第7章 图像重建的应用PPT讲稿.ppt

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1、第7章 图像重建的应用第1页，共92页，编辑于2022年，星期一 在医学影像处理中是医学图像获取的重要方法。如医疗在医学影像处理中是医学图像获取的重要方法。如医疗放射学，核医学，电子显微等领域是必不可少的技术，放射学，核医学，电子显微等领域是必不可少的技术，在工业生产中的无损检测技术图像重建也扮演重要角在工业生产中的无损检测技术图像重建也扮演重要角色。因此，本章主要介绍些基本的重建方法。色。因此，本章主要介绍些基本的重建方法。第2页，共92页，编辑于2022年，星期一 774 图像重建的应用图像重建的应用 在医学影像处理中是医学图像获取的重要方法。在医学影像处理中是医学图像获取的重要方法。如医

2、疗放射学，核医学，电子显微等领域是必不如医疗放射学，核医学，电子显微等领域是必不可少的技术，在工业生产中的无损检测技术图像可少的技术，在工业生产中的无损检测技术图像重建也扮演重要角色。因此，本章主要介绍些基重建也扮演重要角色。因此，本章主要介绍些基本的重建方法。本的重建方法。第3页，共92页，编辑于2022年，星期一在三维重建中的数据形式有三种在三维重建中的数据形式有三种（1）透射模型）透射模型（光，（光，x射线）射线）（2）发射模型）发射模型（核磁共振等）（核磁共振等）（3）反射模型）反射模型（光电子，雷达，超声波）（光电子，雷达，超声波）第4页，共92页，编辑于2022年，星期一 图图 6

3、1 图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图 第5页，共92页，编辑于2022年，星期一假设，两个嵌在内部的物体只能从外边观察，那么，假设，两个嵌在内部的物体只能从外边观察，那么，采用什么检测手段才能达到这样的目的呢。当然，采用什么检测手段才能达到这样的目的呢。当然，将物体切开是一种显而易见的解决方法。然而将物体切开是一种显而易见的解决方法。然而,在许在许多情况下这样做是不实际的，比如说，医疗检查，多情况下这样做是不实际的，比如说，医疗检查，天文观察，工业中的无损检测，光传导中的测量天文观察，工业中的无损检测，光传导中的测量等一些应用都不能采用这种破坏性

4、方法。等一些应用都不能采用这种破坏性方法。第6页，共92页，编辑于2022年，星期一 透射模型：透射模型：建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收的建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收的基础之上，基础之上，透射模型经常用在射线、电子射线透射模型经常用在射线、电子射线及光线和热辐射的情况下，这些都遵从一定的吸及光线和热辐射的情况下，这些都遵从一定的吸收法则。收法则。第7页，共92页，编辑于2022年，星期一 发射模型：发射模型：发射也可用来确定物体的位置，并且这种方法已发射也可用来确定物体的位置，并且这种方法已经广泛用于正电子检测，它是通过在相反的方向经广泛用于正电子检测，它是通过在相反的方

5、向分解散射的两束伽码射线来实现的。这两束射线分解散射的两束伽码射线来实现的。这两束射线的渡越时间可用来确定物体的位置。的渡越时间可用来确定物体的位置。第8页，共92页，编辑于2022年，星期一 反射模型反射模型 能量反射也可用来测定物体的表面特性，例如，能量反射也可用来测定物体的表面特性，例如，光线、电子束、激光或做为能量源的超声波等都光线、电子束、激光或做为能量源的超声波等都可以用来进行这种测定。可以用来进行这种测定。第9页，共92页，编辑于2022年，星期一6.1 6.1 经典断层成像经典断层成像 断层成像一种将物体的每一片层完全隔离出来断层成像一种将物体的每一片层完全隔离出来进行观察的无

