相 互 独 立 , 且PAPBPC, 如P ABC37, 就64P A；3设一批产品有12 件,其中 2 件次品, 10 件正品,现从这批产品中任取3 件,如用 X 表示取出的 3 件产品中的次品件数,就

6、X 的分布律为；4设连续型随机变量X 的分布函数为F xAB a r c t a n ,xR就 , A B, X 的密度函数 ；5设随机变量XU 2,2,就随机变量Y1X1的密度函数Yy 26设X Y 的分布律分别为X-1 0 1 Y0 1 P1/4 1/2 1/4 P1/2 1/2 且P XY00,就 X Y 的联合分布律为；和P XY17设 X Y N0,25;0,36;0.4,就 covX Y,D3X1Y1；2第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8设X1,X2,X3,X4是总体N0, 4的样本,就当a, b时,统计量X a X 1 2 X 2 2b

7、3 X 3 4 X 4 2听从自由度为 2 的 2 分布；n9设 X 1 , X 2 , , X n 是总体 N a , 2 的样本, 就当常数 k 时,. 2k X i X 2 是参i 1数 2的无偏估量量；10设由来自总体 X N a ,0.9 2容量为 9 的样本,得样本均值 x =5,就参数 a 的置信度为 0.95的置信区间为；二、运算题 27 分 115 分设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为2,0y2 , 1 8xy,0x0,其它（1） 求 X与Y的边缘密度函数X ,Y y ；（2） 判定 X与Y是否独立？为什么？（3） 求 ZXY 的密度函数Zz ；212 分设总体 X 的

8、密度函数为其中0是未知参数,X1,X ex,xx2. ；0,2,Xn为总体 X 的样本,求（1）参数的矩估量量1.；（2）的极大似然估量量三、应用题与证明题 28 分 112 分已知甲,乙两箱中有同种产品,其中甲箱中有3 件正品和 3 件次品,乙箱中仅有3件正品,从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后,（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；名师归纳总结 （2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品,求从甲箱中取出放入乙箱的3 件产品中恰有 2第 4 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 件次品的概率；28 分设某一次考试考生的成果听从正态分布,从中

9、随机抽取了 36 位考生的成果,算得平均成果 x 66.5 分,标准差 s 15 分,问在显著性水平 0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成果为 70 分,并给出检验过程；38 分设 0P A 1,证明： A 与B相互独立P B AP B A ；附表：u0.951.65,u 0.9751.96,t0.95351.6896,t0.95361.6883,t0.975352.0301,t0.975362.0281,模拟试题三一、填空题（每题 3 分,共 42 分）1设 P A 0.3, P A B 0.8, 如 A 与 B 互斥,就 P B ；A 与 B 独立,就 P B ；如 A B ,

10、就 P AB ；2在电路中电压超过额定值的概率为 1p ,在电压超过额定值的情形下, 仪器烧坏的概率为 p ,就由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为；34 x , 0 x 13 设随机变量 X 的密度为 ,就使 P X a P X a 成立的常数0, 其它a；P 0.5 X 1.5；4假如 X Y 的联合分布律为Y 1 2 3 X 名师归纳总结 1 1/6 1/9 1/18 第 5 页,共 19 页2 1/3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就,应满意的条件是01 , 01 ,1 / ,如 X与Y独立,E X3 Y1；2,参数a,25设XB n p

11、,且EX2.4,DX1.44,就 n, pN a ,6设XN a ,2,就YX23听从的分布为；7测量铝的比重 16 次,得x2.705,s0.029, 设测量结果听从正态分布未知,就铝的比重 a的置信度为 95% 的置信区间为；二、（12 分）设连续型随机变量X 的密度为： cex,x00,x0（1）求常数 c ；（2）求分布函数F x ；X Y 的联合密度为（3）求Y2X1的密度Yy 三、（15 分）设二维连续型随机变量名师归纳总结 , c,0x1,0yx第 6 页,共 19 页0,其它（1）求常数 c ；（2）求 X与Y的边缘密度X ,Y y ；（3）问 X与Y是否独立？为什么？（5）求

