2022年概率论第三章答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 习题 3-1 而且1. 已知随机变量X1和 X2的概率分布分别为0 01 X1- 1 P 1 41124X20 1 P 1 212P X X201. 求 X1 和 X2 的联合分布律 . . 因此 X1 和 X2 的联合分布必形解由P X X201知P X X20如名师归纳总结 X1X2 0 1 pi第 1 页,共 21 页- 1 P110 140 P21P22121 P310 14p j1 211 2于是依据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1 和 X2 的联合分布律pi X1X2 0 1 -1 1 40 140 0 11221 1 40

2、14- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - pj111 222 留意到P X10,X200, 而P X10P X2010, 所以 X1和 X24不独立 . 2. 一盒子中有 3 只黑球、 2 只红球和 2 只白球 , 在其中任取的只数 , 以 Y 表示取到红球的只数 . 求 X 和 Y 的联合分布律 . 4 只球 . 以 X 表示取到黑球解 从 7 只球中取 4 球只有 C 7 4 35 种取法 . 在 4 只球中 , 黑球有 i 只, 红球有 j 只余下为白球 4 i j 只 的取法为i j 4 i jC C C 2 , i 0,1,2,3, j 0,1,

3、2, i j 4 . 于是有P X0,Y20 2C C C2 21,P X1,Y101 1 1C C C 26 35, 0. 353535P X1, Y21 2C C C1 26,P X2,Y02 0C C C2 23 35, 353535P X2,Y12 1C C C1 212,P X2,Y22 2C C C0 23 35, 353535P X3,Y03 0 1C C C 22, P X3,Y13 1C C C0 22 35, 353535P X0,Y0P X0,Y1P X1,YP X3,Y2分布律的表格形式为Y 0X 012302303535106122353535216303535353

4、. 设随机变量 X,Y的概率密度为名师归纳总结 求 : 1 常数 k ; 2 f x y , 1,Yk 6xy, 0x2, 2y4,4. 第 2 页,共 21 页0,其它.P X3; 3 P X1.5; 4 P XY- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解1 由f x y , d d x y1, 得名师归纳总结 14dy2k 6xydxk46y x1x22d yk10 yy248 k , 第 3 页,共 21 页202202所以k1. 82 P X1, Y3x1,y3f x y , d d x y3dy116xydx208136y x1x21dy1311y

5、dy3. 822082283 P X1.51.5fX dx1.5dxf , dy4d y1.516xydx208146y x12 x1.5d y822014633ydy82824 作 直 线x27.4, 并 记 此 直 线 下 方 区 域 与f x y , 0的 矩 形 区 域32 y0,20, 4 的交集为 G . 即G: 0x2,0y 4x .见图 3- 8. 因此P XY 4P X YG Gf x y , d d x y4d y4x16xydx208146y x12 x4xdy8220146y 4y14y2 dy8221424y142 y dy82214y214y342. 8623- -

6、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 3-8 第 4 题积分区域4. 二维随机变量 X Y 的概率密度为kxy x 2 1,0 1,f x y 0, 其它.2试确定 k , 并求 P X Y G , G : x x , 0 . 1 1 k 1 4 k解 由 1 f x y , d xdy0 d xx 2 kxy y2 0 x 1 x d x6 ,解得 k 6 . 因而 P X Y G 0 1d xx x2 6 xy y 30 1x x 2x 4d x 14 . 5. 设二维随机变量 X, Y概率密度为4.8 2 x , 0 1, 0 x ,f x y , 0

7、, 其它 .求关于 X 和 Y 边缘概率密度 .解 X Y 的概率密度 f x y , 在区域 G : 0 x 1, 0 y x 外取零值 .因而 , 有名师归纳总结 fX f x y , d yx4.8 2x d ,0x1,第 4 页,共 21 页00,其它.fY f x y , d x2.42x x2,0x1,0,其它.14.8 2xd ,0y1,y0,其它.2.4 34y2 y,0y1,0,其它.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 假设随机变量 U 在区间 -2, 2上听从匀称分布 , 随机变量X1,如U1,Y1,如U1,1113.1,如U1

8、,1,如U1.试求： 1 X 和 Y 的联合概率分布；2P XY 1 . 解1 见本章第三节三4. Y11P X1, Y2P XY11P X44习题 3-2 1. 设 X, Y的分布律为求 : 1 XY1 2 3 4 在条件 X=21 0.1 0 0.1 0 2 0.3 0 0.1 0.2 3 0 0.2 0 0 下 Y 的条件分布律 ; 2 P X2Y2. 0 .300 .10.206.,所以在条件X=2 下 Y的条件解1 由于P X2 分布律为P Y1|X2 P X2 ,Y1 0.31 2, PX2 0.6P Y2|X2 P X,2Y2 00, P X2 06.P Y3|X2 P X2,Y

9、301.1 6, PX2 0.6P Y4|X2 P X2,Y4 0.21 3, P X2 0.6或写成P YY|k21 2 3 4 1011kX2632 留意到名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - P Y 2P Y1P Y20.10.3 000.20.6 . 而名师归纳总结 P X2,Y2P X2,Y1P X2,Y2第 6 页,共 21 页P X3,Y1P X3,Y2因此0.3 000.20.5. P X2Y2P X2,Y20.55.P Y20.662. 设平面区域 D 由曲线y1及直线y0,x1,xe2所围成 , 二

