2022年概率论与数理统计复习要点知识点doc.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第一章 随机大事及其概率一、随机大事及其运算1. 样本空间、随机大事 样本点：随机试验的每一个可能结果,用 表示；样本空间：样本点的全集,用 表示；注：样本空间不唯独 . 随机大事：样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用 A,B,C, 表示；必定大事就等于样本空间；不行能大事 是不包含任何样本点的空集；基本领件就是仅包含单个样本点的子集；2. 大事的四种关系包含关系： A B ,大事 A 发生必有大事 B 发生；等价关系： A B , 大事 A 发生必有大事 B 发生,且大事 B 发生必有大事 A 发 生；互不相容（互斥）：

2、AB,大事 A与大事 B肯定不会同时发生；互逆关系（对立）： A ,大事 A 发生大事 A 必不发生,反之也成立；互逆满意AA但互不相容大事不AA注：互不相容和对立的关系 （对立大事肯定是互不相容大事,肯定是对立大事；）3. 大事的三大运算AB,就大事的并：AB ,大事A 与大事B 至少有一个发生；如ABAB；大事的交： AB 或AB,大事 A与大事 B都发生；大事的差：A B ,大事 A发生且大事 B不发生；4. 大事的运算规律交换律：ABBA ABBA, ABCABACAC结合律： ABCABCBCAB AC,ABCB安排律：A德摩根（ De Morgan）定律：ABAB,ABAB对于 n

3、 个大事,有名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - nn名师精编优秀资料i1A ii1A i,inA iinA i11二、随机大事的概率定义和性质1公理化定义 ：设试验的样本空间为,对于任一随机大事A A,都有确定的实值 PA,满意以下性质：1 非负性：P A ;02 规范性：P;13 有限可加性 概率加法公式 ：对于 k 个互不相容大事A 1,A 2,A k,有P ikA iikP A. 11就称 PA 为随机大事 A的概率 . 2概率的性质P1,P0P ACP ABCP A1P A 如 AB ,就P A P B,且P

4、 BA P B P A P ABP A P B P ABP ABCP AP BP CP ABP BC注：性质的逆命题不肯定成立的. 如如PA PB ,就AB；（ ）如PA 0,就 A；（ ）三、古典概型的概率运算 古典概型 ：如随机试验满意两个条件： 只有有限个样本点 , 名师归纳总结 每个样本点发生的概率相同,就称该概率模型为古典概型,P Ak n；第 2 页,共 21 页典型例题： 设一批产品共 N件,其中有 M件次品,从这批产品中随机抽取n 件样品,就1 在放回抽样的方式下 , 取出的 n 件样品中恰好有 m件次品（不妨设大事A1）- - - - - - -精选学习资料 - - - -

5、- - - - - 名师精编 优秀资料的概率为PA 1m C nMmNnMnm.N2 在不放回抽样的方式下 , 取出的 n 件样品中恰好有 m件次品（不妨设大事 A2）的概率为PA2Cm nm A MAn Nm MCm MCn Nm M.An NCn N四、条件概率及其三大公式1. 条件概率：P B AP AB,P A BP ABP A P B2. 乘法公式：P ABP A P B|A P B P A BP A n|A 1A n1P A A 2A nP A P A 2|A P A 3|A A 24. 全概率公式：nB Bjn 和A,n；如B 1,B 2,B n满意B i,ij,就P AP B

6、iP A B ii,Bi1,5. 贝 叶 斯 公 式 ： 如 事 件B B 2,如 全 概 率 公 式 所 述 , 且P A 就P B i|AP B P A B i . nP B i P A B ii1五、大事的独立1. 定义：如 P AB P A P B , 就称 A,B独立 . 推广：如 A A 2 , , A 相互独立,P A 1 A n P A 1 P A n 2. 在 A B , A B , A B , A B 四对大事中, 只要有一对独立, 就其余三对也独立；3. 三个大事 A, B, C 两两独立：P AB P A P BP BC P B P C P AC P A P C 注：

7、n 个大事的两两独立与相互独立的区分； （相互独立 立；）两两独立,反之不成名师归纳总结 4. 伯努利概型：P k k k n kC p q,k0,1,2, , n q1p .第 3 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料练习：一、判定正误1. 大事的对立与互不相容是等价的； （X）2. 如 P A 0, 就 A；（X）3. 如 P A 0.1, P B 0.5, 就 P AB 0.05； X 4.A,B,C 三个大事恰有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ； 5. n 个大事如满意 i , , j P A A j

