2016第十六届中环杯四年级决赛详解.pdf

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1、第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动 四年级决赛 一、填空题 【第 1 题】 计算：_ 【分析与解】 计算：提取公因数 【第 2 题】 一个质数比一个完全平方数小 10，则的最小值为_（说明：完全平方数是指能表示为一个整数的平方数的和，比如，所以 4、9 都是完全平方数） 【分析与解】 数论，质数，完全平方数 若，则不是完全平方数 故是奇数，则也是奇数，为奇数的平方根 比 10 大的奇完全平方数从小到达依次为 是合数 是合数 是质数 故最小是 71 【第 3 题】 如图，三点共线，则的面积为_ 【分析与解】 几何，等积变形 联结 因为 所以 因为 所以 所以 【第 4 题】 三支蜡烛分别

2、能燃烧 30、40、50 分钟（但是不是同时点燃的） 。已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有 10 分钟， 只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有 20 分钟。 那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有_分钟 【分析与解】 正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有分钟 【第 5 题】 将一个的立方体的三个面染红色， 三个面染蓝色 （要求任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色） ， 然后将其切割成 512 个的小立方体。 这 512 个小立方体中， 有_个小立方体上既有红色面又有蓝色面 【分析与解】 由题意，任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色 故不妨设上、下、前染红色，左、右、后染蓝色

3、即在正方体中， 面染红色， 面染蓝色 则红面与蓝面公共的棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面 即这8条棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面 注意到每个顶点的小立方体都被计算了 2 次，即多计算了 1 次 故有个小立方体上既有红色面又有蓝色面 【第 6 题】 在的所有因数中，可以表示为（其中为自然数）的最大因数为_ 【分析与解】 数论，分解质因数，同余 将分解质因数：设 ， ， ， ， 故 因为既不是 2 的倍数又不是 3 的倍数 故所求的数既不含质因数 2 又不含质因数 3 相当于求的所有因数中， 可以表示为（其中为自然数） 的最大因数为几？ 而 于是我们考虑 故在的所有因数中，可以表示为（其

4、中为自然数）的最大因数为 385 【第 7 题】 在某次数学比赛中， 一共有 6 道题目， 每道题目的分值均为 7 分 （最后每题的得分都是整数，最低为 0 分，最高为 7 分） ，每个参赛者的总分就是 6 道题目得分的乘积，如果两个人的得分相同，就计算 6 道题目得分之和，从而评定名次高低。如果还相同，就算两人并列。在这次比赛中， 一共有位参赛者， 这些参赛者中没有出现并列， 排名为的参赛者的得分为_分 【说明】 此题为错题此题为错题 若两个人 6 道题每题得分完全相同 则 6 道题目得分的乘积相同，6 道题目得分的和也相同 则这两个人的排名相同，即这两个人并列 由题意，这位参赛者中没有出现

5、并列 则这位参赛者每题得分均不完全相同 而每题的得分为 07 的整数，由乘法原理一共有种得分情况 若甲第 16 题得分为，乙第 16 题得分为 甲、乙两人 6 道题目得分的乘积为 0,6 道题目得分的和为 1 则甲、乙两人排名相同，即这两个人并列 这与“这些参赛者中没有出现并列”矛盾 故此题为错题 若将原题中“这些参赛者中没有出现并列”改为“这些参赛者中，任意两人这若将原题中“这些参赛者中没有出现并列”改为“这些参赛者中，任意两人这 6 题的各题的各题得分不完全相同”题得分不完全相同” ，则排名为，则排名为的参赛者的得分为的参赛者的得分为 1 分分 理由如下： 若 6 题中，至少有一题得分为

