2016第十六届中环杯五年级决赛详解.pdf

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1、第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 第十六届第十六届“中环杯中环杯”中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动五年级决赛五年级决赛 2016年3月5日 12:30 14:00 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题 A： （本大题共8小题，每题6分，共48分） 【第1题】 计算：11112016_21422754。 【分析与解】 计算。 1111201621422754 1111201621422754 1120161418 11201620161418 144112 32 第十六届“中环杯”

2、小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第2题】 若 E 、U、L、S、R、T分别表示1、2、3、4、5、6（不同的字母表示不同的数字） ，且满足： 6EUL； 18SRUT； 15UT； 8SL。 则六位数_EULSRT 。 【分析与解】 因为6EUL； 而1236； 所以,1,2,3E U L ； 因为18SRUT； 而654318； 所以, ,6,5,4,3S R U T ； 因为15UT； 而151 153 5 ； 所以,3,5U T ； 因为8SL； 而81 824 ； 所以,2,4S L 。 由和，得3U ，则5T

3、 ； 由和，得2L ，则4S ； 最后分别结合和，得1E ，6R ； 故六位数132465EULSRT 。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第3题】 一个超过20的自然数N，在14进制与20进制中都可以表示为回文数（回文数就是指正读与倒读都一样的数， 比如12321、3443都是回文数， 而12331不是回文数） 。N的最小值为_（答案用10进制表示） 。 【分析与解】 数论，进制与位值。 因为20N ； 所以N在14进制与20进制中都不是一位数； 我们希望N要尽可能小，故设1420Naabb； 即1

4、420Naabb； 1521Nab； 则N既是15的倍数又是21的倍数； 故N是15,213 57105 的倍数； 而1014201057755，符合题意； 故N的最小值为105。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第4题】 一位父亲要将他的财产分给他的孩子：首先将1000元以及剩余财产的110给老大，其次将2000元以及剩余财产的110给老二，再次将3000元以及剩余财产的110给老三，以此类推。结果发现每个孩子都分到了相同数量的财产。这位父亲一共有_个孩子。 【分析与解】 （方法一） 设这个父亲的财

5、产有x元； 由老大与老二分得财产相同，得 111100010002000100012000101010 xx； 解得81000 x； 老大分得11000810001000900010元； 即每个孩子都分到了9000元； 这位父亲一共有8100090009个孩子。 （方法二） 因为每个孩子都分到了相同数量的财产； 所以老大与老二分得财产相同； 老大分得1000元以及剩余财产（这里的剩余我们记为A）的110； 老二分得2000元以及剩余财产（这里的剩余我们记为B）的110； 那么A的110比B的110多200010001000元； A比B多110001000010元； 从A到B依次减少A的110和

6、2000元； 故A的110为1000020008000元； A为180008000010元； 这个父亲的财产有10008000081000元； 老大分得11000810001000900010元； 即每个孩子都分到了9000元； 这位父亲一共有8100090009个孩子。 （方法三） 设这位父亲一共有n个孩子； 则倒数第二个孩子分得10001n 元以及剩余的110； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 最后一个孩子分得1000n元； 这1000n元是倒数第二个孩子分得10001n 之后剩余的1911010；

7、 每个孩子都分到了相同数量的财产； 由倒数第二个孩子与最后一个孩子分得财产相同，得 110001100010009nnn； 解得9n； 这位父亲一共有9个孩子。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第5题】 如图，一个长方形的表格有8列，将数字1、2、按一定顺序填入表格中（从左往右填，等一行填满后进入下一行，还是从左往右填） 。一个学生先将填有数字1的格子涂黑，接下来跳过1个格子，将填有数字3的格子涂黑；接下来跳过2个格子，将填有数字6的格子涂黑；接下来跳过3个格子，将填有数字10的格子涂黑。依次类推，直

8、到所有列都含有至少一个黑格为止（不再继续涂黑了） 。那么，他涂黑的最后一个格子里的数字为_。 12345678161514131211109 【分析与解】 （方法一） 第1个涂黑的格子为1； 第2个涂黑的格子为312 ； 第3个涂黑的格子为6123 ； 第4个涂黑的格子为101234 ； 依次类推，第n个涂黑的格子为12n。 1191181171161151141131121111101091081071061051041031021011009998979695949392919089888786858483828180797877767574737271706968676665646362

9、61605958575655545352515049484746454443424140393837363534333230312928272625242322212019181716151413121110987654321201 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 这样我们可以得到涂黑的格子依次为11 mod8，1233 mod8， 12366 mod8，1234102 mod8， 125157 mod8，126215 mod8， 127284 mod8，128364 mod8， 129455 mod8

