函数的极值及其求法精选PPT.ppt

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1、关于函数的极值及其求法关于函数的极值及其求法第1页，讲稿共32张，创作于星期日定义定义使得使得有有则称则称 为为 的一个的一个极大值点极大值点(或或极小值点极小值点)极大值点与极小值点统称为极大值点与极小值点统称为极值点极值点.极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值.1)函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.2)对常见函数对常见函数,极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或或 不存在的点不存在的点(称为称为可疑可疑极值点极值点).称称 为为 的一个的一个极大值极大值(或或极小值极小值)注意注意第2页，讲稿共32张，创作于星期日函数极值的求法函数极值的求法定理定

2、理1(1(函数取得极值的函数取得极值的必要条件必要条件)()(费马定理费马定理)定义定义注意注意:例如例如,设设在点在点处具有导数处具有导数,且在且在处取得极值处取得极值,则则第3页，讲稿共32张，创作于星期日定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)设设在点在点 处连续处连续,(1)若若 时时,而而时时,则则在点在点处取得处取得极大值极大值;(2)若若 时时,而而时时,则则在点在点处取得处取得极小值极小值;(3)若若时时,的符号相同的符号相同,则则在点在点处处无极值无极值.第4页，讲稿共32张，创作于星期日求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)

3、第5页，讲稿共32张，创作于星期日例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值第6页，讲稿共32张，创作于星期日图形如下图形如下第7页，讲稿共32张，创作于星期日例例2 2解解第8页，讲稿共32张，创作于星期日的极值的极值.解解得驻点得驻点不可导点不可导点是极大值点，是极大值点，其极大值为其极大值为是极小值点，是极小值点，其极小值为其极小值为例例3 求函数求函数不存在不存在第9页，讲稿共32张，创作于星期日定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证同理可证同理可证(2).二阶导数二阶导数,且且则则 在点在点 取极大值取极大值;则则 在点在点 取极小值取极小值.设函数设函数 f(x

4、)在点在点 x0 处处 具有具有第10页，讲稿共32张，创作于星期日例例4 4解解图形如下图形如下第11页，讲稿共32张，创作于星期日注意注意:第12页，讲稿共32张，创作于星期日的极值的极值.解解:令令得驻点得驻点因因故故 为极小值为极小值;又又故需用极值的第一充分条件来判别故需用极值的第一充分条件来判别.例例5.求函数求函数第13页，讲稿共32张，创作于星期日则则1)当当 为偶数为偶数时时,2)当当 为奇数为奇数时时,为极值点为极值点,且且不是极值点不是极值点,证证定理定理4设设 f(x)在点在点 x0 处处 具有具有n 阶导数，且阶导数，且则则 在点在点 取极大值取极大值;则则 在点在点

5、 取极小值取极小值.点点 为拐点为拐点。第14页，讲稿共32张，创作于星期日故故1)当当 为偶数为偶数时时,由极限的保号性由极限的保号性,知知又又得得故故 在点在点 取极大值取极大值。则则 在点在点 取极小值取极小值.同理可证，同理可证，2)当当 为奇数为奇数时时,可证可证 在在 点邻近两点邻近两 侧异号侧异号,故故 在点在点 不取极值不取极值。第15页，讲稿共32张，创作于星期日故故 当当 为奇数为奇数时时,可证可证 在在 点邻近两侧异号点邻近两侧异号,故点故点 为拐点为拐点。第16页，讲稿共32张，创作于星期日设设 其中其中a 为常数为常数.证明证明:时时,f(0)为为 f(x)的极小值的

6、极小值;时时,f(0)为为 f(x)的极大值的极大值.证证 时时,f(0)为为 f(x)的极小值的极小值;时时,f(0)为为 f(x)的极大值的极大值;时时,例例6第17页，讲稿共32张，创作于星期日f(0)为为 f(x)的极大值的极大值.第18页，讲稿共32张，创作于星期日函数图形的描绘函数图形的描绘步骤步骤:1.确定函数确定函数的定义域的定义域,期性期性;2.求求并求出并求出及及3.列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点求出极值和拐点;4.求渐近线求渐近线;5.确定某些特殊点确定某些特殊点,描绘函数图形描绘函数图形.为为 0 和不存在和不存在的点的点;并考察其对称性及

7、周并考察其对称性及周第19页，讲稿共32张，创作于星期日例例7 7解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.定义域（定义域（-，+）0,第20页，讲稿共32张，创作于星期日列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点第21页，讲稿共32张，创作于星期日作图作图第22页，讲稿共32张，创作于星期日小结小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点是可疑极值点驻点和不可导点是可疑极值点.判别法判别法第

8、一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)第23页，讲稿共32张，创作于星期日思考与练习思考与练习1.设设则在点则在点 a 处处().的导数存在的导数存在,取得极大值取得极大值;取得极小值取得极小值;的导数不存在的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性利用极限的保号性.第24页，讲稿共32张，创作于星期日在在的某邻域内连续的某邻域内连续,且且则在点则在点处处(A)不可导不可导;(B)可导可导,且且(C)取得极大值取得极大值;(D)取得极小值取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性利用极限的保号性.2.设设第25页，讲稿共32张，创作于星期日是方程是方程的一

9、个解的一个解,若若且且则则在在(A)取得极大值取得极大值;(B)取得极小值取得极小值;(C)在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少.提示提示:A3.设设第26页，讲稿共32张，创作于星期日4.设设 f(x)连续，且连续，且 f(a)是是 f(x)的极值，的极值，问问 f 2(a)是否是是否是 f 2(x)的极值的极值.证证则则得得 f 2(a)是是 f 2(x)的极小值的极小值;不妨设不妨设 f(a)是是 f(x)的极小值的极小值,有有第27页，讲稿共32张，创作于星期日由由 f(x)在在 x=a 处连续，得处连续，得f 2(a)是是 f 2(x)的极大值的极大值.同理可讨论同理可讨论f(a)是是f(x)的极大值的情况的极大值的情况.由极限的保号性由极限的保号性,知知由由得得第28页，讲稿共32张，创作于星期日试问试问 为何值时为何值时,在在时取得极值时取得极值,还是极小还是极小.解解:由题意应有由题意应有又取得极大值为取得极大值为备用题备用题 求出该极值求出该极值,并指出它是极大并指出它是极大第29页，讲稿共32张，创作于星期日练练 习习 题题第30页，讲稿共32张，创作于星期日第31页，讲稿共32张，创作于星期日感谢大家观看10/12/2022第32页，讲稿共32张，创作于星期日