6、0，则 6 道题目得分的乘积为 0 若 6 题中，没有一题得分为 0，则 6 道题目得分的乘积不为 0 这种情况下，每题的得分为 17 的整数，由乘法原理一共有种得分情况 故排名为的参赛者的得分为乘积最小的正整数 而第 16 题得分为的参赛者，得分为 1 故排名为的参赛者的得分为 1 分 【第 8 题】 如图所示，两条直线与两个圆交于 9 个点，从这 9 个点中选出 4 个点，要求这 4 个点的任意3 个点既不在一条直线上，也不在一个圆圈上，不同的选法有_种 【分析与解】 计数，乘法原理和加法原理 因为这 4 个点中的任意 3 个点不在一条直线上 所以这 4 个点都不是中心点 故这个 4 个点

7、均在这两个圆上 又因为这 4 个点中的任意 3 个点不在一个圆圈上 所以在这 4 个点中，有 2 个点在小圆上，另外 2 个点在大圆上 如果小圆上的 2 个点在一条直线上，有 2 种可能：或 此时，每种情况下对应大圆上的 2 个点有 1 种可能 例如：当小圆上的 2 个点为时，大圆上的 2 个点只能为 如果小圆上的 2 个点不在一条直线上，有 4 种可能：或或或 此时，每种情况下对应大圆上的 2 个点有种可能 例如： 当小圆上的 2 个点为时， 大圆上的 2 个点可能为或或或 综上所述，不同的选法有种 二、填空题 【第 9 题】 四人参加了一个会议， 他们都获得一个相同的正整数， 接下来每人对

8、这个正整数进行描述，每人都说了三句话，其中至少有一句是真话，至少有一句是假话，他们说的话如下： ：这个数小于 12 7 不能整除这个数 5 乘以这个数的结果小于 70 12 乘以这个数的结果大于 1000 10 能整除这个数 这个数大于 100 4 能整除这个数 11 乘以这个数的结果小于 1000 9 能整除这个数 这个数小于 20 这个数是一个质数 7 能整除这个数 这个数是_ 【分析与解】 设这个数为 我们把条件整理一下： ；，即 ，即； 是一个质数； 首先，我们注意到与完全相反 若是真话，是假话；即 与中至少有一个是真话 但不可能为是真话，是假话 则是真话；则 故是真话 故是假话 注意

9、到，符合且的正整数只有，而 7 是质数，与“是一个质数”是假话矛盾 故若是假话，是真话；即 7 不能整除 与中至少有一个是假话 但不可能为是真话，是假话 则是假话；则 再对是假话，则 再对进行讨论 若是真话，即 故与都是假话 则是真话；则 但不存在既满足，又满足的正整数 故是假话，即 则是真话，即是一个质数 故、均是假话 则是真话，即 故是假话 则是真话，即 注意到，符合且为质数的只有，即这个数是 89 【第 10 题】 如图，是一个等边三角形，在边上取点，使得，作等边，联 结， 作平 行于 点， 作平 行交 边于 点， 作。若的面积为 45，的面积为 30，则_ 【分析与解】 几何，等积变形

10、，燕尾模型 延长交于点，分别联结 由共边模型，得 又因为 所以 所以 因为 所以 所以 所以 因为 所以 所以 所以 因为 所以 根据燕尾模型， 而注意到， 故 即 【第 11 题】 一个的方格由 25 个的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰三角形，其中三个被涂成了黑色（如图所示） 。小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边，在的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，那么方格的四条边长（如图所示）上最少有_条黑边 【分析与解】 角上的小方格，每个有 2 条边在外面，故其中至少有 1 条是黑边 这样方格的四条长边上，黑边不少于条 每个小方格有 3 条黑边，个

11、小方格一共有条黑边 而在的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的 故内部的黑边的条数为偶数 则四条长边上的黑边的条数为奇数 所以方格的四条长边上，黑边不少于 5 条 如图所示为方格的四条长边上有 5 条黑边的例子 综上所述，方格的四条长边上至少有 5 条黑边 【第 12 题】 如图，在的正方形网格中，两点处各有一只臭虫（点处的臭虫我们称其为臭虫，点处的臭虫我们称其为臭虫） 。臭虫每次走 1 格（向上、向下、向左、向右这四个方向选中一个方向走） 。若臭虫走两个，臭虫走三格，最后臭虫与点的距离小于等于臭虫与点距离的走法有_种 【分析与解】 计数，乘法原理，加法原理，排列，组合 臭虫走