6、损检测技术。这是一种透射检测得进行观察的无损检测技术。这是一种透射检测得到数据，透射路径被限制在所关心的平面内。对到数据，透射路径被限制在所关心的平面内。对于医学上的应用来说被计算的特性是组织的衰减于医学上的应用来说被计算的特性是组织的衰减系数系数。第10页，共92页，编辑于2022年，星期一 对于人体来说，大部分软组织是水，但仍有足够对于人体来说，大部分软组织是水，但仍有足够的差异，不同的组织以产生不同的衰减系数，这的差异，不同的组织以产生不同的衰减系数，这样就可以给出一幅解剖的横截面图像，该图像包样就可以给出一幅解剖的横截面图像，该图像包括一些定量信息。括一些定量信息。衰减系数的单位衰减系

7、数的单位 H（豪斯费尔德）（豪斯费尔德）(Hounsfield)第11页，共92页，编辑于2022年，星期一 一个豪斯费尔德等于水的衰减系数的一个豪斯费尔德等于水的衰减系数的0.1%，标度上选，标度上选择择 H（水）（水）=0对于空气对于空气 H=-1000 骨骼骨骼 H=+1000早期的断层成像是用机械方法得到，如下图所示：早期的断层成像是用机械方法得到，如下图所示：第12页，共92页，编辑于2022年，星期一 图图 62 常规断层摄影的原理示意图常规断层摄影的原理示意图 第13页，共92页，编辑于2022年，星期一 这是一种将物体的每一片层完全隔离出来进行观察这是一种将物体的每一片层完全隔

8、离出来进行观察的无损检测技术。这是一种投射测量检测得到数据，的无损检测技术。这是一种投射测量检测得到数据，投射路径被限制在所关心的平面内。投射路径被限制在所关心的平面内。第14页，共92页，编辑于2022年，星期一 对于医学上的应用来说被计算的特性是组织的衰减系对于医学上的应用来说被计算的特性是组织的衰减系数数，对于人体来说，大部分软组织是水，但仍，对于人体来说，大部分软组织是水，但仍有足够的差异，以产生不同的衰减系数，这样就有足够的差异，以产生不同的衰减系数，这样就可以给出一幅解剖横截面图像，也包括一些定量可以给出一幅解剖横截面图像，也包括一些定量信息。计算机成像示意图如下：信息。计算机成像

9、示意图如下：6.2 6.2 关于计算机断层成像关于计算机断层成像第15页，共92页，编辑于2022年，星期一 图图 62 计算机断层成像示意图计算机断层成像示意图 第16页，共92页，编辑于2022年，星期一第17页，共92页，编辑于2022年，星期一 X射线经过物体时会发生衰减，不同的物质衰射线经过物体时会发生衰减，不同的物质衰减是不一样的。得到物体的图像最直接的方法是减是不一样的。得到物体的图像最直接的方法是沿沿Y轴经衰减直接在胶片上成像。这与轴经衰减直接在胶片上成像。这与X光透视是一光透视是一样的，这样会造成图像的混叠。样的，这样会造成图像的混叠。第18页，共92页，编辑于2022年，星

10、期一 CT是把物体在是把物体在Y轴方向划分成小的薄片，薄片的轴方向划分成小的薄片，薄片的厚度是一个重要的参数，一般为厚度是一个重要的参数，一般为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、8 8、10mm10mm。每个薄片再划分为小的单元，即体素。每个薄片再划分为小的单元，即体素。第19页，共92页，编辑于2022年，星期一 在断层扫描时，生成大量的数据，根据该数据再计在断层扫描时，生成大量的数据，根据该数据再计算出每个体素的衰减系数，然后把这些衰减系数按算出每个体素的衰减系数，然后把这些衰减系数按一定的函数关系显示在屏幕上，这样，就产生了断一定的函数关系显示在屏幕上，这样，就产生了断层图像。层图

