静电场的边值问题 (2).ppt

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1、静电场的边值问题现在学习的是第1页，共65页现在学习的是第2页，共65页1.1.电位微分方程电位微分方程已知电位已知电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于对于线性各向同性线性各向同性的的均匀均匀介质，电场强度介质，电场强度E 的散度为的散度为 那么，电位满足的微分方程式为那么，电位满足的微分方程式为 泊松方程泊松方程 现在学习的是第3页，共65页拉普拉斯方程拉普拉斯方程对于对于无源区无源区，上式变为，上式变为 已已知知分分布布在在V 中中的的电电荷荷 在在无无限限大大的的自自由空间产生的电位为由空间产生的电位为上式为上式为泊松方程泊松方

2、程在在自由空间自由空间的的特解特解。利用利用格林函数格林函数可以求出可以求出泊松方程在泊松方程在有限空间有限空间的的通解通解。现在学习的是第4页，共65页 静电场与静电场与时间时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解拉斯方程的解仅仅决定于决定于边界条件边界条件。定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件数学物理方程描述物理量随数学物理方程描述物理量随时间时间和和空间空间的变化特性。的变化特性。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的场的边值问题边值问题。此处边界条件实际上是指给定的此处

3、边界条件实际上是指给定的边值边值，它不同于前，它不同于前一章描述静电场的边界上场量一章描述静电场的边界上场量变化变化的边界条件。的边界条件。现在学习的是第5页，共65页边界条件有边界条件有三种三种类型：类型：第第二二类边界条件是给定边界上物理量的类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值法向导数值，这种边值问题又称为这种边值问题又称为诺依曼诺依曼问题。问题。第第三三类边界条件是给定一部分边界上的类边界条件是给定一部分边界上的物理量物理量及另一及另一部分边界上物理量的部分边界上物理量的法向导数值法向导数值，这种边界条件又称为，这种边界条件又称为混合混合边界条件。边界条件。第第一一类边界条件给定的是

4、边界上的类边界条件给定的是边界上的物理量物理量，这种边值问，这种边值问题又称为题又称为狄里赫利狄里赫利问题。问题。现在学习的是第6页，共65页解的解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解的的稳稳定定性性在在数数学学中中已已经经得到得到证明证明。惟惟一一性性是是指指在在给给定定的的定定解解条条件件下下所所求求得得的的解解是是否否是是惟惟一一的。的。稳稳定定性性是是指指当当定定解解条条件件发发生生微微小小变变化化时时，所所求求得得的的解解是否变化很大。是否变化很大。存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是

5、否有解。静静电电场场是是客客观观存存在在的的，因因此此电电位位微微分分方方程程解解的的存存在在确确信信无无疑。疑。可以证明电位微分方程解可以证明电位微分方程解具有具有惟一性。惟一性。现在学习的是第7页，共65页 若静电场的边界为导体，此时给定导体上的若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位电位就是就是第一第一类类边界。边界。已知已知因此，对于导体边界，当边界上的因此，对于导体边界，当边界上的电位电位，或电位的，或电位的法向法向导数导数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一给定时，空间的静电场即被惟一地确定地确定。这个结论称为。这个结论称为静电场惟一性定理静电

6、场惟一性定理。可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的此，若给定导体表面上的电荷量电荷量就是就是第二类第二类边界。边界。现在学习的是第8页，共65页 静电场的静电场的边值问题边值问题 根据给定的根据给定的边界条件边界条件求解静电求解静电场的场的电位分布电位分布。对于对于线性各向同性线性各向同性的的均匀均匀介质，介质，有源有源区中的区中的电位电位满足满足泊松方程泊松方程方程方程 在在无源无源区，电位满足区，电位满足拉普拉斯拉普拉斯方程方程利用利用格林函数格林函数，可以求解，可以求解泊松方程。泊松方程。利用利用分离变量法

7、分离变量法可以求解可以求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种求解静电场边值问题的另一种简单简单方法是方法是镜像法镜像法。现在学习的是第9页，共65页2.镜像法镜像法 实质实质:以一个或几个以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将代替边界的影响，将原来具有边界的原来具有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，自由空间，从而使计算过程大为从而使计算过程大为简化简化。这些等效电荷通常处于原电荷的这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置镜像位置，因此称为，因此称为镜镜像电荷像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。现在学习的是第10页，共65

