2013第十三届中环杯五年级决赛详解.pdf

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1、第十三届第十三届“ 中环杯中环杯” 小学生思维能力训练活动五年级决赛小学生思维能力训练活动五年级决赛1、我们有下列公式我们有下列公式：222(1)(21)126n nnn 2333(1)122n nn 计算计算：323232(13 13 1)(23 23 2)(993 993 99) 。【分析】原式299 (991)99 (991) (2 991)99 (991)33262 255024002、有一类四位数有一类四位数，除以除以 5 余余 1，除以除以 7 余余 4，除以除以 11 余余 9。这类四位数中最小的一个是多这类四位数中最小的一个是多少少？【分析】设所求数为51a ，则有514(mo

2、d7)2(mod7)aa ，设72ab，则所求数为3511b，则有35119(mod11)10(mod11)bb ，设1110bc，则所求数为385361c，故最小的四位数为385 23611131 。3、有有 A、B、C、D、E五个人五个人，其中每个其中每个人永远说谎话或者永远说真话人永远说谎话或者永远说真话，并且他们彼此都并且他们彼此都互相知道对方的行为互相知道对方的行为。A 说说 B是说谎者是说谎者，B说说 C 是说谎者是说谎者，C 说说 D 是说谎者是说谎者，D 说说 E 是说是说谎者谎者。那么那么，这五个人中最多有多少个说谎者这五个人中最多有多少个说谎者？【分析】若 A 说真话，由

3、A 所说的话可知 B 说谎话，由 B所说的话可知 C说真话，继续推知 D 说谎话，E 说真话，有 2 人说谎。若 A 说谎话，则 B 说真话，C 说谎话，D 说真话，E 说谎话，有 3 人说谎。由此，最多有 3 个说谎者。4、在在 1 到到 200 之间之间，有多少个数有多少个数，其所有不同的素因数之和为其所有不同的素因数之和为 16？（？（比如比如：12 的所有不的所有不同素因数为同素因数为 2、3，其和为其和为 2+3=5）【分析】由于23571716 ，所以所求数至多有 3 个不同素因数。且由于 16 为偶数，若拆成 3 个素数之和，其中必有 2。1、1623 11 ，有 66、132、

4、198 共 3 个2、163 13 ，有 39、117 共 2 个3、165 11 ，有 55 共 1 个综上，共有6 个。5、某次数学比赛某次数学比赛，计分方法有两种计分方法有两种，分别是分别是：第一种第一种，答对一题给答对一题给 5分分，答错不给分答错不给分，不不答给答给2 分分；第二种第二种，先给先给 39 分分，然后答对然后答对一题给一题给 3 分分，答错扣答错扣 1 分分，不答不给分不答不给分。某个考某个考生完成所有题目后生完成所有题目后，用两种方法计分用两种方法计分，都得都得 71 分分。则这个考生未答的题目有多少题则这个考生未答的题目有多少题？【分析】设该生答对、未答、答错的题目

5、依次为, ,a b c题，则有：71 55271239371332aabbacca 由于, ,a b c都是正整数，所以有：5711114332aaa 又a必须是奇数，所以a 11 或 13也即该生未答得题目有 8 题或3 题。6、在下图的数字谜中在下图的数字谜中，每个字母代表一个数字每个字母代表一个数字。不同的字母代表了不同的数字不同的字母代表了不同的数字，相同的字相同的字母代表了相同的数字母代表了相同的数字。则则 T 是多少是多少？F O R T YT E N+T E NS I X T Y【分析】由于万位数上F、S 不同，所以易知千位有向前进位。由于个位上 Y 未变，所以N 为 0 或 5

6、若 N 为 5，则十位上有 T+2E+1 仍为 T，显然不可能所以 N 为 0，于是，个位上没有进位观察十位，同样T 未变，所以E 为 0 或 5，由于 N 已经为 0，所以 E 为 5观察百位，由于千位数字发生了变化，所以百位必须进位，可能进 1 或 2若百位进 1，由于千位也有进位，所以 O 必须为 9，那么I 就为 0，重复了所以百位进 2，且 O 不能为 8，否则 I 为 0，所以O 为 9，I 为 1由于 R+2T+1 超过 20，且 9 已经被用走所以 T 最小为 6若 T 为 6，那么 R为 7或 8，若 R 为 7，则 X 为 0，重复；若 R为 8，则 X 为 1，重复，故

7、T 不为6若 T 为 7，那么 R为 6 或 8（5、7 已用），若 R为 6，则 X 为 1，重复，若 R为 8，则 X 为 3，发现0、1、3、5、7、8、9 已经用去，还剩 2、4、6，显然 S 仅比 F 大1，无法满足，故 T 不为 7若 T 为 8，那么 R 为 3、4、6、7，若 R 为 3，则 X 为 0，重复；若 R 为 4，则 X为 1，重复；若 R为 6，则 X 为 3，还剩 2、4、7，S、F 无法满足；故 R为 7，X为 4，还剩2、3、6，显然F 为 2，S 为 3，Y 为 6。综上，T 为 8。7、平行四边形平行四边形 ABCD 中中，点点 P、Q、R、S 分别是边