11、像。第20页，共92页，编辑于2022年，星期一计算机断层成像原理如下：第21页，共92页，编辑于2022年，星期一 设设某某一一物物体体体体素素对对X X射射线线的的衰衰减减系系数数为为，体体素素厚厚度度为为d ，和和 为为穿穿透透物物体体前前后后的的X X射射线线的的辐辐射强度。射线遵循如下的衰减定律：射强度。射线遵循如下的衰减定律：第22页，共92页，编辑于2022年，星期一假如一条直线上有假如一条直线上有n个体素，个体素，第一个体素的衰减为第一个体素的衰减为:第二个体素衰减为：第二个体素衰减为：第23页，共92页，编辑于2022年，星期一对于第对于第n n个体素有：个体素有：显然：显然

12、：第24页，共92页，编辑于2022年，星期一即：一一 般般 情情 况况 探探 测测 器器 只只 能能 测测 到到 ，而而 不不 能能 测测 到到 ，因因此此，不不能能直直接接记记录录各各个个体体素素的的衰衰减减系系数数。但但是，我们可以用数学方法求解衰减系数。是，我们可以用数学方法求解衰减系数。第25页，共92页，编辑于2022年，星期一 假如某断层有假如某断层有2X22X2个体素，相应的衰减系数为个体素，相应的衰减系数为 ，第26页，共92页，编辑于2022年，星期一分分别别从从X和和Z方方向向投投影影，测测得得的的衰衰减减系系数数为为A，B，C，D，即：，即：第27页，共92页，编辑于2

13、022年，星期一 从而，可以解出从而，可以解出 的值来。我们的值来。我们用一定的函数关系在屏幕上显示出来就可以得到相应用一定的函数关系在屏幕上显示出来就可以得到相应的断层图像。的断层图像。如果图像的分辨率为如果图像的分辨率为512X512，则图像有，则图像有262144个独立阵元，需要解个独立阵元，需要解262144元的方程组，计算出元的方程组，计算出值，重建出图像。值，重建出图像。第28页，共92页，编辑于2022年，星期一6.3 6.3 断层图像重建算法：断层图像重建算法：第29页，共92页，编辑于2022年，星期一 扫描系统由扫描系统由x x射线源和检测器组成，射线源和检测器组成，x x

14、射线穿过物射线穿过物体，由检测器检测，体，由检测器检测，x x射线源和检测器组合横向扫射线源和检测器组合横向扫描，可产生一个投影，在旋转角度变更的条件下，描，可产生一个投影，在旋转角度变更的条件下，就可以产生一个投影数据组。就可以产生一个投影数据组。为了从理论上分析重建算法，我们先定义几个坐为了从理论上分析重建算法，我们先定义几个坐标系标系第30页，共92页，编辑于2022年，星期一1)1)x-y 坐标系坐标系2)2)xr-yr坐标系，它相对于坐标系，它相对于x-y坐标系逆时针旋转了坐标系逆时针旋转了一个角度一个角度 第31页，共92页，编辑于2022年，星期一第32页，共92页，编辑于202

15、2年，星期一 其中：第33页，共92页，编辑于2022年，星期一第34页，共92页，编辑于2022年，星期一3)极坐标极坐标第35页，共92页，编辑于2022年，星期一第36页，共92页，编辑于2022年，星期一 令令f(x,y)是介质的衰减系数，如果衰减系数在介质中是介质的衰减系数，如果衰减系数在介质中为恒定的，即为恒定的，即 f(x,y)=。如果如果x射线行进距离为射线行进距离为x，则射线衰减规律将遵循比，则射线衰减规律将遵循比尔定律（尔定律（Beers law)，即：，即：式中式中：为入射光子积分通量为入射光子积分通量 为透射的光子积分通量。为透射的光子积分通量。第37页，共92页，编辑

16、于2022年，星期一 如果衰减系数不是恒定值则要沿吸收路径作积分如果衰减系数不是恒定值则要沿吸收路径作积分L为为x射线源到检测器的直线路径射线源到检测器的直线路径。第38页，共92页，编辑于2022年，星期一 为得到一个透射量的数组，可作如下处理：为得到一个透射量的数组，可作如下处理：第39页，共92页，编辑于2022年，星期一即：即：作线性化处理：作线性化处理：第40页，共92页，编辑于2022年，星期一 这里这里 就叫雷登变换（就叫雷登变换（Radon TransformationRadon Transformation）或称为或称为f(x,y)的投影的投影第41页，共92页，编辑于202

