2022年泛函分析知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点泛函分析学问点学问体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子d：X XR,使得x,y,zX, 以下1. 距离空间的定义：设 X 是非空集合,如存在一个映射距离公理成立：（1）非负性： dx,y0,dx,y=0x=y; （2）对称性： dx,y=dy,x; （3）三角不等式：dx,ydx,z+dz,y; 就称 dx,y 为 x 与 y 的距离, X 为以 d 为距离的距离空间,记作（X,d）2. 几类空间例1离散的度量空间EM ,例2序列空间 S 例3有界函数空间BA 例4可测函数空MX 例5Ca,b 空

2、间 即连续函数空间例6l2其次节度量空间中的极限,稠密集,可分空间1.开球定义设（ X,d）为度量空间,d 是距离,定义Ux 0, x X | dx, x 0 N 时,必有d x n , x m,就称 x n 是 X 中的柯西点列或基本点列；假如度量空间（X,d ）中每个柯西点列都在（X,d ）中收敛,那么称（X,d ）是完备的度量空间 . 【留意】（1）Q 不是完备集（2）n R 完备cauchy 列. （3）cauchy 列不肯定收敛,但收敛列肯定是（4）Ca,b 完备2.定理 完备度量空间 X 的子空间 M 是完备空间的充要条件为 M 是 X 中的闭子空间 . 第五节 度量空间的完备化

3、1.定义 设（ X,d）, X , d 是两个度量空间,假如存在 X 到 X 上的保距映射 T, 即 d Tx Ty d x y ,就称 （X,d）和 X , d 等距同构,此时 T 称为 X 到 X 上等距同构映射；2.定理 1（度量空间的完备化定理）设 X= （X,d）是度量空间,那么肯定存在一完名师归纳总结 备度量空间 X = X , d ,使 X 与 X 的某个稠密子空间W 等距同构, 并且 X 在等距同第 2 页,共 6 页构意义下是唯独的,即如 X , d 也是一完备度量空间, 且 X 与 X 的某个稠密子空间等距同构,就 X , d 与 X , d 等距同构；3.定理 1设 X=

4、（X,d）是度量空间,那么存在唯独的完备度量空间 X = X , d ,使 X 为 X 的稠密子空间；第六节压缩映射原理及其应用1.定义设 X 是度量空间, T 是 X 到 X 中的映射,假如存在一个数,01,1 p11,fLpa b,gq La b 那么 ftgtq在a,b上 L 可积,并且baf t g t dt f p g q3 引理 2Minkowski 不等式 设 p1,f,gL pa,b, 那么 f+g L pa,b, 并且成立不等式 f+g p f p + g p 4.定理 1 当 p1 时,L pa,b按6中范数fp 成为赋范线性空间 . 5.定理 2 L p a,bp1是 B

5、anach 空间.6.定理 3 设 X 是 n 维赋范线性空间 ,e1,e2, ,en是 X 的一组基 ,就存在常数 M 和M,使得对一切xn1ke kk成立名师归纳总结 nk21Mx . 1 ,那么必存在常数M 和第 4 页,共 6 页2M xk1x 和x7.推论 1 设在有限维线性空间上定义了两个范数M ,使得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - M x x名师总结优秀学问点1 M x . 8. 定义 2 设R1, x1 和R2 , x2 是两个赋范线性空间 .假如存在从 R1 到 R2 上的线性映射 和正数 c1 ,c2,使得对一切 xR1,成立c1

6、 x2 x1 c2 x2就称 R1 , x1和R 2, x2 这两个赋范空间是拓扑同构的 . 8.推论 2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构 .相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构 . 二有界线性算子和连续线性泛函第一节 有界线性算子和连续线性泛函定义 1 设 X 和 Y 是两个同为实 或复 的线性空间 ,D 是 X 的线性子空间 ,T 为 D 到 Y 中的映射,假如对任何x,yD,及数 ,有1 Tx+y= Tx+ Ty, T x= Tx, 2 就称 T 为 D 到 Y 中的线性算子 ,其中 D 称为 T 的定义域 ,记为 DT,TD 称为 T 的值域 ,记为RT, 当 T 取值于

7、实 或复 数域时 ,就称 T 为实 或复 线性泛函 . 定义 2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间,T 是 X 的线性子空间DT 到 Y 中的线性算子 ,假如存在常数 c,使对全部 xDT, 有 Tx c x , 3 就称 T 是 DT 到 Y 中的有界线性算子 ,当 DT= X 时,称 T 为 X 到 Y 中的有界线性算子 ,简称为有界算子 .对于不满意条件 3的算子 ,称为无界算子 .本书主要争论有界算子 . 定理 1 设 T 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子 ,就 T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上连续算子 . 定理 2 设 X 是赋范线性空间,f 是 X

8、上线性泛函 ,那么 f 是 X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间 Nf 是 X 中的闭子空间定义 3 T 为赋范线性空间X 的子空间 DT 到赋范线性空间 Y 中的线性算子 ,称Tsup x 0Tx4 xx D T为算子 T 在 DT 上的范数 . 引理 1 设 T 是 DT 上有界线性算子,那么（ 6）Tsup x D TTxsup x D TTxx1x1. 有界线性算子和连续线性泛函的例子例 6 赋范线性空间X 上的相像算子Tx= x 是有界线性算子,且 T =| |,特殊I X =1,O =0. 其次节 有界线性算子空间和共轭空间. 有界线性算子全体所成空间定理 1 当 Y 是 Ban

9、ach空间时 ,BX Y 也是 Banach空间. . 共轭空间定义 1 设 X 是赋范线性空间 ,令 X 表示 X 上连续线性泛函全体所成的空间 ,称为 X 的共轭空间 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点定理 2 任何赋范线性空间的共轭空间是 Banach空间 . 定义 2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间 ,T 是 X 到 Y 中的线性算子 ,并且对全部 xX,有 Tx = x , 就称 T 是 X 到 Y 中的保距算子 ,假如 T 又是映射到 Y 上的,就称 T 是同构映射 , 此时称 X 与 Y 同构. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页