随机变量及其概率分布 (2).ppt

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1、随机变量及其概率分布现在学习的是第1页，共68页 从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的特殊的函数；为了能用变量，函数及微积分等工具来特殊的函数；为了能用变量，函数及微积分等工具来得出事件发生的概率、研究随机现象，引进了概率论得出事件发生的概率、研究随机现象，引进了概率论中的另一重要概念中的另一重要概念随机变量。随机变量。2.1 随机变量随机变量现在学习的是第2页，共68页例例1、抛一枚硬币、抛一枚硬币1次，观察正次，观察正(H)、反、反(T)面朝上的面朝上的情况。情况。例例2、从含有、从含有2个黑球，个黑球，3个白球的盒子中任取个白球的盒子中任取

2、3个球，个球，观察取出球的情况。观察取出球的情况。现在学习的是第3页，共68页若令若令X表示取出的表示取出的3个球中黑球的个数个球中黑球的个数例例3、观察某网站在一段时间内被点击次数。、观察某网站在一段时间内被点击次数。例例4、观察某厂生产灯泡的使用寿命、观察某厂生产灯泡的使用寿命t.现在学习的是第4页，共68页定义：定义：设设E是一个随机试验，是一个随机试验，是其样是其样本空间，如果对每一个本空间，如果对每一个 ，有唯一的实，有唯一的实数数X()与之对应，则称与之对应，则称X是是E的一个随机变量。的一个随机变量。（1）由定义可知，随机试验）由定义可知，随机试验E的随机的随机 变量不是唯一的。

3、例变量不是唯一的。例2中，我们也可以定义随中，我们也可以定义随机变量机变量Y：“3个球中白球的个数个球中白球的个数”，则，则Y也是也是随机试验随机试验E的一个随机变量。的一个随机变量。说明说明现在学习的是第5页，共68页（2）引进随机变量后，随机事件可以用随机变）引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在实数轴上某一个集合中取的值来表示。量在实数轴上某一个集合中取的值来表示。所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。量取值的概率。现在学习的是第6页，共68页 2.2 2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 对于随机试验而言，仅仅知道它

4、可能的出现的对于随机试验而言，仅仅知道它可能的出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能性有多大。性有多大。相对于随机变量相对于随机变量X来说，就是来说，就是X取什么值取什么值不重要，重要的是不重要，重要的是X取这些值的概率有多大。取这些值的概率有多大。现在学习的是第7页，共68页注注注注意意意意（1）分布函数的定义域为一切实数；）分布函数的定义域为一切实数；（2）分布函数在）分布函数在x处的取值所表示的处的取值所表示的是随机变量是随机变量X在在 上的概率。上的概率。定义：定义：设设X是一个随机变量，是一个随机变量，是一个实是一个实数，函数数

5、，函数 就称为随机变量就称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。的概率分布函数，简称分布函数。现在学习的是第8页，共68页分布函数的性质：分布函数的性质：（1）单调不减，即若）单调不减，即若 ，则有，则有（2）且且（3）右连续，即）右连续，即特别需要说明的是特别需要说明的是：随机变量的分布函数：随机变量的分布函数 具有上述具有上述3条性质；反之也成立。条性质；反之也成立。现在学习的是第9页，共68页例例1、判断以下函数是否为分布函数：、判断以下函数是否为分布函数：现在学习的是第10页，共68页 关于分布函数还有一些关于分布函数还有一些常用公式常用公式：（1）（2）（3）（4）（8）（5）（

6、6）（7）现在学习的是第11页，共68页2.3 离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量：随机变量的可取值范围，有随机变量的可取值范围，有的可以排列出来，有的不能排列出来。把可取的可以排列出来，有的不能排列出来。把可取值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量。为离散型随机变量。现在学习的是第12页，共68页定义：定义：如果离散型随机变量如果离散型随机变量X的一切可能取值为的一切可能取值为 ，则称，则称P(X=xk)pk为随机变量为随机变量X的概率分布列，的概率分布列，简称分布列或分布律。简称分布列或分布律。分布律又常常表示

7、为表格的形式：分布律又常常表示为表格的形式：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 一、离散型随机变量的分布列一、离散型随机变量的分布列现在学习的是第13页，共68页例例1、一射手对某一目标进行射击，一次击中、一射手对某一目标进行射击，一次击中的概率为的概率为0.8（1）求一次射击的分布列；求一次射击的分布列；（2）求到击中目标为止所需的射击次数的求到击中目标为止所需的射击次数的分布列。分布列。解（解（1）设设X=0击不中目标击不中目标，X=1击中目标击中目标，则：，则：现在学习的是第14页，共68页 p1P(X=0)0.2，p2P(X=1)0.8 所以分布列为：所以分布列为：X 0 1