17、2年，星期一 这里物体断层重建的任务就是求这里物体断层重建的任务就是求 的的逆。逆。这里，我们可把这里，我们可把 看成是在给定的投影看成是在给定的投影角角 之下，关于之下，关于 的一维连续函数。的一维连续函数。第42页，共92页，编辑于2022年，星期一 为了清楚起见，我们先来看一下物体从为了清楚起见，我们先来看一下物体从x-y空间到投空间到投影数据空间影数据空间 空间的关系。也就是物体空间的关系。也就是物体空间与空间与 Radon Radon 空间的关系。空间的关系。第43页，共92页，编辑于2022年，星期一 图中(a)是线积分路径L变换为Radon空间中的点 。(b)是通过 的所有投影的

18、轨迹是圆心在 直径为 r 的圆。第44页，共92页，编辑于2022年，星期一 1)、在、在Radon空间中，每一点代表通过物体的一个线空间中，每一点代表通过物体的一个线积分。积分。2)、物体空间与、物体空间与Radon空间的等效关系可以由两空间的等效关系可以由两个空间点的映射关系阐述。个空间点的映射关系阐述。第45页，共92页，编辑于2022年，星期一3)、物体空间中的一点、物体空间中的一点M（或（或（r，）其）其 由由下式给出：下式给出：这在这在Radon空间是一个圆方程，该方程由原点及空间是一个圆方程，该方程由原点及 为端点作为直径的圆唯一的确定。为端点作为直径的圆唯一的确定。第46页，共

19、92页，编辑于2022年，星期一 所以，如果以 和 作为笛卡尔坐标，对投影数据进行映射，同样可以得到投影空间中各点与物体空间中线积分路径之间的一一对应关系，这里只考虑 内的 值，因为所有的投影数据都包含在这一范围内。通过物体的给定点的所有投影的轨迹由 给出。第47页，共92页，编辑于2022年，星期一 这是一条余弦曲线，这样物体点的矢径这是一条余弦曲线，这样物体点的矢径 r 与方与方位角位角可以被直接编码。可以被直接编码。这一投影数据的特殊形式称为正弦图（这一投影数据的特殊形式称为正弦图（sinogram）格式。格式。第48页，共92页，编辑于2022年，星期一第49页，共92页，编辑于202

20、2年，星期一（a)a)由线由线 l 确定的一个投影数据点映射到正弦图空间中确定的一个投影数据点映射到正弦图空间中的的 点，这里点，这里 代表物空间中代表物空间中 l 的垂足矢量。的垂足矢量。（b b）通过点）通过点 的所有线积分的轨迹是一幅值的所有线积分的轨迹是一幅值为为 r 相角为相角为 的余弦波。的余弦波。第50页，共92页，编辑于2022年，星期一 数据组数据组 有如下一些性质：有如下一些性质：1)1)、它是有界的，、它是有界的，f(x,y)与与 同属于一同属于一个最小的支集圆。个最小的支集圆。2)2)、存在对称性，实际上，、存在对称性，实际上，x 射线源与检测器射线源与检测器互换不影响

21、检测器的透射检测值。即：互换不影响检测器的透射检测值。即：第51页，共92页，编辑于2022年，星期一3)、投影数据有一个附加约束。、投影数据有一个附加约束。实际上，由定义可以看出：实际上，由定义可以看出：此式右边是物体对整个空间的二维积分，其值显然与此式右边是物体对整个空间的二维积分，其值显然与坐标取向无关。坐标取向无关。第52页，共92页，编辑于2022年，星期一 4)4)、物体构造的复杂性和所需的投影数目之间存、物体构造的复杂性和所需的投影数目之间存在一定关系。在一定关系。第53页，共92页，编辑于2022年，星期一 如果只有水平和垂直投影，显然有不确定性，加如果只有水平和垂直投影，显然