12、D2X3 Y ；（4）求 ZXY 的密度Zz ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、（11 分）设总体 X 的密度为其中 1 x,0x10,其它1是未知参数,X1,Xn是来自总体 X 的一个样本,求（1） 参数的矩估量量1. ；（2） 参数的极大似然估量量2. ；五、（10 分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1 ,它们在肯定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1 ,当有一台机床需要修理时,求这台机床是车床的概率；,得到的 10 个六、（10 分）测定某种溶液中的水份,设水份含量的总体听从正态分布N a ,2测定值给出x0.4

13、52,s0.037,试问可否认为水份含量的方差20.04 ？（0.05）附表：2 0.05103.94,2 0.025103.247,293.325,2 0.0592.7,16.919,0.052 0.9751020.483,2 0.975919.023,2 0.951018.307,2 0.959模拟试题四一、填空题（每题 3 分,共 42 分）名师归纳总结 - - - - - - -1、 设 A、 B 为随机大事,P B0.8,P BA0.2,就 A与 B 中至少有一个不发生的概率为；当 A 与B独立时,就P B AB 2、 椐以往资料说明,一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：P孩子

14、得病= 0.6,P母亲得病孩子得病=0.5,P父亲得病母亲及孩子得病=0.4,那么一个三口之家患这种传染病的概率为；第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 、 设 离 散 型 随 机 变 量X的 分 布 律 为 ：PXkak 3k0 ,1,2 ,., 就k.a=_PX1 ；x30,x34、如连续型随机变量X 的分布函数为FxABarcsinx,33,1x3x22x1就常数 A, B,密度函数x5 、 已 知 连 续 型 随 机 变 量X的 密 度 函 数 为f x 1e8,x, 就8E X1 ,EX2；PX12与；6、设XU3,1,YP2,且XY独立,就D

15、XY3 = ；0 的 指 数 分 布 , 令7 、 设 随 机 变 量X ,Y相 互 独 立 , 同 服 从 参 数 为 分 布U2XY,V2XY的相关系数；就COVU,V, U , V；（注： 1 0. 8143,0 .5 0.6915）二、运算题（ 34 分）1、 （18 分）设连续型随机变量X,Y的密度函数为1 , x 0,y ,0x1,0y其他（1）求边缘密度函数Xx ,Yy ；（2）判定 X 与 Y 的独立性；名师归纳总结 （3）运算 covX Y ；的密度函数Zz 第 8 页,共 19 页（3）求ZmaxX,Y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

16、- 2、（16 分）设随机变量 X 与Y 相互独立,且同分布于B ,1p0p1 ；令Z1,如XY 为偶数；0,如XY 为奇数（1）求 Z 的分布律；（2）求X,Z的联合分布律；（3）问 p 取何值时 X 与 Z 独立？为什么？三、应用题（ 24 分）1、 （12 分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2；如一周 5 个工作日内无故障就可获 10 万元；如仅有 1 天故障就仍可获利5 万元；如仅有两天发生故障可获利0 万元；如有 3 天或 3 天以上显现故障将亏损2 万元；求一周内的期望利润；2、 （12 分）将 A、 B 、 C 三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为 0.8,而输出

17、为其它一字母的概率都为 0.1；今将字母 AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道, 输入 AAAA,BBBB, CCCC 的概率分别为 0.5 ,0.4,0.1；已知输出为 ABCA,问输入的是 AAAA的概名师归纳总结 率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）；第 9 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答 案（模拟试题一）四、填空题（每空 3 分,共 45 分）P 0.5X0 11 31e0 . 5；1、0.8286 , 0.988 ；2、2/3 ；3、1 C C4 662 11,6 C 126.；121261x e,x0