8、页 依据：惟一性依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件边界条件。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些仅仅对于某些特殊特殊的的边界边界以及以及特殊特殊的的电荷分布电荷分布才有可能确定其镜像电荷。才有可能确定其镜像电荷。现在学习的是第11页，共65页（1）点电荷）点电荷与与无限大的导体平面无限大的导体平面 介质介质 导体导体 q r P 介质介质q r P hh 介质介质 以一个以一个镜像镜像点电荷点电荷q代替边界的影响，使整个空间变成代替边界的影响，使整个空间变成均均匀匀的介电常数为的介

9、电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点P 的电位由的电位由q 及及q共同产生，即共同产生，即 无限大无限大导体平面的电位为零导体平面的电位为零现在学习的是第12页，共65页 电场线电场线与与等位面等位面的分布特性与的分布特性与电偶极子电偶极子的的上半上半部分完全部分完全相同。相同。电场线电场线等位线等位线 z 现在学习的是第13页，共65页*根根据据电电荷荷守守恒恒定定律律，镜镜像像点点电电荷荷的的电电荷荷量量应应该该等等于于导体表面上感应电荷的总电荷量。导体表面上感应电荷的总电荷量。*上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为为在在上半空

10、间中，上半空间中，源源及及边界条件边界条件未变。未变。介质介质 导体导体 q r P 介质介质q r P hh 介质介质 现在学习的是第14页，共65页q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为零零，必必须须引引入入几个几个镜像电荷。镜像电荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5个镜像电荷。个镜像电荷。/3/3q现在学习的是第15页，共65页 位于无限大的导体平面附近的位于无限大的导体平面附近的线电荷线电荷，根据叠加原，根据叠加原理得知，同样可以应用

11、镜像法求解。理得知，同样可以应用镜像法求解。仅当这种导体劈的夹角等于仅当这种导体劈的夹角等于 的的整数整数分之一时，才分之一时，才可求出其镜像电荷。可求出其镜像电荷。为什么为什么？lll现在学习的是第16页，共65页（2）点电荷）点电荷与与导体球导体球 若导体球若导体球接地接地，导体球的，导体球的电位为电位为零零。令镜像点电荷。令镜像点电荷q 位于位于球心与点电荷球心与点电荷 q 的连线上，那么的连线上，那么球面上任一点电位为球面上任一点电位为 为了保证球面上任一点电位为为了保证球面上任一点电位为零零，必须选择镜像电，必须选择镜像电荷为荷为 qfOPadrqr现在学习的是第17页，共65页为为

12、了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确定定的的值值，必必须须要要求求比值比值对于球面上任一点均具有同一数值。对于球面上任一点均具有同一数值。若若OPqOqP，则，则镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 求得镜像电荷为求得镜像电荷为qfOPadrqr现在学习的是第18页，共65页 若导体球若导体球不接地不接地，则其电位，则其电位不为零不为零。q 的的位置位置和和量值量值应该如何应该如何?由由q 及及 q 在球面边界上形成在球面边界上形成的电位为的电位为零零，因此必须再引入一，因此必须再引入一个镜像电荷个镜像电荷q 以产生一定的电位以产生一定的电位。q现在学习的是第19页，共

13、65页以保证导体球表面上总电荷量为以保证导体球表面上总电荷量为零值零值。为了保证球面边界是一个为了保证球面边界是一个等位面等位面，镜像电荷，镜像电荷 q 必必须位于须位于球心球心。为了满足为了满足电荷守恒定律电荷守恒定律，第二个镜像电荷第二个镜像电荷q 必须为必须为导体球的电位导体球的电位?qq q现在学习的是第20页，共65页l（3）线电荷）线电荷与与带电的导体圆柱带电的导体圆柱 在圆柱轴线与线电在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜处，平行放置一根镜像线电荷像线电荷 。因此，离线电荷因此，离线电荷 r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为

14、PafdrlO已知无限长线电荷产生的电场强度为已知无限长线电荷产生的电场强度为 ，现在学习的是第21页，共65页 若令镜像线电荷若令镜像线电荷 产生的电位也取产生的电位也取相同相同的的 作作为为参参考考点点，则则 及及 在在圆圆柱柱面面上上P点点共共同同产产生的生的电位电位为为已知导体圆柱是一个已知导体圆柱是一个等位体等位体，必须要求比值，必须要求比值与前同理，可令与前同理，可令现在学习的是第22页，共65页 （4）点电荷）点电荷与与无限大的介质平面无限大的介质平面E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+对于对于上半空间上半空间，可用镜像电荷，可用镜像电荷 q 等效边界上