8、P A P A j ,就 n 个大事相互独立； X 6. 当 A B 时,有 PB-A=PB-PA ；（）二、挑选题1设 A, B 为两大事,就 PA-B 等于 C A. PA-PB B. PA-PB+PAB C. PA-PAB D. PA+PB-PAB 2 以 A表示大事“ 甲种产品畅销, 乙种产品滞销” ,就其对立大事 A为 D A. “ 甲种产品滞销,乙种产品畅销”B. “ 甲乙两种产品均畅销”C. “ 甲种产品滞销” D. “ 甲种产品滞销或乙种产品畅销”3如 A, B 为两随机大事,且 B A ,就以下式子正确选项 A A. PAB=PA B. PAB=PA C. PB|A=PB D

9、. PB-A=PB-PA 4设P AaB a P A b P B c ,就P AB 等于 B A. c c B. ac1a1b c C. bc D. 三、解答题1.已知P A 0 5. ,PAB0 8. ,在以下情形下1 A ,B 不相容;2 A ,B 相互独立; 3AB.求PB .P ABPA PB解： 1 由于A,B不相容,有0.805.03.所以PBPABPA 2 由于 A,B 独立,所以名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - PBP名师精编优秀资料PAPBABPA0 . 8 0 . 5 0 . 5 P B P B

10、 0 . 6 . 3 由于 A B , 所以 A B B , P B P A B 0 . 82. 已知 P A 0.1, P B 0.4, 且 P A B 0.2, 求 P A B 的值. 解：由概率乘法公式得 P AB P B P A B 0.4 0.2 0.08,P A B P A P B P AB 0.1 0.4 0.080.423. 设有来自三个地区的各10 名,15 名和 25 名考生的报名表 , 其中女生的报名表分别为 3 份,7 份和 5 份随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份. 求先抽到的一份是女生表的概率p；解: 设iA 表示“第 i 次取出的报名表是女生表”, i =

11、1,2 jB 表示 “报名表是取自第 j 区的考生 ”, j =1,2,3.依据题意得P B 1PB 2P B 313P A 1|B 1310,P A 1|B 2715 ,P A 1|B 3525.pPA 13P A 1|Bj137529PA 1310152590i1其次章随机变量及其分布一、随机变量的定义设样本空间为,变量XX为定义在上的单值实值函数,就称X 为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值；二、分布函数及其性质1. 定义：设随机变量X ,对于任意实数xR,函数F x P Xx 称为随机变量 X 的概率分布函数,简称分布函数；名师归纳总结 注：当x 1x 2时,Px

12、1Xx2Fx2Fx 1i,12,就有第 5 页,共 21 页1 X是离散随机变量,并有概率函数px i,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料F x p x i .2 X 连续随机变量,并有概率密度x ixx,就. f xFx PXxftdt2. 分布函数性质：（1）F x 是单调非减函数,即对于任意x 1 x2,有Fx 1Fx2;；（2）0Fx1；且Flim xFx 0,Flim xFx 1；（3）离散随机变量X,F x 是右连续函数 , 即Fx Fx0；连续随机变量X,F x 在（ - , +）上到处连续；注：一个函数如满意上述 三、

13、离散随机变量及其分布3 个条件,就它必是某个随机变量的分布函数；1. 定义 . 设随机变量 X 只能取得有限个数值 x 1 , x 2 , , x n,或可列无穷多个数值x 1 , x 2 , , x n , , 且 P X x i p i i ,1 2 , ,就称 X 为离散随机变量 , pi i =1,2, 为 X 的概率分布,或概率函数 分布律 . 注：概率函数 pi 的性质 : 1pi0,i1,12,;2ipi2. 几种常见的离散随机变量的分布：（1）超几何分布, XHN,M,n,P Xk k C Mn k C N Mkk0,1,2,nn C N（2）二项分布, XBn.,p ,P X

14、kk C p nk1pn k0,1,n当 n=1 时称 X 听从参数为 p 的两点分布（或 01 分布）；如 Xii=1,2, ,n 听从同一两点分布且独立,就XkeinX 听从二项分布；i1（3）泊松 Poisson 分布,XP , P Xk0,k0, 1, 2, . k.四、连续随机变量及其分布1. 定义. 如随机变量 X的取值范畴是某个实数区间I ,且存在非负函数 fx ,使名师归纳总结 得对于任意区间a,bI,有P aXb bfx dx ,就称 X 为连续随机变量 ; 函数第 6 页,共 21 页af x称为连续随机变量 X 的概率密度函数, 简称 概率密度 ；注 1：连续随机变量 X

