2022年河北省近五年中考数学压轴题综述.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载河北省近五年中考数学压轴题综述河北省中考数学最终一道压轴题的命制,从1996 年至 20XX年的近五年来出现出一个规律：都是几何图形运动型的综合题,并且由运动的几何图形来看,类型各异,颇具特色；一、单点运动型 例 1 1999 年河北省中考压轴题 如图 1-1 ,正方形 OABC的顶点 O在坐标原点,且 OA边与 AB边所在直线的解析式分别为：y=x 和 y=-x+；D、E 分别为边 OC和 AB的中点, P为 OA边上一动点 点 P与点 O不重合 ,连结 DE和 CP,其交点为 Q；1 求证：点 Q为 COP的外心；2

2、求正方形 OABC的边长；3 当Q 与 AB相外切时,求点 P的坐标；解：1 D、 E 分别为正方形 OABC中 OC、AB的中点,DE OA；Q 也是 CP的中点；又CP是 Rt COP的斜边,点 Q为 COP的外心；2 由方程组解得点 A的坐标为 4 ,3 ；过点 A作 AFox 轴,垂足为点 F；OF=4,AF=3；由勾股定理,得OA=5；3 如图 1-2 ,当 COP的外接圆Q 与 AB相切时,圆心 Q在直线 DE上,且 DEAB,E 为Q与 AB相切的切点；又AE和 APO分别是Q 的切线与割线AE 2=AP AOOA=5,AE=2=AP 5,AP=当Q 与 AB相切时, OP=5-

3、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载作 PHox,垂足为 H；PH AF,OH=,PH=点 P的坐标为 3 , 二、双点互动型 例 2 1997 年河北省中考压轴题 已知：如图 2-1 ,在直角梯形 ABCD中,AD BC,B=90 ,AB=8厘米, AD=24厘米, BC=26厘米, AB为O 的直径；动点 P从点 A开头沿 AD边向点 D以 1 厘米/ 秒的速度运动,动点 Q从点 C开头沿 CB边向点 B以 3 厘米/ 秒的速度运动； P、Q分别 从点 A、C同时动身,当其中一点到达端点时,另

4、一点也随之停止运动；设运动时间为 t 秒；分别为何值时,四边形 PQCD为平行四边形、等腰梯形？求： 1t 2t 分别为何值时,直线 PQ与O 相切、相交、相离？解：1 AD BC,只要 QC=PD,四边形 PQCD为平行四边形；此时,有 3t=24-t ,解,得 t=6 ；即当 t=6 秒时,四边形 PQCD为平行四边形；同理,只要 PQ=CD,PD QC,四边形 PQCD为等腰梯形；过 P、D分别作 BC的垂线交 BC于 E、F 两点 如图 2-2 ,就由等腰梯形的性质可知：EF=PD,QE=FC=2；2= 3t24-t 解得 t=7 t=7 秒时,四边形 PQCD为等腰梯形；2 设运动

5、t 秒时,直线 PQ与O 相切于点 G如图 2-3 ,过 P作 PHBC,垂足为 H；就 PH=AB,BH=AP,即 PH=8,HQ=26-3t-t=26-4t ；名师归纳总结 由切线长定理,得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t；第 2 页,共 7 页由勾股定理,得PQ 2=PH 2+HQ 2,即26-2t2=8 2+26-4t2化简整理,得 3t2-26t+16=0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解,得 t 1=,t 2=8 优秀学习资料欢迎下载即 t= 秒或 t=8 秒时,直线 PQ与O 相切；t=0 秒 时, PQ与O 相交；当 t

6、= =8 秒 时, Q点运动到 B 点,P点尚未运动到 D点,但也停止运动,此时 PQ也与O 相交；当 t= 或 t=8 时,直线 PQ与O相切；当 0t 或 8t 8 时,直线 PQ与O 相交；当t 8 时,直线 PQ与O 相离；三、直线平移型例 3 2000 年河北省中考压轴题 在如图 3-1 所示的直角坐标系中,点 C在 y 轴的正半轴上,四边形 OABC为平行四边形, OA=2,AOC=60 ,以 OA为直径P 经过点 C,点 D在 y 轴上,DM为始终与 y 轴垂直且与 AB边相交的动直线,设DM与 AB边的交点为 M点 M在线段 AB上,但与 A、B两点不重合 ,点 N是 DM与

7、BC的交点设 OD=t；1 求点 A和 B的坐标；2 设 BMN的外接圆G 的半径为 R,请你用 t 表示 R及点 G的坐标；3 当G 与P 相切时,求直角梯形 OAMD的面积；解： 1 连结 AC；OA为 P的直径, ACO=90又OA=2,AOC=60 , OC=1, AC=点 A的坐标为 ,1 又 OABC为平行四边形, AB OC,点 B的坐标为 ,2 2 DMy 轴,且 AB OC,DMAB；NMB=90G 的圆心 G为 BN的中点；又 B=AOC=60 , BM= BN=R；而点 B的纵坐标为 2,点 M的纵坐标 =点 D的纵坐标 =t ,BM=2-t ,R=2-t 过点 G作 G