10、，1210557 mod8， 1211662 mod8，1212786 mod8， 1213913 mod8，12141051 mod8， 12151200 mod8， 至此mod8余0 7的数都出现了； 即所有列都含有至少一个黑格； 他涂黑的最后一个格子里的数字为120。 （方法二） 第1个涂黑的格子为1； 第2个涂黑的格子为312 ； 第3个涂黑的格子为6123 ； 第4个涂黑的格子为101234 ； 依次类推，第n个涂黑的格子为12n。 涂黑的格子mod8的余数依次为1，3，6，2，7，5，4， 至此，除了mod8余0，其余mod8余1 7都已经出现； 故我们只要考虑120 mod8n；

11、 18|1212nn n； 16|1n n ； 因为n与1n互质； 故16|n或16|1n； 我们希望n要尽可能的小； 则取116n ； 15n； 这样，他涂黑的最后一个格子里的数字为12151 15152120。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第6题】 一个瓶子里有1001个蓝球、1000个红球、1000个绿球，同时小明手中还有足够的这三种颜色的球。接下来，小明每次从瓶子中取出两个球，然后再按照下面的规则将一个球或两个球放入瓶中。 如果取出一个蓝球、一个绿球，则放回去一个红球； 如果取出一个红球、

12、一个绿球，则放回去一个红球； 如果取出两个红球，则放回去两个蓝球； 如果取出的两个球不是上面3种情况，则放回去一个绿球。 不断重复上述操作，直到瓶中只剩下一个球为止。剩下的一个球是_球（填“红” 、 “蓝” 、 “绿” 、“不确定” 【分析与解】 操作类问题；奇偶性。 取球的情况 红、蓝、绿三种颜色的球的个数变化 拿出的两个球 放回的一个球或两个球 蓝球个数 红球个数 绿球个数 1个蓝球、1个绿球 1个红球 1 1 1 1个红球、1个绿球 1个红球 不变 不变 1 2个红球 2个蓝球 2 2 不变 2个蓝球 1个绿球 2 不变 1 2个绿球 1个绿球 不变 不变 1 1个蓝球、1个红球 1个绿

13、球 1 1 1 从表中我们可以观察出，红球个数与蓝球个数的奇偶性同时发生变化； 而开始瓶子里有1001个蓝球、1000个红球； 即开始时，蓝球有奇数个，红球有偶数个，蓝球与红球个数的奇偶性不同； 则无论怎么操作，蓝球与红球个数的奇偶性始终不同； 这样，最后不可能出现“0个蓝球、0个红球、1个绿球”的情况。 而我们注意到，放回去的球的情况，没有“放回去1个蓝球”的情况； 即也不可能出现“1个蓝球、0个红球、0个绿球”的情况。 综上所述，剩下的一个球是红球。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第7题】 从图

14、a的正六边形网格中选出图b的形状，有_种不同的选法（注意：图b可以旋转） 。 图b图a 【分析与解】 计数。 首先，我们考虑图b不旋转的情况下； 一共与有4565424种不同的选法； 再结合图b有3种不同的方向，且每种方向选法数相同； 故从图a的正六边形网格中选出图b的形状，有24372种不同的选法。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第8题】 如图，在ABC中，90ABC，8BC 。D和E分别是AB和AC上的点，使得CDDE，DCBEDA 。若EDC的面积为50，则AB的长度为_。 ABCDE 【分析

15、与解】 几何；勾股定理，弦图；相似三角形，金字塔模型。 ABCDEF 过点E作EFAB，垂足为F。 在BCD与FDE中， 90CBDDFEDCBEDFCDDE 所以BCDFDE； （弦图的一半） FEDCBA 所以BCFD，BDFE，BCDFDE ； 因为90B； 所以90BCDBDC； 所以90FDEBDC ； 因为180FDECDEBDC ； 所以90CDE； 这样我们可以得到EDC是等腰直角三角形； 且由50EDCS，得10CDDE； 而8BCFD； 再结合勾股定理，得6BDFE。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛

16、 城隍喵 城隍喵 在ABC和AFE中， 90BACFAEABCAFE ； 所以ABCAFE； （金字塔模型） ； ABCDEF FEDCBA 所以EFAFBCAB； 6148ABAB； 解得56AB。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 二、填空题B： （本大题共4小题，每题8分，共32分） 【第9题】 将如图两种由单位小正方形组成的图形（这种图形的面积均为3）放入8 14的大长方形网格中，要求任意 两块图形之间不存在公共点。那么8 14的大长方形网格中最多可以放入两种类型的图形共_个。 【分析与解】 在8

