《小学奥数六年级教案学案》第10讲-一般工程问题（教）.doc

《《小学奥数六年级教案学案》第10讲-一般工程问题（教）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《小学奥数六年级教案学案》第10讲-一般工程问题（教）.doc（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第10讲-工程问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 了解工作量、工作时间及工作效率的意思； 能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率； 理解三者之间的关系，并用三者关系解题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作

2、效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示成。工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量天”或“工作量时”等表示。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作

3、时间的倒数表示。典例分析 考点一：用“组合法”解工程问题 在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径例1、一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队

4、2天的工作量×3，从而求出甲队的工作效率。所以： 1÷（×3）÷（53）20（天 答：乙队单独完成全部工程需要20天。例2、一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？【解析】此题很容易先求乙队的工作效率是：（×3）÷2；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。 （1）乙队每天完成这项工程的 （×3）÷2 （2）

5、两段时间一共是 1÷（×2+）×26（天） 答：两段时间一共是6天。例3、一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？【解析】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。 甲每小时完成这项工程的几分之几 （×2）÷（62） 丙每小时完成这项工程的几分之

6、几 （×3）÷（63） 甲、丙合做需完成的时间为： 1÷（+）7（小时） 答：甲、丙合做完成需要7小时。考点二：特殊工程问题 有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。例1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？【解析】把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则 1÷+÷6=4（天） 或1÷（+）×6=4（天） 答：4天

7、可以完成。例2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？【解析】设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2” 三人同时搬运了 2÷（+）=8（小时） 丙帮甲搬了 （1-×8）÷=3（小时） 丙帮乙搬了 8-3=5（小时） 答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。例3、甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单

8、独加工这批零件，需要多少天才能完成？【解析】解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。 甲、乙同时做的工作量为×（10-3） 乙单独做的工作量为1 乙的工作效率为÷3= 甲的工作效率为 甲单独做需要的天数为1÷12（天）解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4 3÷（10-8）÷8=12（天）或 3×8÷（10-8）=12（天） 答：甲单独做需要12天完成。考点三：周期工程问题周期工程问题中，

9、工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。例1、一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？【解析】把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 需循环的次数为：1÷（+）=7（次） 7个循环后剩下的工作量是：1-（+）×7= 余下的工作两还需甲做的时间为：÷=（小时） 完成任务共用的时间为：

10、2×7+=14（小时） 答：完成任务时需共用14小时。例2、一项工程，甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙甲竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2

11、倍。 甲每天能做这项工程的1÷26×= 甲单独做完成的时间1÷=40（天） 答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。例3、打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？【解析】根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。 每循环一次，他们共完成全部工程的（+）×3 总工作量里包含几个9/20：1÷=2 甲、乙工作两个循环后，剩下全

12、工程的1-×2 由于，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（-）÷ 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+=13（小时） 答：打印这部稿件共需13小时。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 Ø 课堂狙击1、移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？【解析】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。 哥哥每

13、小时栽总数的几分之几 （1×1）÷（31） 一共要移栽的西红柿苗多少棵 7÷（）112（棵） 答：共要移栽西红柿苗112棵。2、一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？【解析】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。 丙队每天修这条公路的 1（+）×（4+7） 三队合修完成时间为 1÷（+）

14、10（天） 答：10天可以完成。3、一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？【解析】解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。 设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。 x+×（14-x）=1 X=5解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是×14，比总工作量多了×14-1=，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了-=，因此甲做了 ÷=5（天） 答：这件工作由甲先做了5天。 4、放满一个水池的水，如果同时开放号阀门，15

15、小时放满；如果同时开放号阀门，12小时可以放满；如果同时开放号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？【解析】从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，号阀门各出现3次，号阀门各出现2次。如果+再加一个，则是五个阀门各放3小时的总水量。 1÷（+）÷3=1÷÷3=6（小时） 答：同时开放这五个阀门5小时可以放满这个水池。5、一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。

16、甲、乙每天各做多少个？【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙剩60个竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个） 乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个） 答：甲每天做150个，乙每天做90个。6、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙

17、次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？【解析】由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙， 甲乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙丙丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙甲从中可以退出：丙=甲；由于乙=甲丙=甲甲×，又推出乙=甲；与题中“三个工程队

18、的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙， 甲乙乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙丙甲丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙甲乙由此推出：丙=甲，丙=乙 丙队每天做这项工程的×= 乙队每天做这项工程的÷= 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（+）=5（天） 答：甲、乙、丙合作要5天完工。7、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。且3个工程

19、队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的，丙的效率也是乙的。（1） 丙的工作效率×（2） 乙的工作效率÷（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（+）2天 答：这项工程由甲、乙、丙合作要2天完工。Ø 课堂反击1、一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？【解析】乙队的工作效率： （×5）÷4 总共的

20、天数： 1÷（+×2）×212天 答：这两段时间一共是12天。2、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？【解析】甲队的工作效率 （×2）÷（42） 丙队的工作效率 （×2）÷（42） 甲、丙合做需要的时间 1÷（+）6小时 答：这项工作如果由甲、丙合做需6小时完成。3、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始

21、终由甲、乙合做几小时可以完成？【解析】乙每小时做这件工程的 （1×4）÷（6+4） 甲、乙合做完成需要的时间 1÷（+）6小时 答：这件工作始终由甲、乙合做6小时可以完成。4、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？【解析】把6分钟看作一个循环（1） 每循环一次的工作量（+）×（1+2）（2） 总工作量里面有几个 1÷3（3） 3个循环后剩下的工作量 1×3

22、（4） 一共需要的时间 6×3+1+（）÷20分钟 答：灌满一池水共需20分钟。5、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的，丙的效率也是乙的。（1） 丙的工作效率×（2） 乙的工作效率÷（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（+）2天

23、 答：这项工程由甲、乙、丙合作要2天完工。6、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的，乙的效率是甲的。（1） 丙的效率×（2） 乙的效率×（1×）（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（+）4天 答：这项工程由甲、乙、丙合作要4天完工。S(Summary-Embedded)归纳总结名师点拨 解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 学霸经验 Ø 本节课我学到了Ø 我需要努力的地方是