10、维随机变量 X, Yx在区域 D 上听从匀称分布, 求 X, Y关于 X 的边缘概率密度在x=2 处的值 . 解由题设知 D 的面积为S De21 d xxlnx2 e2. 11因此 , X,Y的密度为f x y , 1, , D,20, 其它 .由此可得关于X 的边缘概率密度Xf f x y , dy . 明显 , 当 x 1 或 xe2时 ,Xf 0; 当1x2 e时 ,Xf 11d y1. 故x022xXf21.43. 设二维随机变量X, Y的概率密度为f , 1, 0x1,0y2 ,0,其它.求： 1 X, Y的边缘概率密度fX ,fY y ； 2P Y1X1.22解1 当 0x1时

11、,Xf f x y , dy2xd y2x ; 0当 x0 时或 x1 时 , Xf 0. 故fX 2 ,0x1,0,其它 .当 0y2 时 ,fY f x y , dx1dx1y; y22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 y 0 时或 y 2 时, Yf 0. 名师归纳总结 故fY 1y,0y2,第 7 页,共 21 页20,其它.2 当 z 0 时 ,FZ 0; 当 z 2 时 ,FZz 1; 当 0z0, 试求随机变量和 Z=X+Y 的概率密度 . 解 已知 X 和 Y 的概率密度分别为Xf 2 1 e x2 2 2, x , ; fY y

12、0 2 1, a , yy aa , aa ,. . 由于 X 和 Y 相互独立 , 所以fZ fXzy fY d y1a1ezy22d y22 aa2=1 z a z 2 a 10. 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形试求随机变量 U=|X - Y|的概率密度 fu. 解 由题设知 , X 和 Y 的联合概率密度为a. G= x,y|1 x3, 1 y3 上的匀称分布 , 名师归纳总结 f x y1,1 3,1 3,图 3-7 第 8 题积分区域第 12 页,共 21 页40,其它.记F u 为 U 的分布函数 , 参见图 3- 7, 就有当 u0 时,F u P |XY| u=0;

13、 当 u2 时,F u 1; 当 0 u2 时 , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F u P Uu f x y , d d x y故随机变量U|XY|xy |u1 4 4212u2 2112u2. 4|的概率密度为p u 1 2 2u,0u2,. 0,其它 .总习题三1. 设随机变量 X, Y的概率密度为fx ,y ,1|y|x 0,x,11,求条件概率密度fY|X0 ,其它.0xy|x和fX| Yx|y. 解第一f x y dy2 , 0,fX 其它.fY 1y,0y1,f x y dx1y,1y0,0,其它 .图 3-9 第 1 题积分区域名师

14、归纳总结 当 01y1时, fX Y | x y1,yx1,第 13 页,共 21 页1y当y 0 时 , fX Yx y0,yx取其它值 .1yx1,10,x取其它值 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当0x1时 , f Y Xy x | 1 , 2 x|y|x ,0,y取其它值 .X Y的分布律及关于X 和关2. 设随机变量 X 与 Y相互独立 , 下表列出二维随机变量于 Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处y ipj. YX x1x2P Yy11 816y21 8y3解P Xx ipiP Xx Yy 1P Xx 2,Y1 ,

15、 第一 ,由于y 1 y 1P Y所以有名师归纳总结 P Xx Yy 1P Yy 1P Xx Yy 11111. 第 14 页,共 21 页6824在此基础上利用X 和 Y 的独立性 , 有P Xx 1P Xx Yy 111 4. . 24P Yy 116于是P Xx 21P Xx 1 113. 44再次 , 利用 X 和 Y 的独立性 , 有. 1P Yy 2P Xx Yy 281P Xx 11241于是P Yy 31P Yy 1P Yy 211623最终 , 利用 X 和 Y 的独立性 , 有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P Xx Yy 2P

16、Xx 2P Yy 2313; 428P Xx Yy 3P Xx 2P Yy3; 311434名师归纳总结 P Xx Yy 3P Xx 1 P Yy3111. , 可 得第 15 页,共 21 页4312因此得到下表YXx1x2P Yy ipjy11112486y2131882y31111243P Xx ipi131 443. 设随机变量 X Y 的概率密度为f x yk e3x4y,x0,y0,0,其它.1 求常数 k；2 求X,Y的分布函数； 3 运算P 0X1,0Y2; 4 运算xf ,yf ； 5 问随机变量X 与 Y 是否相互独立 . k解. 1 由1f , d d x yk0e3x

17、dx0e4yd yk12124y. 2 X,Y的分布函数F x yxyf u v , d d x y . 当 x 0 或 y 0 时,有Fx,y0; 当x0 y0时 , F x y , 12xe3ud uye4v d v1 e3x1 e00即F x y , 1 e3x1 e4y,x0,y0,0,其它.3 P0X1,0Y2F1,2F0,013 e 18 e . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 fX f x y , dy012e3x4yd ,x0,0,其它.所以fX 3e3x,x0,0,其它.类似地 , 有名师归纳总结 fY 4e4y,y0,3 0,

18、可见第 16 页,共 21 页0,其它.明显fx,yfXxfYy,x ,yR2, 故 X 与 Y 相互独立 . 4.解 已知X,Y的分布律为XY1 2 1 0 116122 1116663 110 126留意到 P X 1 P Y 1 0 1 1 16 12 4P X=1, Y=1 P X=1 P Y=1. 因此 X 与 Y 不相互独立 . 2 Z X Y的可能取值为 3, 4, 5, 6, 且, 而PX1 ,Y1P Z3 P X,1Y2 P X2 ,Y1111, 6631P Z4 P X,1Y3 PX2,Y2 PX,3Y1111, 126123即 ZP Z5P X,2Y3P X,3Y2 111. 663XY的分布律为Z3 4 5 P 111333- -