8、分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点的中点，而点而点 T为线段为线段 SR 的中点的中点。已知平行四边形已知平行四边形 ABCD 的面积为的面积为 120 平方厘米平方厘米，则则PQT面积为多少面积为多少平方厘米平方厘米？TPQRSABCD【分析】显然，由于 SR 与 PQ 平行，所以1304PQTPQSABCDSSS。8、已知一个骰子的六个面上分别写了已知一个骰子的六个面上分别写了六个不同的正整数六个不同的正整数，这六个正整数的和为这六个正整数的和为 60。现在对现在对这个骰子进行这样的操作这个骰子进行这样的操作：每次操作选取正方体的一个顶点每次操作选取正方体的一个顶点，将包含这个顶点的

9、三个面上将包含这个顶点的三个面上的数字都加的数字都加 1。经过多次操作后经过多次操作后，这个正方体的所有面上的数字都相同了这个正方体的所有面上的数字都相同了。满足条件的不同满足条件的不同的骰子有多少种的骰子有多少种？（？（六个面的数字选定后就算一种六个面的数字选定后就算一种，不考虑这六个数字如何放在骰子上不考虑这六个数字如何放在骰子上）【分析】依次设上、下、左、右、前、后上原来的数为, , , , ,a b c d e f。假设这组数符合要求，不妨设操作了xy次后，六个数变得相同，其中x次操作中包含上面，y次操作中包含下面（显然不可能有操作既不包含上面、也不包含下面），操作结束后，上面与下面数

10、字之和变为abxy ；前、后、左、右四个数字之和变为2()cdefxy ；由题意，2()2()2()cdefxyabxycdefab 。解得20ab 。同理，20cd ，20ef 。由于， 20=1+19=2+18=3+17=4+16=5+15=6+14=7+13=8+12=9+11（10+10 数字相同，舍去）于是，从 9 组数中选3 组即可，共3984C 种选法。9、定义定义21333nna （n为正整数为正整数），），比如比如：234413333a 。那么那么122013,a aa中中，有多少个数是有多少个数是 7 的倍数的倍数。【分析】123113332nnna ，即只要131n是 7

11、 的倍数，na就是 7的倍数发现13n除以 7 的余数以为 2、6、4、5、1、3周期循环201363353故其中有 335 个数除以 7 余 1，即122013,a aa中有 335 个 7 的倍数。10、如图所示如图所示，有一个边长为有一个边长为 5 厘米的立方体木块厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为中间各挖去一个边长为 1 厘米的小立方体厘米的小立方体（即图中画有阴影的那些小立方体即图中画有阴影的那些小立方体），），那么余下那么余下部分的表面积是多少平方厘米部分的表面积是多少平方厘米？【分析】原表面积为 150，从角上挖

12、去，表面积不变，从棱上挖去，表面积增大 2，从面上挖去，表面积增大 4，故剩余部分表面积为1502 124 6198 。1、有一对四位数数对有一对四位数数对（2025、3136），），拥有如下特点拥有如下特点：每个数都是完全平方数每个数都是完全平方数，并且第二并且第二个四位数的每个数码都比第个四位数的每个数码都比第一个四位数的对应数码都大一个四位数的对应数码都大 1。 请找出所有满足这个特点的五位请找出所有满足这个特点的五位数数对数数对。（。（如果找出的一对五位数为如果找出的一对五位数为a和和b，请写成请写成( , )a b的形式的形式）【分析】设找到数对22(,)ab，则有：2211111b

13、a即()()41 2711 11111ba ba 考虑到221000099999100316abab 仅有一组解为41115271156baabab 于是所求数对仅有一对为22(115 ,156 )(13225,24336)。2、用用 R、G、B 三种颜色对下图三种颜色对下图2 5的表格进行染色的表格进行染色，要求有公共边的两个格子必须染成要求有公共边的两个格子必须染成不同的颜色不同的颜色。问问：一共有多少种不同的染色方法一共有多少种不同的染色方法？【分析】考虑2 行a列，设 2行a列有b种不同的染色方法，再在其右边加上 1 列对于b种染法的每一种，考虑其右边一列有多少种不同的染法4321a列

14、列a+1列列显然，1、2 号格子颜色不同，3 号格子与1 号颜色不同，若 3 号与2 号同色，则 4号有 2 种染法，若 3 号与 2 号异色，则 4 号有 1 种染法，于是，第1a列有1 2 1 13 种染法，于是 2行1a列共有3b种不同染法2 行 1 列有3 26 种染法于是，2行 5列有6 3 3 3 3486 种染法。3、A、B 两地相距两地相距 36 千米千米，甲甲、乙两位超人同时从乙两位超人同时从 A 地向地向 B 地行走地行走，一旦到一旦到 B 地以后立地以后立即走向即走向 A 地地，到达到达 A 地以后又立即走向地以后又立即走向 B地地 ，两人不停地在两人不停地在 A、B 间