22、有不确定性，加上第三个投影就可以消除这种不确定性了。上第三个投影就可以消除这种不确定性了。物体和投影的关系有三条特点物体和投影的关系有三条特点:1)、任何物体可完全由其连续的投影组来描述，也、任何物体可完全由其连续的投影组来描述，也就是说就是说,最复杂的物体也可以由其投影来重建；最复杂的物体也可以由其投影来重建；第54页，共92页，编辑于2022年，星期一 2)2)、蕴含在每一个投影中的信息都有一明确的解释；、蕴含在每一个投影中的信息都有一明确的解释；3)3)、由、由2)2)提供的解释导出了求解提供的解释导出了求解的各种等价的解析方法。的各种等价的解析方法。第55页，共92页，编辑于2022年

23、，星期一6.4 投影定理(中心切片定理)考虑通过角度 穿过物体的投影表达式为：的一维傅立哀变换由下式给出：第56页，共92页，编辑于2022年，星期一 如果用 表示与 相对应的二维傅立哀空间域变量，则有 该式的右边是物体的二维付里哀变换沿 等于零所取的值。第57页，共92页，编辑于2022年，星期一 因此，投影的一维付里哀变换等于物体二维付里哀变换的一个特定截面。这个特定截面就是 轴。这就是中心切片定理。为了进一步说明上述定理，考虑一个有界物体，通过对它的所有二维空间频率分量的线性叠加，总能合成这一物体。第58页，共92页，编辑于2022年，星期一 现在，考虑一个余弦分量（见下图）仅当投影方向

24、平行于波脊时，投影才不等零。在这个特定方向下，整个余弦分量被投影到 轴上，分量的傅立哀变换示于图(b)。第59页，共92页，编辑于2022年，星期一第60页，共92页，编辑于2022年，星期一 (a)一般物体的分布（x,y)可以分解为正弦分量和余弦分量，图中画出了余弦分量的一个。该分量的投影仅在一个方向下不等于零，在这一特定的角度下，这一分量全部映射在投影上。（b）这一分量的付里哀变换是位于 轴上的一对 函数。第61页，共92页，编辑于2022年，星期一 原物体是由许多具有不同相位、不同频率和不同方向的波分量叠加而成的，由此可以得出：只有那些平行于第一个波的分量，其变换才位于 轴上，同时，只有

25、这些波才会改变 的形式。因此，该投影的变换就与整个二维变换的相应截面（或片层）完全相同。第62页，共92页，编辑于2022年，星期一 从中心切片定理，我们可以得到两个重要结论：1)、在这些投影中的确包含了足够的信息来重建一般物体；第63页，共92页，编辑于2022年，星期一 2)、为了重建这一物体，需要无穷多个或连续的投影数据；因为只有这样才能完全确定傅立哀空间的物体分布，从而通过反变换确定实际物体。实际上用有限个投影角，每个投影以有限个样本就可以得到满意的重建。第64页，共92页，编辑于2022年，星期一6.5 反投影与累加图像 反投影是指投影之逆，形象的解释是取 的一维函数(投影数据)，把

26、它沿 方向向整个空间均匀地抹一次，由此产生一个二维分布 。用数学表示，一维投影 的反投影由下式给出：第65页，共92页，编辑于2022年，星期一 极坐标下：把许多反投影加以组合就会产生一个新的二维图像，称为累加图像。如果我们取相应于不同角度 的一组物体投影的一系列离散的反投影，则累加图像就是各个反投影的算数和。离散情况下：第66页，共92页，编辑于2022年，星期一第67页，共92页，编辑于2022年，星期一 在连续情况下：第68页，共92页，编辑于2022年，星期一 对的积分区间在0之间就可获得全部信息。b（r，）就是反投影图像，也有称其为“层图”（Layergram）。反投影的运算概念可由