12、2 格 ，最后臭虫距离点 3 格 ，最后臭虫距离点 1 格 或，最后臭虫距离点格（长方形的对角线） 或以及其排列，最后臭虫距离点 1 格 或以及其排列，最后臭冲距离点 1 格 以及其排列，最后臭虫距离点 1 格 最后臭虫距离点 1 格，有种走法 最后臭虫距离点格（长发形的对角线） ，有种走法 最后臭虫距离点 3 格，有 1 种走法 臭虫走 3 格 或或或，最后臭虫距离点 3 格 或或或以及其排列的，最后臭虫距离点 1 格 或或或或或或或以及其排列 最后臭虫距离点格（长方形的对角线） 或或或以及其排列，最后臭虫距离点 1 格 最后臭出距离点 1 格，有种走法 最后臭出距离点格（长方形的对角线）

13、，有种走法 最后抽出距离点 3 格，有 4 种走法 最后臭虫与点的距离小于等于臭虫与点距离 当最后臭出距离点 1 格 则最后臭出距离点 1 格或格（长方形的对角线）或 3 格 有种 当最后臭出距离点格（长方形的对角线） 则最后臭出距离点格（长方形的对角线）或 3 格 有种 当最后臭出距离点的 3 格 则最后臭虫距离点 3 格 有种 综 上 所 述 ， 最 后臭 虫 与点 的 距 离 小 于 等 于臭 虫 与点 的 距 离 的 走 法有种 三、动手动脑题 【第 13 题】 甲、乙两车分别从两地同时出发（甲从地出发） ，相向而行。甲、乙两车速度分别为 40 千米/时和 50 千米/时，两地相距 9

14、00 千米。当甲车到达地后立刻调头开回地，速度变为 50 千米/时。当乙车到达地后立刻调头开回地，速度变为 40 千米/时。当甲车到达地后立刻调头开回地， 速度恢复为 40 千米/时。 当乙车到达地后立刻调头开回地，速度恢复为 50 千米/时。依次类推，两车在两地间不断地开来开去，速度也在 40 千米/时与 50 千米/时之间不断地切换。当两车第 2016 次相遇时，甲车一共行驶了多少千米？ 【分析与解】 行程问题，多次相遇 甲以 40 千米/时的速度从到，再以 50 千米/时的速度从到 乙以 50 千米/时的速度从到，再以 40 千米/时的速度从到 故甲、乙各走了一个来回用时相等 在甲、乙各

15、走了一个来回的过程中，甲、乙相遇了 2 次 ，若甲、乙各走了 1008 个来回的过程中，甲、乙相遇了 2016 次 从第 2016 次相遇到最后甲、乙同时回到两地这个过程中 甲的速度为 50 千米/时，乙的速度为 40 千米/时 则甲、乙的速度比为 甲、乙的路程比也为 其中甲行驶了 故当两车第 2016 次相遇时，甲车行驶的路程相等于 1008 个来回再去掉这 500 千米，即为 【第 14 题】 老师脑子里想了两个正整数，然后他将的值告诉了，将的值告诉了，接下来，有如下的对话（都知道） 说：我不知道的值 说：给你一个提示，的值不超过 20，一旦你能通过这个提示确定下的值，那么我也就知道的值了 说：我知道的值了 求：和的值了 【分析与解】 逻辑推理 由“不知道的值”可得 将的乘积折成两个正整数的乘积方法不唯一 即既不是 1 也不是质数，为合数 再由“这个提示下，知道了的值”可得 将合数的乘积折成两个和不大于 20 的正整数的乘积方法唯一确定 ， ， 最后由“在知道了的值之后，也就知道的值”可得 在所列的情况下，分别计算对应两个因数的和，这个和是唯一的 其中，只有“和”只出现一次 故