8、pk 0.2 0.8（2）设射击到击中目标为止，射击的次数是设射击到击中目标为止，射击的次数是随机变量随机变量Y，则，则Y1,2,3,k,。现在学习的是第15页，共68页所以所以Y的分布律为：的分布律为：pkP(Y=k)0.2 k-10.8，k=1,2,或者或者Y的分布律用表格表示为的分布律用表格表示为 Y 1 2 k pk 0.8 0.20.8 0.2 k-10.8 现在学习的是第16页，共68页例例2、把、把3个球任意的放到个球任意的放到4个盒子中，令个盒子中，令X表示表示落到第落到第 1个盒中球的个数，求个盒中球的个数，求X的分布列。的分布列。解：解：现在学习的是第17页，共68页分布律

9、的分布律的性质性质：反之，若数列反之，若数列 满足这两条性质，则一满足这两条性质，则一定是某一离散型随机变量的分布律。定是某一离散型随机变量的分布律。（1）（2）现在学习的是第18页，共68页例例3、设离散型随机变量、设离散型随机变量X的分布列为的分布列为 求正数求正数 a 的值。的值。解：根据性质解：根据性质所以，所以，现在学习的是第19页，共68页例例4、设离散型随机变量、设离散型随机变量X的分布列的分布列其中，其中，为已知，求常数为已知，求常数C。解：解：现在学习的是第20页，共68页对随机变量而言，除了要研究其分布列以外，对随机变量而言，除了要研究其分布列以外，还要研究其分布函数还要研

10、究其分布函数 。根据上一节的内。根据上一节的内容可得离散型随机变量容可得离散型随机变量X的的分布函数为分布函数为 从几何上来看，这个函数的图像应是阶梯型从几何上来看，这个函数的图像应是阶梯型现在学习的是第21页，共68页例例5、求例求例2中的随机变量中的随机变量X的分布函数。的分布函数。解：解：X的分布列为的分布列为 X 0 1 2 3则分布函数为：则分布函数为：现在学习的是第22页，共68页 二、常见的离散型随机变量二、常见的离散型随机变量（1）（）（0-1）分布）分布：设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0和和1两个数值，它的分布律为两个数值，它的分布律为 其中其中 ，则称，则称 X 服

11、从（服从（0-1）分布。）分布。现在学习的是第23页，共68页（2）二项分布）二项分布：若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为 其中其中 ，则称，则称X服从参数为服从参数为n，p的二项分的二项分布，记为布，记为 ，当，当 时，就是（时，就是（0-1）分布。分布。现在学习的是第24页，共68页定定义义：把把试试验验E在在相相同同的的条条件件下下重重复复进进行行n次次，各各次次试试验验的的结结果果有有限限且且互互不不影影响响，则则称称这这n次次试试验验为为n次独立试验次独立试验。如如果果每每次次试试验验只只有有两两个个结结果果，则则n次次独独立立试试验验又称为又称为n重伯努利重伯努利(Bern

12、oulli)试验试验。现在学习的是第25页，共68页定理：定理：设设X是是n重伯努利实验中成功（重伯努利实验中成功（A发生）的发生）的次数，则次数，则XB(n,p)，其中，其中p=P(A)例例6、在正常情况下，家禽感染某种疾病的概率为、在正常情况下，家禽感染某种疾病的概率为0.2，现发明了一种新药，把它注射到，现发明了一种新药，把它注射到25只健康的只健康的家禽身上，结果有家禽身上，结果有1只家禽感染了这种疾病，试评只家禽感染了这种疾病，试评价这种药物的疗效。价这种药物的疗效。现在学习的是第26页，共68页定理：定理：XB(n,p)，则则此时此时X的取值即为事件的取值即为事件A最可能成功的次数

13、，当最可能成功的次数，当k为最可能成功的次数时，称为最可能成功的次数时，称P(X=k)为为二项分布的二项分布的中心项中心项。现在学习的是第27页，共68页例例7、为了保证设备正常工作，需配备适量的、为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人。现有同类设备维修工人。现有同类设备300台，各台工作是台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率为相互独立的，发生故障的概率为0.001，在通常，在通常情况下，一台设备的故障由一个工人来处理。情况下，一台设备的故障由一个工人来处理。问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故障后但不能及时维修的概率小于障后但不能及时维修的

14、概率小于0.01？现在学习的是第28页，共68页解：设需要配备解：设需要配备N名工人。记同一时刻发生故名工人。记同一时刻发生故障的设备数为障的设备数为X，则，则 。问题。问题的实质是求最小的的实质是求最小的N，使，使 此此时时我我们们用用二二项项分分布布公公式式来来计计算算，很很难难得得出出结结果，因此必须找另外的方法。果，因此必须找另外的方法。现在学习的是第29页，共68页查表得查表得:N+1=3,即即N=2。因此，为满足要求，至少需配备因此，为满足要求，至少需配备2名工人。名工人。定理：定理：现在学习的是第30页，共68页（3）泊松（）泊松（Poisson）分布：）分布：设随机变量设随机变