15、束缚电荷的作等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为用，将整个空间变为介电常数为1的的均匀均匀空间。空间。对于对于下半空间下半空间，可用位于原点电荷处的，可用位于原点电荷处的 q 等效原来的点等效原来的点电荷电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为为2 的的均匀均匀空间。空间。现在学习的是第23页，共65页 必须迫使所求得的场符合必须迫使所求得的场符合边界条件边界条件，即电场切向分，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即量和电通密度的法向分量应该保持连续，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电

16、荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：现在学习的是第24页，共65页 例例已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电压为，电压为U，外导体接地，外导体接地，其内半径为其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。场强度。解解 对对于于该该边边值值问问题题，镜镜像像法法不不适适用用，只好求解电位方程。只好求解电位方程。求得求得UbaO 选选用用圆圆柱柱坐坐标标系系。由由于于场场量量仅仅与与坐坐标标 r 有有关关，因因此此，电电位位所所满满足足的的拉拉普普拉斯方程变为拉斯方程变为现

17、在学习的是第25页，共65页利用边界条件：利用边界条件：最后求得最后求得求得求得现在学习的是第26页，共65页为了利用给定的边界条件，选择适当的为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系坐标系是非常重是非常重要的。要的。对于上述一维微分方程，可以采用对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法直接积分方法。分离变量法分离变量法是将原先的三维是将原先的三维偏偏微分方程通过变量分离简微分方程通过变量分离简化为三个独立的化为三个独立的常常微分方程，从而简化求解过程。微分方程，从而简化求解过程。为了求解为了求解三维三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量分离变量法法。分

18、离变量法对于分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。种坐标系都是行之有效的。现在学习的是第27页，共65页3.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为 令令式式中中的的左左边边各各项项仅仅与与一一个个变变量量有有关关。因因此此，将将上上式式对对变变量量x 求求导导，第第二二项项及及第第三三项项均均为为零零，求求得得第第一一项项对对x 的的导导数数为为零零，说明了第一项等于说明了第一项等于常数常数。代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以，得，得 现在学习的是第28页，共65页同理，再分别对变量同理，再分别对变量

19、y 及及z 求导，得知第二项及第三项求导，得知第二项及第三项也分别等于也分别等于常数常数。令各项的常数分别为令各项的常数分别为，求得，求得式中，式中，kx，ky，kz 称为称为分离常数分离常数，它们可以是，它们可以是实实数或数或虚虚数。数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程现在学习的是第29页，共65页由由上上可可见见，经经过过变变量量分分离离后后，三三维维偏偏微微分分方方程程式式被被简简化化为为三三个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程的的求求解解较较为为简简便便，而而且且三三个个常常微微分分方方程程又又具具有有同同一一结结构构，

20、因因此此它它们们解解的的形形式式也也一定相同。一定相同。或者或者式中，式中，A,B,C,D为为待定常数待定常数。例如，含变量例如，含变量 x 的常微分方程的的常微分方程的通解通解为为现在学习的是第30页，共65页当当kx为虚数时，令为虚数时，令 ，则上述通解变为，则上述通解变为 或者或者含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解完全相同。的常微分方程的解完全相同。解中解中待定常数待定常数也取决于给定的也取决于给定的边界条件边界条件。解的解的形式形式的选择决取于给定的的选择决取于给定的边界条件边界条件。这些解的这些解的线性组合线性组合仍然是方程的解。通常为了满仍然是方程的解。通常为了满足给定的

21、边界条件，必须取其线性组合作为方程的足给定的边界条件，必须取其线性组合作为方程的解。解。现在学习的是第31页，共65页例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d，其有限端被电位为，其有限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与半无限大的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中槽中电位电位分布。分布。Odxy=0=0=0电位满足的拉普拉斯方程变为电位满足的拉普拉斯方程变为解解选取选取直角直角坐标系。槽坐标系。槽中电位分布与中电位分布与z 无关，无关，这是一个这

22、是一个二维场二维场的问题。的问题。现在学习的是第32页，共65页应用应用分离变量法分离变量法，令，令为了满足为了满足 及及 ，Y(y)的解应为的解应为 槽中电位满足的边界条件为槽中电位满足的边界条件为因为因为y=0时，电位时，电位=0，因此上式中常数，因此上式中常数B=0。为了满足为了满足，分离常数，分离常数ky应为应为 现在学习的是第33页，共65页求得求得已知已知 ，求得，求得可见，分离常数可见，分离常数kx 为为虚数虚数，故，故X(x)的解应为的解应为式中的常数式中的常数C 应为零应为零？那么那么式中的常数式中的常数 C=AD。求得求得现在学习的是第34页，共65页因因x=0时，电位时，