15、任取某一确定值的0x 概率等于 0, 即PXx0;0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注 2：Px 1Xx 2Px 1Xx名师精编优秀资料P x 1Xx2x2fx dx2Px 1Xx2x 12. 概率密度 f x 的性质：性质 1：f x 0 ;性质 2：f x dx 1 .注 1：一个函数如满意上述2 个条件,就它必是某个随机变量的概率密度函数；注 2：当x 1x2时,Px 1Xx 2xFx2Fx 1x 2fx dxx 1且在 fx 的连续点x处,有Ffx.3. 几种常见的连续随机变量的分布：1 匀称分布XU a b ,axbFx0 ,xa,axa

16、;xfxb 01,a,xb ;b ,1a其它xb .2 指数分布X ,0x,x0Fx 1ex,x,0fx 0e3 正态分布,x0,0x.0XN,2,01ex2,Fx1xe t22dt,fx 22222第三章随机变量的数字特点一、期望（或均值）1定义：EX,EXkx p k k,离散型1xf x dx ,连续型2期望的性质：1E C C , C为常数 2ECX=CEX3EXY=EXEY4 如X与Y相互独立,就 EXY=EXEY, 反之结论不成立 . 3. 随机变量函数的数学期望名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - E g

17、 x 名师精编优秀资料g x kp k,X离散型k1-+gxfxdx, 连续型4. 运算数学期望的方法 1 利用数学期望的定义；2 利用数学期望的性质；常见的基本方法：X 拆成有限多个比较简洁的随机变量Xi 之和 , 再将一个比较复杂的随机变量利用期望性质求得X 的期望 . 3 利用常见分布的期望；二、方差1方差DXE XEX2ixxEX2pi,离散型EX2fx dx ,连续型注： D X=E X- E X 20；它反映了随机变量大 小 ,表示 X 取值越分散 集中 ；2方差的性质1 D C 0, C 为常数 2DCX=C 2 DX3 如 X与Y相互独立,就 DX Y=DX+DYX 取值分散的

18、程度 , 假如 D X 值越4 对于任意实数 CR,有 E X-C 2D X 当且仅当 C = EX时, E X-C 2 取得最小值 DX. 5 切比雪夫不等式 : 设 X的数学期望 E X 与方差 D X 存在, 对于任意的正数 ,有或P | X - E X | P | X - E X| D X .21- D X 2 .3. 运算1 利用方差定义；2 常用运算公式DXEX2EX2.3 方差的性质；4 常见分布的方差 . 注：常见分布的期望与方差1. 如 XB n, p, 就 E X=np, D X = npq; 名师归纳总结 2. 如XP,就EXDX;2b,DX ba2;第 8 页,共 21

19、 页3. 如 XU a, b, 就E Xa12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 如Xe ,就EX1,D名师精编1优秀资料X;25. 如XN,2,就E X,DX2.三、原点矩与中心矩（总体） X的 k 阶原点矩：v kXEXkEXk（总体） X的 k 阶中心矩：ukXE X练习一、判定正误：1. 只要是随机变量,都能运算期望和方差； X 2. 期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度； 3. 方差越小,随机变量取值越分散,方差越大越集中； X 4. 方差的实质是随机变量函数的期望； 5. 对于任意的 X,Y,都有 D

20、X Y DX DY 成立； X 二、挑选题1. X B n p , EX 2.4, DX 1.44, 就 , n p 的值为（ B ） A. 4, 0.6； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1 2. 随机变量 X的数字期望为 2,方差等于 4,就 E DX, D EX 的值分别为 D A. X, X； B. 2, 4； C. 4, 2； D. 4, 0. 3. 两个独立的随机变量 X, Y 的方差分别为 4 和 2,就随机变量 X-2 Y的方差等于: C 4.5. A. 0； B. 8； C. 12； D. 无法运算 . 设X是随机变量,EX,DX2,就对于任意的

21、常数c, 有（ D ）A .EXc 2EX2c2；B .EXc 2EX2C .EXc 2EX2；D .EXc2EX2设X1,X2,X3相互独立,EXi,1DXi,1i,1 ,2 3 , 就 对 于 任 意 给 定 的0 有（ D ）名师归纳总结 A .P |i31Xi1|12B .P|1i31Xi1 |12第 9 页,共 21 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C.P|i31Xi3|12名师精编.P优秀资料3|132D3|Xii1三、填空题1. 设X P,就Y3X22X1的数学期望为 _3251_ ；四、 运算题1. 设 X 的概率密度为fx co