15、走动间走动。若甲的速若甲的速度为度为2k千米千米/时时，乙的速度为乙的速度为k千米千米/时时。设经过设经过p个小时个小时，甲甲、乙之间的距离第乙之间的距离第 2012 次达次达到最大到最大；经过经过q个小时个小时，甲甲、乙之间的距离第乙之间的距离第 2013 次达到最大次达到最大。若若qp为正整数为正整数，求求：正整数正整数k的最大值的最大值【分析】如下图，柳卡图发现当甲在 A 地、乙在 B 地时，两人距离最大第一次两人距离最大所用时间为36k小时以后每隔72k小时，两人再次距离最大因此，72362011pkk，72362012qkk，因此，72qpk ，于是k最大为 724、如图如图 1，A

16、BCD、CEFG 是两个正方形是两个正方形，边长分别为边长分别为 5 厘米和厘米和 4 厘米厘米。将将 GC 边擦去边擦去，留下一个轮廓留下一个轮廓，然后联结然后联结 AE、BF 相交于点相交于点 H，联结联结BG 与与 AE 相交于点相交于点 I（如图如图 2），），则则图图 2 中阴影部分的面积是多少平方厘米中阴影部分的面积是多少平方厘米？图图1ABCDFEG图图2IHABCDFEG【分析】观察沙漏模型AEFB，有54AHABHEEF，由于54BCAHCEHE ，所以HCAB，即 H 在 CD 上。由于 HCAB，所以42099HCECHCABEB ，于是2016499GH 。观察梯形 A

17、GHB，116305(5) 52918AGHBS 。又16:516:459GH AB ，由蝴蝶模型，可知2222:16 :(1645)16 :61GHIAGHBSS，于是，22221616305640616118549GHIAGHBSS，IHABCEFGD5、七巧板是我们熟悉的益智玩具七巧板是我们熟悉的益智玩具。现在请你利用提供给你的卡之现在请你利用提供给你的卡之，按照图按照图 1所示制作一副所示制作一副七巧板七巧板，并取其编号并取其编号 1 到到 4 的四块的四块，做成四巧板做成四巧板。（1）用四巧板的四块拼板拼出图用四巧板的四块拼板拼出图 2 所示的台阶图形所示的台阶图形。用粗线条将拼法直

18、接画在图用粗线条将拼法直接画在图 2 上上。4321图图1图图2【分析】4321（2）图图 3 所示是一个立方体的四级台阶所示是一个立方体的四级台阶，每级台阶的长每级台阶的长、宽宽、高都分别相等高都分别相等。已知高已知高ADh 3 厘米厘米，宽宽 DEb 1 厘米厘米，长长 ACa 8 厘米厘米。已知聪明的老鼠沿着台阶表面已知聪明的老鼠沿着台阶表面从从 A 点往点往 B点爬行点爬行（假设在垂直表面它可垂直爬行假设在垂直表面它可垂直爬行），），且走的是最短路径且走的是最短路径。另有一个智能另有一个智能捕鼠器捕鼠器，它可以放在它可以放在 DE、FG、HI 中的任意一条上的任意一点中的任意一条上的任

19、意一点。如果它放在如果它放在 DE 上上，那么那么它走动的路线一定垂直于它走动的路线一定垂直于 DE。同理同理，如果它放在如果它放在 FG 或或 HI 上上，那么它走动的路线一定垂那么它走动的路线一定垂直于直于FG 或或 HI。已知老鼠与智能捕鼠器同时启动已知老鼠与智能捕鼠器同时启动，老鼠的速度老鼠的速度v 17 厘米厘米/秒秒。求证求证：为了为了正好捕捉到老鼠正好捕捉到老鼠，智能捕鼠器的速度与它放置的智能捕鼠器的速度与它放置的位置没有关系位置没有关系，并求出其速度并求出其速度。ADEFGHIJBC【分析】如下图，将台阶拉成平面图形，则最短路线为AB 的连线显然，AC=BJ=8，AJ=15，所以，由勾股定理，AB=17下证智能捕鼠器放在 AJ 上任一点，恰好捕捉到老鼠的速度都相同在 AJ 上任取一点 P，过 P 做 AJ 垂线交 AB 于 Q显然，捕鼠器恰好在Q 点捕捉到老鼠显然 PQBJ，于是有817PQAQAQPQBJAB，而老鼠跑到 Q 点所用时间为1717AQAQ于是，捕鼠器的速度应为81781717AQAQPQAQ显然，捕鼠器的速度与其位置无关，应为 8 厘米/秒。QADEFGHIJCBP