17、 14的大长方形网格中，有9 15135个格点； 而无论是“L型”还是“一字型”的三连块，每个都有8个格点； 1358167； 故在8 14的大长方形网格中，可以放入两种类型的图形的个数不超过16个。 另一方面，摆放16个的例子可以构造出来（构造方式不惟一） 。 构造方法一构造方法二 综上所述，8 14的大长方形网格中最多可以放入两种类型的图形共16个。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第10题】 S n表示自然数n的数码和，比如1231236S 。如果两个不同的正整数m、n，满足 1001002mn

18、mnmS nnS m，那么我们就称m、n构成一个数对,m n。 数对,m n共有_对。 【分析与解】 数论，同余；计数。 我们知道，一个数与其数字之和mod9的余数相同； 即 mod9nS n； 则 0 mod9nS n； 由 2mS nnS m，得 0 mod9S mnS nmS m； 故0 mod9m ； 即m是9的倍数； 因为100m 且m为正整数； 所以9m ，18，27，99， 代入 2nS nmS m进行逐一计算； 并设10nabab（ab为广义两位数） ； 则 S nab； 9nS na， 即 92amS m 当9m 时， 9S m ，9992a ，1a ，舍去； 当18m 时，

19、 189S m ，91892a ，0a ，1 9n ，有9对； 当27m 时， 279S m ，92792a ，1a ，10 19n ，有10对； 当36m 时， 369S m ，93692a ，2a ，20 29n ，有10对； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 当45m 时， 459S m ，94592a ，3a ，30 39n ，有10对； 当54m 时， 549S m ，95492a ，4a ，40 49n ，有10对； 当63m 时， 639S m ，96392a ，5a ，50 59n ，有1

20、0对； 当72m 时， 729S m ，97292a ，6a ，60 69n ，有10对； 当81m 时， 819S m ，98192a ，7a ，70 79n ，有10对； 当90m 时， 909S m ，99092a ，9a ，80 89n ，有10对； 当99m 时， 9918S m ，999182a ，7a ，70 79n ，有10对； 综上所述，数对,m n共有910910101099 个对。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第11题】 如图，正方形ABCD的边长为4，正方形CEFG的边长为

21、12，D、C、E三点在一条直线上。联结DF，作/GIDF与DA的延长线交于点I。作IHDF与DF交于点H。则IH的长度为_。 EIHGFDCBA 【分析与解】 几何，勾股定理，相似三角形。 （方法一） JEIHGFDCBA 过点G作GJDF，垂足为J。 在RtDEF中，90E，12EF，41216DE ； 由勾股定理，得20DF； 因为90E； 所以90EDFEFD； 因为90EFGJFGEFD ； 所以EDFJFG ； 在DEF和FJG中， 90DEFFJGEDFJFG ； 所以DEFFJG； 所以FEDFGJFG； 所以122012GJ； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决

22、赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 解得365GJ ； 因为/GIDF，IHDF，GJDF； 所以IHGJ； 所以365IH 。 （方法二） KABCDFGHIE 分别延长DI、FG，相交于点K。 在RtKDF中，90K，12KD ，41216KF ； 由勾股定理，得20DF ； 因为/GIDF； 所以KDFKIG； （金字塔模型） 所以KFKDDFKGKIIG； 所以1612204KIIG； 解得3KI ，5IG ； 24326KIGSKGKI ； 216 12296KDFSKFKD； 96690KDFKIGDFGISSS梯形； 2DFGISIGDFIH

23、梯形； 520290IH； 解得365IH 。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第12题】 将一个444 的立方体切割成64个1 1 1 的小立方体，然后将其中16个1 1 1 的小立方体染成红色，要求与任意一条棱平行的4个小立方体中，都正好有1个小方体被染成红色。不同的染色方法有_种（旋转后相同的染色方法也视为不同的染色方法） 。 【分析与解】 一个444 的立方体，从上往下一共有4层，每层是一个44 1 的长方体； 由题意“与任意一条棱平行的4个小立方体中，都正好有1个小方体被染成红色” ，得 每

24、层44 1 中，都正好有4个正方体染成红色； 且从上往下看，每层染成红色的小立方体的俯视图为一个44的正方形。 对这个44正方形，我们分别用“1” 、 “2” 、 “3” 、 “4”各4个， 表示第1、2、3、4层对应的小方格染成红色； 并且按照题意，这个44正方形中，每行、每列“1” 、 “2” 、 “3” 、 “4”各1个。 故问题转化为“用“1” 、 “2” 、 “3” 、 “4”各4个填在一个44正方形中，要求每行、每列“1” 、 “2” 、“3” 、 “4”各1个，不同的填法有多少种？” 我们先考虑“1” ，每行各1个，且不同列，有432 124 种填法；我们不妨设为图1的情况。 图