23、电位=0，得，得上上式式右右端端为为变变量量，但但左左端端为为常常量量，因因此此不不能能成成立立。这这就就表表明明此此式式不不能能满满足足给给定定的的边边界界条条件件。因因此此，必必须须取取上上式式的的线线性性组组合合作作为电位方程的解。为电位方程的解。为了满足为了满足 x=0，=0，由上式得，由上式得 即即现在学习的是第35页，共65页Odxy=0=0=0利用傅里叶级数的利用傅里叶级数的正交性正交性，求出系数，求出系数 Cn 为为求得槽中电位分布函数为求得槽中电位分布函数为 电场线电场线等位面等位面现在学习的是第36页，共65页4.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法在圆柱坐标系

24、中，电位微分方程展开式为在圆柱坐标系中，电位微分方程展开式为 令令求得求得上式中只有第二项为变量上式中只有第二项为变量 的函数，因此将上式对的函数，因此将上式对 求导，求导，得知第二项对得知第二项对 的导数为的导数为零零，可见第二项应为，可见第二项应为常数常数。令令现在学习的是第37页，共65页即即式中的式中的 k 为分离常数，为分离常数，它可以是它可以是实数实数或或虚数虚数。令令 ，m 为整数，为整数，则上式的解为则上式的解为考虑到考虑到 ，以及上式，则前述方程可表示为，以及上式，则前述方程可表示为 变量变量 的变化范围为的变化范围为 ，因此，上式的解一定是，因此，上式的解一定是三角三角函数

25、，且常数函数，且常数 k 一定一定为整数。为整数。现在学习的是第38页，共65页上式第一项仅为变量上式第一项仅为变量r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量z 的函的函数，因此，它们应为常数。数，因此，它们应为常数。式中的分离常数式中的分离常数 kz 可为可为实数实数或或虚数虚数，其解可为，其解可为三角三角函数、函数、双曲双曲函数或函数或指数指数函数。函数。式中的式中的C,D 为待定常数。为待定常数。当当kz为实数时，可令为实数时，可令令令现在学习的是第39页，共65页将变量将变量 z 的的方程代入前式，得方程代入前式，得 若令若令 ，则上式变为，则上式变为 上式为标准的上式为标准的贝

26、塞尔方程贝塞尔方程，其解为，其解为贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 式中，式中，为为m 阶第阶第一一类贝塞尔函数；类贝塞尔函数；为为m阶第阶第二二类贝塞尔函数。当类贝塞尔函数。当r=0时，时，。因此，当场区。因此，当场区包括包括r=0时，只能取第时，只能取第一一类贝塞尔函数。类贝塞尔函数。现在学习的是第40页，共65页J2(x)J1(x)J3(x)J0(x)第第一一类贝塞尔函数类贝塞尔函数x现在学习的是第41页，共65页N3(x)N1(x)N0(x)N2(x)第第二二类贝塞尔函数类贝塞尔函数x现在学习的是第42页，共65页 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r),(),Z(z)的解，而电

27、位的解，而电位微分方程的通解应为三者微分方程的通解应为三者乘积乘积，或取其，或取其线性组合线性组合。若若静静电电场场与与变变量量z 无无关关，则则。那那么么电电位位微微分分方程变为方程变为此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 若又与变量若又与变量 无关，则无关，则m=0。那么，电位微分方。那么，电位微分方程的解为程的解为 现在学习的是第43页，共65页 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取的解可取下列下列一般形式一般形式 例例设一根无限长的导体圆柱位设一根无限长的导体圆柱位于均匀静电场中，电场强度方向于均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱。试

28、求导体圆柱垂直于导体圆柱。试求导体圆柱外外的电场强度。的电场强度。x yaE0O现在学习的是第44页，共65页 解解选取圆柱坐标系。令选取圆柱坐标系。令z 轴为圆轴为圆柱轴线，电场强度的方向与柱轴线，电场强度的方向与x 轴一致，轴一致，即即 当导体圆柱处于当导体圆柱处于静电平衡静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与的电位分布函数应与z 无关。无关。x yaE0O 解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边界条解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边界条件。件

29、。现在学习的是第45页，共65页 圆柱表面电场强度的切向分量为零。圆柱表面电场强度的切向分量为零。求得求得 无限远处的电场未受到扰动。无限远处的电场未受到扰动。此式表明，无限远处电位函数仅为此式表明，无限远处电位函数仅为cos 的函数。的函数。即即因此因此现在学习的是第46页，共65页为了满足为了满足，系数，系数 ，且，且 m=1。因此电位函数应为因此电位函数应为那么，根据边界条件即可求得系数那么，根据边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为现在学习的是第47页，共65页代入前式，求得圆柱外电位分布函数为代入前式，求得圆柱外电位分布函数为 则圆柱外电场强度为则圆柱外电场强度为 现在学习的是第