15、量X可能可能取的一切值为取的一切值为0，1，2，而取各个值的概率，而取各个值的概率为为 ，其中，其中是常数，则称是常数，则称X服从参数为服从参数为的泊松（的泊松（Poisson）分布，记为分布，记为 XP（）。）。现在学习的是第31页，共68页定理：定理：，则则 当当 是整数时，是整数时，当当 不是整数时，不是整数时，现在学习的是第32页，共68页（4）超几何分布：）超几何分布：若若X的分布律为的分布律为则称随机变量则称随机变量X服从超几何分布，记为服从超几何分布，记为现在学习的是第33页，共68页（5）几何分布：）几何分布：若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为则称则称X服从几何分布，记

16、为服从几何分布，记为 。（6）负二项分布：）负二项分布：若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为其中其中0p1已知，则称随机变量已知，则称随机变量X X服从负二项服从负二项分布，记为分布，记为 。现在学习的是第34页，共68页一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念 如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量称为连续型随机变量。称为连续型随机变量。2-4 连续型随机变量连续型随机变量现在学习的是第35页，共68页定义：定义：设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为

17、。若。若存在非负可积函数存在非负可积函数 ，使得对于任一实数，使得对于任一实数 x 有有 则称则称 X 是连续型随机变量，其中函数是连续型随机变量，其中函数 称称为为 X的概率密度函数，简称为概率密度。的概率密度函数，简称为概率密度。现在学习的是第36页，共68页概率密度的性质：概率密度的性质：（1）（2）反之，任何一个函数反之，任何一个函数 满足了（满足了（1），），（2），则由），则由定义的定义的 也一定是某个连也一定是某个连续型随机变量的分布函数。续型随机变量的分布函数。现在学习的是第37页，共68页例例1：设连续型随机变量：设连续型随机变量X的概率密度函数的概率密度函数为为：，x +，

18、求求常常数数C。现在学习的是第38页，共68页例例2、设连续型随机变量、设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 求常数求常数A及其概率密及其概率密度函数度函数 。（3）若若 在在x处连续，则处连续，则现在学习的是第39页，共68页注意：注意：一般的，同一个连续型随机变量一般的，同一个连续型随机变量X的概的概率密度函数可以有许多，但它们除了在有限率密度函数可以有许多，但它们除了在有限个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。也即连续型随机变量也即连续型随机变量X的概率密度函数是的概率密度函数是“几乎几乎处处处处”唯一的。唯一的。现在学习的是第40页，共6

19、8页 所以对连续型随机变量所以对连续型随机变量X而言，概率为而言，概率为0的事件的事件未必是不可能事件；概率为未必是不可能事件；概率为1的事件也未必是必然事的事件也未必是必然事件。件。（4）连连续续型型随随机机变变量量X在在一一个个点点上上取取值值的的概概率恒为率恒为0。现在学习的是第41页，共68页二、几个重要的连续型随机变量二、几个重要的连续型随机变量 1、均匀分布、均匀分布 记为记为 。设有连续型随机变量设有连续型随机变量X，其概率密度为，其概率密度为 则称则称X在区间在区间上服从均匀分布，上服从均匀分布，现在学习的是第42页，共68页分布函数：分布函数：例例3 3、设随机变量、设随机变

20、量X在区间在区间0,10,1上服从均匀分布，上服从均匀分布，现对其进行现对其进行4 4次独立观察，求至少有一次观察值次独立观察，求至少有一次观察值大于大于2/32/3的概率。的概率。现在学习的是第43页，共68页2 2、指数分布、指数分布若随机变量若随机变量X具有密度：具有密度：其中，其中，是常数，则称是常数，则称 X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布。记为：。记为：X 。（指数分（指数分布又常被称为布又常被称为寿命分布寿命分布）分布函数：分布函数：现在学习的是第44页，共68页指数分布指数分布有一个特性：无记忆性。有一个特性：无记忆性。我们看下面的例子：我们看下面的例子：例例6、某

21、种电器元件的使用寿命、某种电器元件的使用寿命X服从参数为服从参数为 1/2000的指数分布（单位：小时）的指数分布（单位：小时）（1）任取一个元件，求能正常使用）任取一个元件，求能正常使用1000小时小时以上的概率。以上的概率。（2）求其正常使用）求其正常使用1000小时后还能使用小时后还能使用1000小时的概率。小时的概率。现在学习的是第45页，共68页由本题可见，指数分布的无记忆性；其实，由本题可见，指数分布的无记忆性；其实，不仅是指数分布有这样的性质，几何分布也不仅是指数分布有这样的性质，几何分布也同样具有这样的性质。同样具有这样的性质。一般的，有一般的，有现在学习的是第46页，共68页