18、24、1/2, Fx= 1x, 0x2,24421,x2Z 2 5、p = 1/3 , Z=maxX,Y 的分布律：名师归纳总结 P 8/27 16/27 3/27；第 10 页,共 19 页6、D2X-3Y= 43.92, COV2X-3Y, X= 3.96 ；7、当 k3时,Yk X1X22 3；2X2 3X2X458、的矩估量量为： 2X ；9、9.216 ,10.784；五、运算题（ 35 分）1、解 1）P | 2X1|2P 0.5X1.5916- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Y 21yXyXy,y02）0,y0|x21 , 40y43）E

19、2X0,其它12EX1241533 , x y dyx1dy,0x2x,02、解： 1）Xx42其它0,其它0, , x y dx21dx ,|y| 212|y|,y| 2Y | |442）明显,0,其它0,其它 , x yX Y y ,所以 X 与 Y 不独立；又由于 EY=0,EXY=0 ,所以, COVX,Y=0 ,因此 X 与 Y 不相关；3）Z 21 , x zx dxz41z,0z4dx ,0z42820,其它其它0,n名师归纳总结 3、解 1）L x x 12,x n, n1ex i1 nei1x i第 11 页,共 19 页i1lnL x x 2,xn, nlnnx令dlnLn

20、nx0d2解出：.X2）E.EXEX.是的无偏估量量；六、应用题（ 20 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 解：设大事 A1,A2,A3,A4 分别表示交通工具“ 火车、轮船、汽车和飞机” ,其概率分别等于3/10,1/5,1/10 和 2/5,大事 B 表示“ 迟到”,已知概率 P B A i , i 1,2,3, 4 分别等于 1/4,1/3,1/2,0 4就 P B P A P B | A i 23i 1 120P A 1 | B P A P B A 1 9,P A 2 | B P A 2 P B | A 2 8P B 23 P B 23

21、P A 3 | B P A 3 P B | A 3 6,P A 4 | B P A 4 P B A 4 0P B 23 P B 由概率判定他乘火车的可能性最大；2 解：H 0: a 0.5（）,H 1: a 0.5拒绝域为：0 x 0.55 t 0.95 4s运算 x 0.5184, s 0.018t x 0.55 2.2857 t 0.95 4,s所以,拒绝 H ,说明有害物质含量超过了规定；附表：答 案（模拟试题二）一、填空题 45 分,每空 3 分 名师归纳总结 1P B0.4,P AB0.412P A 11/22 第 12 页,共 19 页43A BX0 1 2 P 6/11 9/22

22、 1 1 ,24, 1x2,xR5Y 1 , 2y0, 20,y0, 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6Y0 1 X7-1 31/4 X10 1980 01/2 1 1/4 0 P XY14covX Y12,1D3Y12a1,b8；201009kn11；10. 4.412, 5.588二、运算题 27 分 1（1）X 1x1,xx0, 2,Y 1y1,yy0, 2440,0, 20,0, 2（2）不独立（3）Z 12 z,z ,dx0z281 8z 42z42（1）运算EX0,x其它xe1名师归纳总结 依据矩估量思想,xEX1第 13 页,共 19

23、 页解出：1.X1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）似然函数L x 1,x n, nexi,x ienx n,x ii1其它0,其它0,明显,用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估量；用分析的方法；x 1由于 x 1,所以 e e,即 L x 1 , , x n , L x 1 , , x n , x 1 所以,当 . 2 X 1 min X 1 , , X n 时,使得似然函数达最大；极大似然估量为 2. ；三、1解：（1）设 iA 表示“ 第一次从甲箱中任取 3 件,其中恰有 i 件次品”,（i=0,1,2,3 ）设 B 表示“

24、其次次从乙箱任取一件为次品” 的大事；（2）P B |nP A P B A i i3 C 302 C C 311 C 11 C C 32 1C 2C 33 C 31 1i13 C 63 C 61 C 63 C 61 C 63 C 61 C 64P A 2BP A B0.6P B2 解：H 0: a 70（）,H 1: a 70拒绝域为：0 | x 70| 36 t 0.975 35s依据条件 x 66.5,s 15,运算并比较x 7036 1.4 t 0.975 35 2.0301s所以,接受 H ,可以认为平均成果为 70 分；38 分证明：由于 P B | A P B A P AB P A