30、48页，共65页x yaE0O圆柱外圆柱外电场线电场线、等位面等位面以及圆柱表面的以及圆柱表面的电荷分布电荷分布电场线电场线等位面等位面现在学习的是第49页，共65页令令代入上式，得代入上式，得5.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法在球坐标系中，电位微分方程的展开式为在球坐标系中，电位微分方程的展开式为现在学习的是第50页，共65页其其解应为解应为令令若静电场与变量若静电场与变量 无关，则无关，则m=0。将将 代入上式，得代入上式，得现在学习的是第51页，共65页可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为r 的函数，第二项与的函数，第二项与r 无关。因无关。因此，第一项应为常数。此

31、，第一项应为常数。这是欧拉方程，其通解为这是欧拉方程，其通解为 为了便于进一步求解，令为了便于进一步求解，令即即,n 为整数为整数现在学习的是第52页，共65页令令 ，则上式变为，则上式变为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类第一类连带勒让德连带勒让德函数函数与与第二类第二类连带勒让德函数连带勒让德函数之和，这里之和，这里 m n 。当当n 是整数时，是整数时，及及为有限项多项式。为有限项多项式。将上述结果代入前式，得将上述结果代入前式，得现在学习的是第53页，共65页当场区包括当场区包括或或时，此时只能取第时，此时只能取第一一类连带勒类连带勒让德函数作为方程的解

32、。让德函数作为方程的解。现在学习的是第54页，共65页那么，电位微分方程的那么，电位微分方程的通解通解取下列取下列线性组合线性组合若若静静电电场场与与变变量量无无关关，则则m=0，称称为为第一类第一类勒让德函数勒让德函数。此时，。此时，电位微分方程电位微分方程的的通解通解为为通常令通常令现在学习的是第55页，共65页例例设半径为设半径为a，介电常数为，介电常数为 的介质球放在无限大的真空的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场中，受到其内均匀电场E0 的作用，如图所示。试求介质球的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。内的电场强度。E0zy 0a解解取取球球坐坐标标系系，令令。显显然然，

33、此时场分布与此时场分布与 无关。无关。球内、外的电位分布函数可取为球内、外的电位分布函数可取为现在学习的是第56页，共65页则球内、外电位分别为则球内、外电位分别为球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数应该满足下列边界条件：因此，系数因此，系数Dn 应为应为零零，即，即 球心电位球心电位 应为有限值。应为有限值。现在学习的是第57页，共65页 无限远处电场未受干扰，因此电位应为无限远处电场未受干扰，因此电位应为 可见，除了可见，除了A1以外的系数以外的系数An 应皆为零，应皆为零，且且。即。即 现在学习的是第58页，共65页求得求得 球内外电位在球面上应该连续，即球内外电位在球面上

34、应该连续，即现在学习的是第59页，共65页求得求得式中式中 球面上内外电位的法向导数应满足球面上内外电位的法向导数应满足 因为因为现在学习的是第60页，共65页由于上述两式对于由于上述两式对于所有所有的的 值均应满足，因此等式两值均应满足，因此等式两边边对应对应的各项系数应该相等。的各项系数应该相等。因此获知各系数分别为因此获知各系数分别为 现在学习的是第61页，共65页那么，那么，球内、外球内、外电位分别为电位分别为已知已知 ，求得球内的电场为，求得球内的电场为可见，球内仍然为可见，球内仍然为均匀均匀电场，而且球电场，而且球内内场强场强低于低于球球外外场强。场强。现在学习的是第62页，共65

35、页E0zy 0a若若在在无无限限大大的的均均匀匀介介质质中中存存在在球球形形气气泡泡，那那么么当当外外加加均匀电场时，气泡内的电场强度应为均匀电场时，气泡内的电场强度应为现在学习的是第63页，共65页1.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 分离变量法分离变量法是通过是通过变量分离变量分离将三维将三维偏偏微分方程简化微分方程简化为三个独立的为三个独立的常常微分方程，从而简化求解。微分方程，从而简化求解。分离变量法对于分离变量法对于11种正交曲面坐标系都是行之有种正交曲面坐标系都是行之有效的。效的。令令 ，获得三个常微分，获得三个常微分方程为方程为现在学习的是第64页，共65页2.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 令令 ，获得三个常微分，获得三个常微分方程为方程为3.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 令令 ，获得三个常微分方程为，获得三个常微分方程为现在学习的是第65页，共65页