22、sx ,0x2;210,其他试求E X,DX. 解：EXxfx dx2xcosxdx2xdsinxxsinx| 0 22sinxdx000EX2x2fx dx2x2cosxdx22045 分钟、 25故DXEX2EX232游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光,电梯于每个整点的第分钟和 55 分钟,从底层起行； 一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处, 且X在0,60 上听从匀称分布,求该游客等候时间 Y的数学期望 . 解：因 X U ,0 60 , 故其概率密度为f x 60 1 , 0 x 60,0 其它由题意得所以E Y5X,0X;565xdx YgX25X,5X25 ;55X,25X55

23、 ;60X,555X60 ;EgXgxfxdx160gxdx600dx60 55 155xdx2525xdx55 55x600525155 dx2525dx5555dx6065dx60xdx60052555011. 67分钟第四章正态分布一、正态分布的定义名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料1. 正态分布XN,2,其概率密度 为1ex 2t2x,fx 22,2其分布函数 为Fx 1xedt222注：F1. 2正态密度函数的几何特性：1曲线关于 x对称；y 轴作平移变化.越大,（2）当x 时,fx

24、取得最大值1；23 当x时,fx 0,以x 轴为渐近线；41ex2dx1ex2dx2;22222（5）当固定,转变 的大小时, fx 的图形不变,只是沿着（6）当固定,转变 的大小时,fx 对称轴不变而外形在改变,越小,图形越高越瘦；图形越矮越胖.2. 标准正态分布当0,1时,X N0,1 ,其密度函数为,et2x.x1ex222且其分布函数为x 1xdt.22x 的性质： 1 0 1;1ex 2dx1ex2dx222 12223xx .3. 正态分布与标准正态分布的关系名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理：如

25、XN,2,就YX名师精编0 ,优秀资料 N1. 定理：设XN,2,就P x 1Xx2x2x 1.二、正态分布的数字特点设XN,2,就1. 期望 E X 2. 方差 D X 2EX1xex2x22dx222dx23. 标准差 XDX1x2e22三、正态分布的性质i1线性性 . 设XN,2,就YabXN ab,b22, b0；2可加性 . 设XNx,2 x,YNy,2 y,且 X 和 Y 相互独立,就3 线 性 组 合 性ZXYNxy,2 x2 y;设XiNi,2,i,1,2,n, 且 相 互 独 立 , 就inciXiNnc ii,nc i 22 i.1i1i1四、中心极限定理1. 独立同分布的

26、中心极限定理设随机变量X1,X2,Xn,i相互独立,听从相同的分布,且EXiDX2,i,1 2 ,n ,;就对于任何实数 x,有名师归纳总结 定懂得释：如X1,lim nPinXin1xet22第 12 页,共 21 页1n x2dt2X2,Xn满意上述条件,有当n 充分大 时- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料n（1）* Yni1XinAN01, ；2* Y nin1XiANn,n2；n（3）X1inXiAN,2nn12. 棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理设YnB n ,p ,就Ynnpx1xet2dtlim nP22-p 2np 1

27、定懂得释：如YnB n ,p ,当 n 充分大时,有（1）YnnpAN1,0；np 1p （2）YnAN np ,np 1p 练习：一、判定题1. 如XN0 ,1 ,2YN2 ,1 ,就XY N2 ,2.（ X ）XN,就P X0 1.（ ）2. 如2二、挑选题1. 如X N ,15,就EX2（ B ）2X3 Y无法运算A1 B. 6 C. 5 D. 2. 如XN0,1 ,YN2,1 ,且相互独立,就听从（ C ）分布 . A. N0,1 B. N-6,-1 C. N-6,13 D. N-6, -5 3. 设随机变量 X 与 Y 均听从正态分布：而p 1P X4 ;p 2XN2,2 4,YN,52,都有p 1p 2.P Y5 ,就C.pA.对任何实数,都有p 1;B.对任何实数C.只对的个别值,才有p 1p 2;D.对任何实数,都有p 1p2三、填空题 1. 已知连续随机变量 X 的概率密度函数为名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编1优秀资料1fxex22x就 X 的数学期望为 _1_;