25、11111 我们再考虑“2” ，第一行的“2”有3种填法；我们不妨设为图2的情况； 图221111 若第二行的“2”填在第一列，则第三行的“2”填在四列，第四行的“2”填在三列； （如图3） 若第二行的“2”填在第三列，则第四行的“2”填在一列，第三行的“2”填在四列； （如图4） 若第二行的“2”填在第四列，则第三行的“2”填在一列，第四行的“2”填在三列； （如图5） 11112图322222211112图4222图521111 我们再考虑“3” ，第一行的“3”有2种填法；我们不妨设为第一行的“3”填在第三列（如图6 8） ； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六

26、届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 11112图63222 322211112图7 3222图821111 图6余下的有2种填法； （如图9和图10） 图7余下的有1种填法； （如图11） 图8余下的有1种填法； （如图12） 4443311112图9433222 3344411112图10433222 43图1121111222333444 33444433222图1221111 故第一行的“2”填在第2列，第一行“3”填在第3列，有4种； 不同的填法有24324576 种。 原题不同的染色方法有576种。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第

27、十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 三、动手动脑题： （本大题共2小题，每题10分，共20分） 【第13题】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行（乙从B地出发） ，乙车速度是甲车的k倍（1k ） 。两车分别到达B地和A地后，立即返回。返回时，甲车的速度保持不变，乙车的速度等于甲车的速度。返回途中，两车在C点相遇。如果AB的中点为D点，并且12CDAD，求：k。 （请写出解题过程） 【分析与解】 行程问题。 乙甲DCBA 因为AB的中点为D点； 所以12ADBDAB； 因为12CDAD； 所以:2:1:1AD DC CB ； 乙行驶BA这段的速度为甲车的

28、k倍，行驶AC这段的速度等于甲车的速度； 由相同的时间，速度比等于路程比，得 1:413 :41:2kABBCACBA ； 故2k 。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 【第14题】 如图，根据下面的要求填满此表： 每个小方格内填入一个数字，这个数字必须是小于10的自然数； 同一区域内的小方格填入相同的数字（虚线表示同一区域的内部） ； 最左边列的小方格不能填入数字0； 从上往下数第1行的四个数码从左至右构成一个四位数，这个四位数可以表示为qp，其中p、q都是质数； 从上往下数第2行的四个数码从左至右构成

29、一个四位数， 这个四位数可以表示为两个连续质数的乘积 （比如3、5就称为连续质数） ； 从上往下数第3行的四个数码从左至右构成一个四位数，这个四位数是一个完全平方数； 从上往下数第4行的四个数码从左至右构成一个四位数，这个四位数是37的倍数。 【分析与解】 数论综合。 GGGHGEECDEFEDCBA 每个小方格填上字母，同一区域内的小方格填字母， 相同的字母代表相同的数字，不同的字母既可以代表不同的数字也可以代表相同的数字。 由得，EEGG是完全平方数； 完全平方数的末两位可能是00、25、6奇、1偶、4偶、9偶； 若完全平方数的末两位的两个数字相同，则只能是00或44； 而011EEGGE

30、 G是11的倍数； 则EEGG是211的倍数； 011E GEEGG是11的倍数； 由11的整除特性，得0EGEG是11的倍数； 只能11EG； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 故G不可能是0，只能4G ，111147EG；且2774488。 444H477CD7F7DCBA 由得，744EHGGH是37的倍数； 3999337； 因为744H是37的倍数； 所以7440H也是37的倍数； 由37的整数特性，7440510HH是37的倍数； 510371329； 37298H 。 4448477CD7F

31、7DCBA 由得，7EFCDFCD可以表示为两个连续质数的乘积； 我们通过整十数进行估算：2806400、2908100； 再进一步计算可得，79 836557，83 897387，89978633； 故7EFCDFCD只能是83 897387； 3F ，8C ，7D 。 44484778773778BA 由得，87qABCDABp，其中p、q都是质数； 首先，p的个位数字只能为3、7； 其次q不可能太大； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵 城隍喵 注意到1139999，则2q 、3、5、7。 当2q 时，因为完全平方数的个位数字可能是0、1、4、9、6、5，不可能为2、3、7、8； 故不存在。 当3q 时，p的个位数字只能为3，经尝试，3327，3132197，3239999，不存在； 当5q 时，p的个位数字只能为7，经尝试，579999，不存在； 当7q 时，p的个位数字只能为3，经尝试，732187，7139999；732187符合； 故872187ABCDAB； 2A ，1B 。 4448477877377812 更多杯赛信息敬请关注更多杯赛信息敬请关注家长帮社区家长帮社区 http:/ 上海学而思上海学而思 外联竞赛部外联竞赛部