25、 P AB P A P AB 1 P A P B P AB P A P AB P B P A A 与 B 相互独立答 案（模拟试题三）名师归纳总结 一、填空题（每题3 分,共 42 分）第 14 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 0.5 ；2/7 ；0.5 ；2p 1p2；1 3 42；P 0.5X1.515/16 ；Na2/9 ,；1/9 ,17/3 ；4 01, 01,1/ 3,5n6 , p0.4 ；623,24c172.6895, 2.7205 ；二、解：（1） x dx1x ce dx0（2）F x x t dt0,1ex

26、xx00x,t e dt0名师归纳总结 （3）Y 的分布函数F Y P 2X1yP Xy21 y1,2y1第 15 页,共 19 页y102x e dx,y11e20,y10,cy1Y 1ey21,y120,y1三、解：（1）1 , x y dxdy1xcdydxc,002（2）X , x y dyx 02 dy2 ,0x10,其它1Y , x y dx12dy21y,0yy0,其它2（3） X与Y不独立；z2 dyz ,0z1z/ 2（4）XY , x zx dx12 dy2z ,1zz/ 20,其它- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （5）EX122

27、 x dx2 3,1,EX2123 x dxy21y dx1002EY12 1y dyDYEY21 0210362 3211111 32DX218618名师归纳总结 EXY1x2xydydx1,c o v YE X YE X1 E Y4211004333 67 , 318D 2 XYDXDY2 c o v 2四、解：（1）EX1x1x dx1,021,i1,2,.,nP B|A 41第 16 页,共 19 页令 EXx ,即1x2解得. 12X1；1X（2）L nx i, n 1 nxi ,0x ii1i1nlnL nln1nlnx ,lnL n1i1lnx i0i1解得. 21nnlnXii

28、1五、解：设A =某机床为车床 ,P A 19；15P B A 33,A =某机床为钻床 ,P A 21；5A =某机床为磨床 ,P A 32；15A =某机床为刨床 ,P A 41；15B =需要修理 ,P B|A 11,P B|A 22,7777就P Bi4P A P B|A i221105P A 1|BP A P B A 19；P B22六、解：H0:20.04,H1:20.04- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 拒绝域为：n1 S2/ 2n1或 n1 S2/2n1221002 0.02592.70.2738运算得n1 s92 1 0.0370.2

29、738,查表得20.040H ；样本值落入拒绝域内,因此拒绝附表：2 0 . 0 5 1 0 3. 9 4 ,20 . 0 2 5 1 0 2 3. 2 4 7 , 0 . 0 5 9 2 3. 3 2 5 , 9 2. 7 ,2 0.9751020.483,2 0.975919.023,2 0.951018.307,2 0.95916.919,答 案（模拟试题四）一、填空题（每题 3 分,共 42 分）1、 0.4；0.8421 ；2、0.12；1x2,3x3；3、e3,4e3；4、1/ 2 ,1/,x 0 ,95、3,5 ,0.6286 6、 2.333其他；7、3/2, U , V3/5

30、；二、1、解 （18 分）名师归纳总结 （1）Xx Yx x,1 /2,0x1第 17 页,共 19 页0其他（2）不独立；3z2, 01z（3）Zz 0 ,其他- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、解 （1）求 Z 的分布律；PZ0 PX0,Y1 P X21 ,Y02pqq2PZ1PX0 ,Y0 PX,1Y1 p2（2）X,Z的联合分布律：q1 0 Z Xq2pq0 1 ppqp（3）当p2pqp2q20.5时,X 与 Z 独立；三、应用题（ 24 分）名师归纳总结 - - - - - - -1、解：设 X 表示一周 5 个工作日机器发生故障的天数,就X B,50 .2 ,分布律为：PXkCk0.2k0 .5 8k,k01, ,.5,5设 Y （万元）表示一周5 个工作日的利润,依据题意,Y 的分布律10,X