27、下图说明：第69页，共92页，编辑于2022年，星期一第70页，共92页，编辑于2022年，星期一 把一个一维的投影数据均匀地回抹到二维空间。该图表示的是四个投影 及其累加图，后者是四个相应的反投影相加形成的，原物体是具有不同尺寸的两个圆盘。第71页，共92页，编辑于2022年，星期一 傅立哀变换重建傅立哀变换重建傅立哀变换重建是较简单的重建方法，它是傅立哀变换重建是较简单的重建方法，它是1974年由年由shepp和和logan开发的算法。开发的算法。其基本原理如下：其基本原理如下：令令f（x，y）是一幅图像，其二维傅立哀变换如下式所）是一幅图像，其二维傅立哀变换如下式所示，示，第72页，共9

28、2页，编辑于2022年，星期一而f(x,y)在x轴上的投影可表示为下式：这一投影的一维傅立哀变换为：这一表达式恰好与f(x,y)的二维傅立哀变换第73页，共92页，编辑于2022年，星期一 的表达式一致，即：的表达式一致，即：现在假设将函数投影到一条经过旋转了现在假设将函数投影到一条经过旋转了 角的角的直线上。直线上。如果投影选作如果投影选作 轴，投影点通过距轴，投影点通过距 轴距离为轴距离为 处的平行线对函数积分有：处的平行线对函数积分有：第74页，共92页，编辑于2022年，星期一它的一维傅立哀变换为：也可写成下式：作一个代换：(为使展开式与2D傅立哀变换一致）第75页，共92页，编辑于2

29、022年，星期一 如果（u，v）点处在 角一定，而距原点的距离r可变的这样一条直线上，则 如果投影变换对所有的 都是已知的，图像的二维变换也是可以确定的，为了得到原图像，只需作一个反傅立哀变换就可以了 这就是用傅立哀变换的基本重建技术。第76页，共92页，编辑于2022年，星期一Radon反变换反变换由中心切片定理由中心切片定理第77页，共92页，编辑于2022年，星期一写成极坐标形式：第78页，共92页，编辑于2022年，星期一第79页，共92页，编辑于2022年，星期一这里写成两部分是必要的，因为傅立叶空间这里写成两部分是必要的，因为傅立叶空间的极坐标定义区间为：的极坐标定义区间为：而数据

30、采集坐标而数据采集坐标和和 的定义在的定义在：第80页，共92页，编辑于2022年，星期一用极坐标表示傅立叶反变换为：用极坐标表示傅立叶反变换为：为了把物体函数用它的投影为了把物体函数用它的投影 清楚的表示出清楚的表示出来，我们把上式分成两部分：来，我们把上式分成两部分：第81页，共92页，编辑于2022年，星期一第82页，共92页，编辑于2022年，星期一第83页，共92页，编辑于2022年，星期一利用投影定理利用投影定理此式此式利用了利用了 第84页，共92页，编辑于2022年，星期一则：则：合并二式：合并二式：第85页，共92页，编辑于2022年，星期一 这一式子可理解为这一式子可理解为

31、 的的一维付里哀反变换。该式也可以写成下列形式：一维付里哀反变换。该式也可以写成下列形式：第86页，共92页，编辑于2022年，星期一式中：式中：应用卷积定理：应用卷积定理：式中式中 代表柯西主值。代表柯西主值。第87页，共92页，编辑于2022年，星期一导出这一结果，利用了下边的关系式：导出这一结果，利用了下边的关系式：这个结果中利用了付里哀变换的对偶性质这个结果中利用了付里哀变换的对偶性质第88页，共92页，编辑于2022年，星期一由卷积的定义由卷积的定义,容易证明容易证明:因此因此,上式为：上式为：这就是这就是Radon反变换的一种形式。反变换的一种形式。第89页，共92页，编辑于2022年，星期一 物物体体空空间间、付付里里哀哀空空间间和和Radon空空间间的的关关系系如如下下图图所所示：示：第90页，共92页，编辑于2022年，星期一更详细的内容可参考：更详细的内容可参考：Harrison H.Barrett William Swindell“Radiological Imaging”“The Theory of Image Formation Detection and Processing“第91页，共92页，编辑于2022年，星期一 第92页，共92页，编辑于2022年，星期一