22、3.3.正态分布正态分布 定义：定义：连续型随机变量连续型随机变量X的密度函数为：的密度函数为：其中其中、都是常数都是常数(0)，则称则称X服从参数为服从参数为、的的正态分布正态分布，记，记为：为：XN(,2)。现在学习的是第47页，共68页正态曲线具有以下正态曲线具有以下性质性质：（1）曲线位于曲线位于x轴的上方，以直线轴的上方，以直线x=为对为对称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以x轴为渐近线；轴为渐近线；（2）当）当x=时曲线处于最高点，当时曲线处于最高点，当x向左右向左右远离远离时，曲线逐渐降低，整条曲线呈现时，曲线逐渐降低，整条曲线呈现“中中间

23、高、两边低间高、两边低”的形状；的形状；现在学习的是第48页，共68页（3）参数）参数决定了正态曲线的形状，决定了正态曲线的形状，愈愈大，曲线愈大，曲线愈“矮胖矮胖”(即分布愈分散即分布愈分散)，愈小，愈小，曲线愈曲线愈“高瘦高瘦”(即分布愈集中于即分布愈集中于的附近的附近)。参数参数确定曲线的位置，反映了分布确定曲线的位置，反映了分布 的集中点，由于曲线关于直线的集中点，由于曲线关于直线 x=对称，所以称对称，所以称为正态分布的分布中心。为正态分布的分布中心。反映了分布的分散程度。反映了分布的分散程度。注注现在学习的是第49页，共68页特特殊殊的的：当当0、1时时的的分分布布称称为为标标准准

24、正正态态分分布布，记为，记为N(0,1)，则其密度函数为：，则其密度函数为：分布函数为：分布函数为：现在学习的是第50页，共68页正态分布与标准正态分布的联系：正态分布与标准正态分布的联系：重要公式：重要公式：定理：定理：设设 X ，则，则服从服从 。现在学习的是第51页，共68页例例7、测量某一目标的距离时，测量误差、测量某一目标的距离时，测量误差X(cm)N(50,1002)，求：，求：（1）测量误差的绝对值不超过）测量误差的绝对值不超过150厘米的概厘米的概率。率。（2）在三次测量中至少有一次误差的绝对）在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过值不超过150厘米的概率。厘米的概率。现在学

25、习的是第52页，共68页 分位点：分位点：给定常数给定常数 ，若存，若存在数在数 满足满足 ，则称，则称 为为随机变量随机变量X的上的上 分位点；当分位点；当 时，时，称称 为随机变量为随机变量X的中位数。的中位数。yxo现在学习的是第53页，共68页一般的一般的,标准正态分布的标准正态分布的 上上 侧侧 分位点可分位点可查表得到查表得到例例:在其它一些书上在其它一些书上,也有将上也有将上 分位点称为临分位点称为临界点。界点。现在学习的是第54页，共68页2-5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题的一般提法：已知随机变量问题的一般提法：已知随机变量 X 的分布，的分布，是一连续函数，求是

26、一连续函数，求 的分布。的分布。1、X 是离散型随机变量：是离散型随机变量：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 现在学习的是第55页，共68页则则 的分布列为：的分布列为：P q1 q2 qk 现在学习的是第56页，共68页例例1：设随机变量：设随机变量 X 的分布列为：的分布列为：X 2 1 0 1 3 （1）确定常数）确定常数 a 的值；的值；（2）求）求 的分布列。的分布列。现在学习的是第57页，共68页解：根据分布列的性质得：解：根据分布列的性质得：（2）现在学习的是第58页，共68页所以，所以，的分布列为：的分布列为：例例2、设随机变量、设随机变量 XP()，求，求Y=X2的

27、分布律。的分布律。现在学习的是第59页，共68页2、X 是连续型随机变量：是连续型随机变量：设设 X 的密度函数为的密度函数为 ，则随机变量，则随机变量 的分布函数为的分布函数为再对再对 y 求导即可得求导即可得 Y 的密度函数。的密度函数。例例3、设随机变量、设随机变量 XU(0,1)，求，求 的分布。的分布。现在学习的是第60页，共68页X 的密度为的密度为解：解：X 是连续型的，而是连续型的，而 Y 是离散型的。显然是离散型的。显然 Y 的可取值为的可取值为1，2，N+1。现在学习的是第61页，共68页所以，所以，Y 的分布列为的分布列为现在学习的是第62页，共68页现在学习的是第63页，共68页所以，所以，XN(0,1)时，求时，求Y=X2的分布。的分布。现在学习的是第64页，共68页例例7、设随机变量、设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为求求 的概率密度。的概率密度。解：由解：由 知知现在学习的是第65页，共68页现在学习的是第66页，共68页所以，随机变量所以，随机变量 Y 的密度为：的密度为：现在学习的是第67页，共68页例8现在学习的是第68页，共68页