8、H y 轴,交 x 轴于点 H,交 DM于点 F；过点 G作 GK x 轴,交 AB于点 K如名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载图 3-2 ；依据垂径定理,得到： FM= MN,KM= BM；设点 G的坐标为 x, y NM= 2-t x=DM-MN= -2-t= t ,y=OD+ BM=t+ 2-t=1+ t ；点 G的坐标为 t ,1+ t ；3 连结 GP,过点 P 作 PE x 轴,交 GH于点 E；由 PEGE,依据勾股定理得：GP=当G 与P 外切时, PG=R+1,=3-t ；是原

9、方程的根；解得 t=,经检验 t=此时, OD=t= ,AM=1-MB=,DM=AC=此时, OD=t= ,AM=1-MB=,DM=AC= ,直角梯形 OAMD的面积为：S=,DM=；四、点线共动型例 4 20XX 年河北省中考压轴题 如图 4-1 ,在菱形 ABCD中,AB=10,BAD=60 ；点 M从点 A以每秒 1 个单位长的速度沿着AD边向点 D移动；设点 M移动的时间为 t 秒0 t 10；1 点 N为 BC边上任意一点； 在点 M移动过程中, 线段 MN是否肯定可以将菱形分割成面 积相等的两部分？并说明理由；名师归纳总结 2 点 N从点 B与点 M动身的时刻相同 以每秒 2 个单

10、位长的速度沿着BC边向点 C移动,在什么时刻,梯形ABNM的面积最大？并求出面积的最大值；第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3 点 N从点 B与点 M动身的时刻相同 以每秒 aa2 个单位长的速度沿着射线 BC方向 可以超越 C点 移动,过点 M作 MP AB,交 BC于点 P；当 MPN ABC时,设 MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为 S,求出用 t 表示 S 的关系式,并求出 S=0时 a 的值；解： 1MN 肯定能在某一时刻将菱形ABCD分割成面积相等的两部分；对于中心对称图形,过中心的任始终线均能

11、将图形分割成面积相等的两部分；而且菱形 是中心对称图形 如图 4-2 所示 ；在点 M由 A到 D的移动过程中,肯定存在一个时刻,使得线段 MN过菱形的中心；2 过 B作 BEAD,垂足为 E如图 4-3 ；在 Rt ABE中,BE=10sin60 =5AM=t,BN=2t,S梯形 ABNM=t+2t 5=t ；2t 10,t 5当 t=5 时, S梯形 ABNM最大；最大面积为： 5=；3 ABC是腰长为 10 的等腰三角形；当 ABC ABC时 如图 4-4 MP=10,PN=BC=10,且 MP=PN；NC=PN-PC=BC-PC=PB BP=AM=t,PC=10-t ,NC=t 过 P

12、作 PGDC,垂足为 G；在 Rt PGC中,PG=PCsin60 =10-t；设 MN交 DC于 F,DC MP,且 MP=PN,NFC=NMP=MNP,FC=NC=t；重叠部分 MPCF是梯形,S= t+10 t10-t=-t2+25当 S=0,即-2+25=0 时,解得 t 1=10,t 2=-10 舍去 BN=at,且 BN=PN+PB=10+t,at=10+t ；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载将 t=10 代入 at=10+t ,解得 a=2；五、点圆齐动型例 5 1998 年河北

13、省中考压轴题 如图 5-1 所示,一艘轮船以 20 浬/ 时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以 40 浬/ 时的速度由南向北移动,距台风中心 20 浬的圆形区域 包括边界 都属台风区；当轮船到 A 处时,测得台风中心移到位于点 A 正南方向B 处,且 AB=100浬；1 如这艘轮船自 A处按原速度连续航行, 在途中会不会遇到台风？如会,试求轮船最初遇到台风的时间；如不会,请说明理由；2 现轮船自 A处立刻提高航速,向位于东偏北30 方向,相距 60 浬的 D港驶去；为使台风到来之前,到达 D港,问船速至少应提高多少 提高的船速取整数,3.6 ？解：1 设途中会遇到台风,且最初遇

14、到台风的时间为 t 小时,此时,轮船位于 C处,台风中心移到 E处,连结 CE如图 5-2 ；就有 AC=20t,AE=AB-BE=100-40t,EC=20在 Rt AEC中,AC 2+AE 2=EC 2,；20t2+100-40t2=202；整理,得 t2-4t+3=0 = -42- 4 1 3=4 0,途中会遇到台风；解,得 t1=1,t2=3；最初遇到台风的时间为 1 小时；2 设台风抵达 D港时间为 t 小时,此时台风中心至 结 DM；在 Rt ADF中,AD=60,FAD=60 ,DF=30,FA=30；2,又302+130-40t2=20整理,得 4t2-26t+39=0 ；解之

15、,得 t 1=,t 2=台风抵达 D港的时间为小时；M点；过 D作 DFAB,垂足为 F,连名师归纳总结 轮船从 A处用小时到 D港的速度为 6025.5 ；第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此,为使台风抵达优秀学习资料欢迎下载6 浬/ 时；D港之前轮船到 D港,轮船至少应提速连续五年的中考压轴题都以几何图形的运动为命题背景,并非纯属巧合；大致主要缘由 是命题者看中了这种题目的综合性强、对思维才能的要求高这一颇具选拔性的功能；而在动 中求静的辨证统一思想,又成为表达数学中辩证法的很好素材；由此可见,无论从今类题目 的命题形式、仍是考查意图上,把它放在最终一道压轴题的位置,都是恰如其分的；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页