数学教案－反比例函数及其图象.doc

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1、数学教案反比例函数及其图象教学设计示例1反比例函数及其图象 教学目标 ： 1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式； 2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质； 3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想； 4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程； 5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力. 教学重点： 结合图象分析总结出反比例函数的性质； 教学难点 ：描点画出反比例函数的图象 教学用具：直尺 教学方法：小组合作、探究式 教学过程 ： 1、从实际引出反比例函数的概念 我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S

2、一定时，时间t与速度v成反比例 即vt=S（S是常数）； 当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数） 从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成： （S是常数） （S是常数） 一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数. 如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数.当矩形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数. 在现实生活中，也有许多反比例关系的例子.可以组织学生进行讨论.下面的例子仅供 2、列表、描点画出反比例函数的图象 例1、画出反比例函数 与 的图象 解：列表x-6-5-4-33456 -1-1.2-1.5-26321.51

3、.21 11.21.52-6-3-2-1.5-1.21 说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图 一般地反比例函数 （k是常数， ）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线. 3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质 前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习. 显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考） （1） 的图象在第一、三象限.可以扩展到k 0时的情形，即k0时，双曲线

4、两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限. 的讨论与此类似. 抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程. （2）函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k0时，函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小. 同样可以推出 的图象的性质. （3）函数 的图象

5、不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出， .如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出 图象的性质. 函数 的图象性质的讨论与次类似. 4、小结： 本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中. 5、布置作业 习题13.8 1-4教学设计示例2反比例函数

6、及其图像 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1.使学生了解反比例函数的概念； 2.使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式； 3.使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况； 4.会用待定系数法确定反比例函数的解析式. （二）能力训练点 1.培养学生的作图、观察、分析、总结的能力； 2.向学生渗透数形结合的教学思想方法. （三）德育渗透点 1.向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点； 2.使学生体会事物是有规律地变化着的观点. （四）美育渗透点 通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴

7、趣，也培养学生积极探求知识的能力. 二、学法引导 教师采用类比法、观察法、练习法 学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号. 三、重点·难点·疑点及解决办法 1.教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题. 2.教学难点 ：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难. 3.教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像

8、只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）. 4.解决办法：（1） 中隐含条件是 或 ；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论. 四、教学步骤 （一）教学过程 提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？ 由学生先考虑及讨论一下. 答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系. 看下面的实例：（出示幻灯） 1. 当路程s一定时，时间t与速度v成反比例； 2.当矩形面积S一定时，

9、长a与宽b成反比例； 它们分别可以写成 （s是常数）， （S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书） 一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数. 即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？ 通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足 （k是常数， ）就可以.因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为 （s是常量）.对第2个实例也一样. 练习一：教材P9中1 口答.P130 1 根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？ 答：图像和性质. 通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的

10、发生、发展过程有一个明确的认识，以后 学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究. 下面，我们就来看桓隼猓海鍪净玫疲?/P 例1 画出反比例函数 与 的图像. 提问：1.画函数图像的关键问题是什么？ 答：合理、正确地选值列表. 2.在选值时，你认为要注意什么问题？ 答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好； （2）不能选 ，因为 时函数无意义； （3）选整数较好计算和描点. 这个问题中最核心的一点是关于 的问题，提醒学生注意. 3.你能不能自己完成这道题呢？ 学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学

11、的连线加以评价、总结： 注意：（1）一般地，反比例函数 的图像由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）这两条曲线不相交； （3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交. 关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？ 通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性. 再让学生观察黑板上的图，提问： 1.当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ 2.当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ 这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书： 对于双曲线（1）当 ：（1）当

12、时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大. 3.反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？ 通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用. 练习二：教材P9中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上 上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯） 例2已知y与 成反比例，并且当 时， ，求 时，y的值. 用提问的方式对此题加以分析： （1）y与 成反比例是什么含义？ 由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话

13、说明了： . （2）根据这个式子，能否求出当 时，y的值？ （3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？ （4）怎样才能确定k的值？用什么条件？ 答：用待定系数法，把 时 代入 ，求出k的值. （5）你能否自己完成这道例题： 由一名同学板演，其他同学在练习本上完成. 例3 已知： ， 与x成正比例， 与x成反比例，当 时， 时， ，求y与x的解析式. 分析：一定要先写出y与x的函数表达式 ， 要用x分别把 ， 表示出来得 ， 要注意 不能写成k， 解：设 ， . 由题意得 . （二）总结、扩展 教师提问，学生思考回答： 1.什么是反比例函数？ 2.反比例函数的图像是什么样的？ 3.反比例函数 的

14、性质是什么？ 4.命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容. 五、布置作业 1.教材P130中4，5，6 2.选做：P130中B1，2 六、板书设计 13.8反比例函数及其图像引例：（1）例1： 例2： 例3： （2） 1.反比例函数： 2.反比例函数的性质 探究活动 已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。 。

15、（1）求反比例函数的解析式； （2）设点A的横坐标为m， 的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）当 的面积等于 时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。 解：（1）过点B作 轴于点H。 在Rt 中， 由勾股定理，得 又 ， 点B（3，1）。 设反比例函数的解析式为 。 点B在反比例函数的图像上， 。 反比例函数的解析式为 。 （2）设直线AB的解析式为 。 由点A在第一象限，得 。 又由点A在函数 的图像上，可求得点A的纵坐标为 。 点B（3，1），点 ， 解关于 、 的方程组，得 直线AB

16、的解析式为 。 令 。 求得点D的横坐标为 。 过点A作 轴于点G 由已知，直线经过第一、二、三象限， ，即 。 由此得 。 即 。 （3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。 证明如下： 。 由 ， 得 解得 。 经检验， 都是这个方程的根。 ， 不合题意，舍去。 点A（1，3）。 设过A（1，3）、B（3，1）两点的抛物线的解析式为 。 由此得 即 。 设抛物线与x轴两交点的横坐标为 。 则 令 则 。 即 。 整理，得 。 ， 方程 无实数根。 因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。推荐阅读：初中数学反比例函数的应用说课稿范文初二数学反比例函数说课稿模板初中数学反比例函数说课稿模板反比例函数的图象和性质说课稿初中数学实际问题与反比例函数（第三课时）优秀说课稿范例初中数学反比例函数的应用说课稿范文反比例函数教案反比例函数教学设计反比例教学设计 第 8 页 /总页数8 页